Перпендикулярные плоскости

Задача.
Точка A находится на расстоянии 1 см до одной из двух перпендикулярных плоскостей.
Найдите расстояние от точки A до второй плоскости, если расстояние от A до прямой их пересечения равно √5 см.

Решение.
Проведем перпендикуляр от точки А также и ко второй плоскости. Перпендикуляры к плоскостям от точки А, а также расстояния от них до прямой пересечения плоскостей образуют прямоугольник, диагональ которого является расстоянием от точки А до прямой пересечения плоскостей и равна по условию √5 см.

Поскольку длина одного перпендикуляра, являющегося стороной прямоугольника, нам известна, то длину второго перпендикуляра найдем как сторону прямоугольника:

х² + 1 = 5
х² = 4
x = 2

Ответ: расстояние от точки А до второй плоскости равно 2 см.

Прямые на плоскости

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел прямые на плоскости). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме.

Задача

Две прямые а и в пересекаются в точке О.Докажите,что все прямые,которые проходят не через точку О и пересекают каждую из данных прямых, лежат в одной плоскости.

Доказательство.
Пусть прямая, не пересекающая точку О пересекает каждую из данных прямых. Поскольку обе данные прямые лежат в одной плоскости, то все точки, принадлежащие данным прямым, равно как и точки пересечения с третьей прямой лежат в одной плоскости.

Воспользуемся аксиомой стереометрии:
"Если две точки прямой лежат на одной плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости."

Откуда проведенная нами прямая также лежит в данной плоскости.

Точка и плоскость

Задача.
Расстояние от некоторой точки до плоскости квадрата равно 4 см, а до каждой из его сторон 6 см.
Найдите диагональ квадрата.

Решение.
Расстояния от точки до углов квадрата образуют правильную пирамиду.

Таким образом, OKC является прямоугольным треугольником. Откуда
KC² + OK² = OC²
KC² = OC² - OK²
KC² = 36 - 16
KC = √20 = 2√5

Откуда диагональ квадрата равна KC * 2 = 4√5

Ответ: 4√5

Задача.
Из O -центра равностороннего треугольника ABC проведен перпендикуляр OM к плоскости треугольника ABC.
Найдите длину OM, если BC=6см, а MC=4см.

Решение.
Точка М вместе с правильным треугольником образует правильную пирамиду, поскольку ее вершина проецируется в центр основания.

МОС - прямоугольный треугольник. Поскольку ABC - правильный треугольник, а О - является его центром, то OC будет равно длине радиуса описанной окружности. Длину радиуса описанной окружности найдем как
R = a √3 / 3
OC = BC√3 / 3
OC = 6√3 / 3 = 2√3

Откуда
OM² + OC² = MC²
OM² = MC² - OC²
OM² = 16 - 12
OM = 2

Ответ: 2 см