Параллелное соединение индуктивно связанных элементов цепи

Две катушки с сопротивлениями R₁ и R₂, индуктивностями L₁ и L₂ и взаимной индуктивностью М соединены параллельно, причем одноимённые выводы присоединены к одному и тому же узлу (рис. 4.7).

При выбранных положительных направлениях токов и напряжения получаем следующие выражения:

где

В этих уравнениях комплексные напряжения и взяты со знаком плюс, так как положительные направления этих напряжений (выбранные сверху вниз) и тех токов, от которых эти напряжения зависят, ориентированы относительно одноименных выводов одинаково. Решив уравнения, получим

Откуда следует, что входное комплексное сопротивление рассматриваемой цепи

РАСЧЁТ ТРЁХФАЗНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Основные понятия и определения

Объединение в одной линии электропередачи нескольких цепей переменного тока с независимыми источниками электроэнергии называется многофазной системой.

Трёхфазной симметричной системой Э.Д.С. называется совокупность трёх Э.Д.С. одинаковой частоты и амплитуды, сдвинутых друг относительно друга по фазе на 120⁰ . Эти три Э.Д.С. можно изобразить на временной (рис.5.1) и векторной (рис. 5.2.) диаграммах.

Трёхфазные симметричные системы Э.Д.С. получаются с помощью трёхфазного генератора, в котором имеются три самостоятельные обмотки, расположенные на статоре, и сдвинутые относительно друг друга в пространстве на 120⁰. В центре статора вращается магнит (рис. 5.3). Форма магнита такова, что магнитный поток, пронизывающий каждую катушку, изменяется по синусоидальному закону. Тогда по закону электромагнитной индукции в катушках будут индуцироваться Э.Д.С. равной амплитуды и частоты, отличающиеся друг от друга на 120⁰ .

Комплексы действующих значений этих Э.Д.С.:

Основные схемы соединения трёхфазных цепей

Существуют различные способы соединения обмоток генератора с нагрузкой, но в целях экономии обмотки трёхфазного генератора соединяют в звезду или в треугольник.

При соединении в звезду концы обмоток генератора объединяются в одну точку О, которая называется нулевой, или нейтральной.

Ниже приведены схемы соединения трёхфазного генератора с трёхфазной нагрузкой по схеме звезда без нулевого провода

1) Точку, в которой объединяют три конца трёхфазной нагрузки при соединении её звездой, называют нулевой точкой нагрузки и обозначают О’.

2) Провода, соединяющие точки А, В, С генератора с точками а,b,с нагрузки, называют линейными.

3) Нулевым проводом называют провод, соединяющий нулевые точки генератора и нагрузки

4) Линейными токами I_л называют токи текущего линейным проводам (их обозначают , , )

5) Фазным напряжением U_ф называют напряжение между началом и концом фазы или между линейным и нулевым проводом (их обозначают ).

6) Линейным напряжением U_Л называют напряжение между двумя линейными проводами ( их обозначают ).

7) Фазные и линейные напряжения связаны между собой выражениями

В симметричной системе фазных напряжений система линейных

напряжений тоже симметрична: равны по величине

и сдвинуты относительно друг друга на 120⁰

Таким образом, получим общее соотношение между линейными и фазными напряжениями в симметричной системе

Методы расчета трёхфазных цепей

Соединение звездой

Нагрузка в трёхфазной цепи может быть:

1) симметричной, если сопротивления фаз нагрузки одинаковы по характеру и значению;

2) несимметричной, если сопротивления фаз нагрузки различны.

Рассмотрим наиболее общий случай расчёта цепи с нулевым проводом, сопротивление которого Z_N

Если нужно учесть сопротивления линейных проводов и фаз источника их можно отнести к нагрузке, прибавив к сопротивлениям последнего по правилам сложения комплексных чисел. Наиболее удобным методом расчёта в данном случае является метод узлового напряжения:

Напряжения на фазах нагрузки:

Методы расчета трёхфазных цепей

Соединение треугольником

Трёхфазная цепь при соединении источника и приёмника треугольником имеет разветвлённую многоконтурную схему.

Расчёт этой сложной цепи значительно упрощается, если не принимать во внимание сопротивление проводов.

В этом случае напряжения на фазах приёмника равны соответствующим напряжениям источника и, как правило, представляют собой симметричную систему.

Если трёхфазная система напряжений, приложенных к приёмнику, известна, то фазные токи в симметричном приёмнике определяются порознь по известным формулам:

Токи в линейных проводах:

Если же сопротивления линейных проводов необходимо учитывать, то для расчёта цепи следует преобразовать треугольник сопротивления нагрузки в звезду, определить токи в линейных проводах с учётом формулы и затем найти напряжения и токи фаз нагрузки. При симметричной нагрузке фаз достаточно провести расчёт одной фазы.

Измерение мощности в трёхфазных цепях

Активной мощностью трехфазной системы назы­вают сумму активных мощностей ее отдельных фаз:

При симметричной нагрузке мощности отдельных фаз равны между собой, а общая мощность опреде­ляется как

На практике мощность трехфазной системы чаще выражают через линейные, а не через фазные токи и напряжения.

Для трехфазной системы также справедливы сле­дующие соотношения для полной, активной и реак­тивной мощностей, соответственно:

Существуют несколько методов измерения мощ­ности трехфазной системы, у каждого из них своя область применения.

Способ одного ваттметра.

Используют для измерения мощности при симметричной нагруз­ке, соединенной звездой с доступной нулевой точ­кой

В этом случае общая мощность трехфазной систе­мы равна утроенному показанию ваттметра:

2) Определить показания вольтметра pV и указать, в каких режимах работают источники ЭДС (R_i, Ом, E_j, B)

По второму закону Кирхгофа:

E₁- E₂ = R₁I + R₂I = (R₁+ R₂)I,

I =(E₁- E₂) /(R₁+ R₂) == (60-10) / (30+20)

Показание вольтметра не зависит от того, какая часть схемы рассматривается с целью его определения. Для определения показания вольтметра составляется уравнение, согласно II закону Кирхгофа

Е₁ = R₁ I + U_ab , U_ab = E₁ – R₁ I

или Е₂ = R₂ I + U_ab , U_ab = E₂ – R₂ I