Обычно пользуются соотношением, написанным в виде

P(g1nS < s < g2nS) = a. (41)

При выбранном значенииa соответствующие значения g1и g2 находятся из табл. IV.

Приведемдва примера пользования табл. IV.

1. Средняя квадратическая погрешность, определенная из 5 измерений, равна 2. Нужно вычислить доверительный интервал для s с надежностью 0.95. Из табл. IV для n = 5 иa = 0.95 имеем g1 = 0.6 и g2 = 2.9.

Для s можем написать выполняемое с вероятностью 0.95 неравенство:

0.6´2 < s < 2.9´2 или 1.2 < s < 5.7.

Мы видим, что границы, в которых лежит s, очень широки и асимметричны (интервал от 2 до 1.2 почти в пять раз меньше ин­тервала от 2 до 5.7).

2. При 40 измерениях g1 = 0.8, g2 = 1.3 и получаем для s неравенство

1.6 < s < 2.6.

Интервал этот значительно более узкий и почти симметричный.

Если пользоваться при n = 40 формулой (38), то

40Ss = s/[2×(n – 1]1/2 = 2/781/2 » 2.

Доверительной вероятности 0.95 соответствует погрешность ss, и для s  можно с вероятностью 0.95 написать: 1.55 < s < 2.45.

Как видим, в этом случае оценки, сделанные по строгим и при­ближенным формулам, практически не различаются между собой. Легко показать, что при 5 или 10 измерениях это различие бу­дет весьма значительным.

Положим, что есть два ряда измерений одной и той же величи­ны: один ряд содержит n1, другой – n2 измерений. Для этих рядов получены дисперсии n1S12 и n2S22.

Обозначения выберем так, чтобы S12 было больше S22. Определим величину J следую­щим образом:

J = [(n2 – 3)/(n2 – 1)]´[n1S12/n2S22] . (42)

Можно показать, что

sJ=[2×(n1 + n2 – 4)/(n1 – 1)(n2 – 5)]1/2.(43)

Положим

R = |J – 1|/sJ.

Это число характеризует, существенно или несущественно различают­ся между собой выборочные дисперсии S12 и S22. Если R > 3, то расхождение между S1 и S2 существенно. Если R < 3, то – несущественно. Такой критерий, предложенный В.И. Романовским [15] и носящий его имя, соответствует уровню значимости 0.01. Другой критерий – критерий Фишера (см., например, [l8] позволя­ет с помощью специальных таблиц сличать дисперсии при разных уровнях значимости. В практической работе можно рекомендовать более простой критерий Романовского. В качестве примера приве­дем сопоставление результатов определения содержания углерода в ряде проб одного и того же соединения [11].

Было выполнено две серии измерений разными лаборантами: в одной серии сделано 20 определений, в другой – 13. Результаты сведены в табл.5.

Таблица 5. Сравнение результатов анализа

Номер измерения Содержание C, % Номер измерения Содержание C, %
Серия 1 Серия 2 Серия 1 Серия 2
4.40 4.42 4.66 4.57
4.66 4.47 4.53 4.58
4.42 4.70 4.90 4.66
4.59 4.72 4.50  
4.55 4.53 4.66  
4.45 4.55 4.80  
4.55 4.60 4.36  
4.39 4.64 4.75  
4.75 4.29 4.28  
4.72 4.52 4.45  

Отсюда S12 /S22 = 2.12, п1 = 20, n2 = 13, J = 1.77, sJ = 0.62, R = 1.24 < 3.

Следовательно, разницу в точности анализов двух лаборантов нельзя считать значимой.

9. СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Пусть для двух рядов измерений одной и той же величины полу­чены значения <x>1 и <x>2. По прежнему полагаем, что <x>1 определе­но из n1 а <x>2 из n2 измерений. В каком случаеможно счи­тать расхождение между <x>1 и <x>2 значимым, в каких – случайным?

Иначе говоря, следует установить, насколько значимо |<x>1 – <x>2| отлично от нуля.

Дисперсии S12 и S22 величин x1i и x2k равнысоответственно

n1S2 = iSп1(<x>1 – x1i)2/(n1 - 1) и n2S2 = iSп2(<x>2 – x2k)2/(n2 – 1) (44)

Дисперсия S 2 разности (<x>1 – <x>2) будет

S2 = [(n1 – 1)S12 + (n2 – 1)S22]/[(n1 – 1) + (n2 – 1)].

Можно показать, что величина

t = [(<x>1 – <x>2)/S]×[n1n2/(n1 + n2)]1/2 (45)

– это тот же коэффициент Стьюдента, который используется для определе­ния доверительного интервала при небольшом числе изме­рений.

Определим, значимо ли расхождение результатов двух серий анализов, приведенных в табл.5.

Из нее следует

<x>1 = 4.5655, <x>2 = 4.5577, <x>1 – <x>2 = 0.008.

20S2 = 0.003, 13S2 = 0.014, S2 = (0.003´19 + 0.014´13)/31 = 0.008.

Наши рекомендации