Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме

При изучении движения жидкости интенсивность массовых сил Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru обычно считается известной. Неизвестными являются функции Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru , Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru , Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru , Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru – всего четыре неизвестных функции. Определяемые функции должны удовлетворять уравнениям Эйлера (6.5). Поскольку число неизвестных превышает число уравнений, к уравнениям Эйлера необходимо присоединить уравнение неразрывности в дифференциальной форме.

Уравнение неразрывности, записанное для элементарного объема жидкости в форме прямоугольного параллелепипеда размерами Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru (см. рис.6.1) можно получить на основании следующих рассуждений.

Гипотеза сплошности, применительно к идеальной жидкости, предполагает, что за время Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru объемы жидкости втекающей и вытекающей из элементарного параллелепипеда должны быть равны. Объемы жидкости втекающей через грани перпендикулярные осям Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru легко найти по составляющим скорости Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru . (6.28)

Аналогичные объемы вытекающей жидкости, с учетом изменения скорости, равны

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru . (6.29)

Сплошность в рассматриваемом объеме не нарушится, если

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru , (6.30)

что после подстановки (6.28) и (6.29) в (6.30) приводит к результату

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru (6.31)

Уравнение (6.30) и есть уравнение неразрывности идеальной несжимаемой жидкости в дифференциальной форме.

Присоединив к уравнениям равновесия (6.5) уравнение неразрывности (6.31) получаем систему дифференциальных уравнений для определения четырех функций, характеризующих установившееся движение жидкости.

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ruУравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru О

Уравнение Бернулли для струйки в поле силы тяжести

Если ось Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru направить по линии действия силы тяжести вверх, то из (6.12) получим

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru , Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru , Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru , Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru (6.32)

и уравнение (6.15) принимает вид

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru (6,33)

или

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru (6.34)

Если записать уравнение Бернулли для частицы жидкости при установившемся движении в двух ее положениях на линии тока (она совпадает с траекторией), то получим

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru (6.35)

Уравнение Бернулли для струйки в криволинейном канале,

вращающемся с постоянной угловой скоростью

В том случая, когда жидкость движется в криволинейном канале, вращающемся с постоянной угловой скоростью, и линия действия силы тяжести параллельна оси вращения канала (рис.6.4), массовые силы, включая силу инерции в переносном движении, отнесенные к единице массы равны

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru . (6.36)

Здесь учтены силы инерции в переносном движении, связанные с нормальным ускорением и сила тяжести. Сила инерции, определяемая кориолисовым ускорением, не рассматривается, т.к. она не влияет на движение частицы жидкости в направлении ее относительного движения.

Тогда, полагая

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru , (6.37)

после интегрирования найдем потенциал массовых сил

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru , (6.38)

или

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru . (6.39)
Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Рис.6.4  

Уравнение Бернулли (6.15) принимает вид

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru , (6.40)

или

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru . (6.41)

Для двух сечений элементарной струйки можно записать

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru . (6.42)

Здесь Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru есть угловая скорость в переносном движении.

Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли для струйки идеальной жидкости

Каждое слагаемое в уравнении (6.34) можно рассматривать, как составляющую энергии частицы, отнесенную к единице веса.

Если за плоскость сравнения принять плоскость с нулевой потенциальной энергией, то:

- потенциальная энергия единицы веса определится формулой

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru ; (6.42)

- удельная кинетическая энергия составит

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru ; (6.42)

- удельная энергия давления будет равна

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru . (6.42)

Для удельной энергии и ее составляющих, в гидравлике применяют следующие термины и обозначения:

H - гидродинамический или полный напор;

z - геометрический напор;

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru - пьезометрический напор;

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru - гидростатический напор;

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru - скоростной или кинетический напор.

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru  

Рис. 6.5. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли для струйки идеальной жидкости.

Единицей измерения напора является единица длины. Ясно, что при движении идеальной жидкости отдельные составляющие полного напора могут изменяться, но полный напор остается величиной постоянной (рис. 6.5).

Лекция 7

Уравнение Бернулли для струйки реальной жидкости

потока реальной жидкости. Режимы движения жидкости

Уравнение Бернулли для струйки вязкой жидкости

Течение реальной жидкости, в отличие от течения идеальной, характеризуется наличием потерь энергии на преодоление сил сопротивления движению – в первую очередь это потери на преодоление сил трения, обусловленных вязкостью жидкости и ее трением о стенки канала. Поэтому в правую часть формулы (6.35) необходимо добавить слагаемое, которое и будет учитывать потери энергии струйки

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru , (7.1)

где Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru -- потери напора на участке между сечениями 1-1 и 2-2.

Энергия, затраченная на преодоление сил вязкого трения, превращается из механической энергии в энергию тепловую. Процесс носит необратимый характер.

Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости

при установившемся движении

Если движение жидкости установившееся и плавно изменяющееся происходит в направлении оси x, то

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru ; Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru ; Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru . (7.2)

В этом случае давление по живому сечению потока распределяется по гидростатическому закону, т.е.

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru . (7.3)

Если поле скоростей имеет искривленные линии тока, гидростатический закон распределения давления в живом сечении нарушается, но при достаточной плавности потока этим фактом можно пренебречь (рис.7.1).

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Рис. 7.1  

При переменной по сечению скорости частиц жидкости ( Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru ), удельную кинетическую энергию массы жидкости, протекающей через живое сечение потока A можно рассчитать по формуле

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru , (7.4)

где Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru - масса жидкости, которая прошла через сечение за единицу времени.

В общем случае вычисления по формуле (7.4) невозможны, т.к. функция Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru неизвестна. Целесообразно воспользоваться средней скоростью потока в сечении v

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru . (7.5)

Заменить в уравнении Бернулли для потока удельную кинетическую энергию Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru на Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru можно, если ввести коэффициент кинетической энергии (коэффициент Кориолиса)

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru . (7.6)

В этом случае

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru . (7.7)

Коэффициент Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru определяется для всех практически значимых случаев течения потока экспериментально и характеризует отношение действительной кинетической энергии массы жидкости, протекающей через живое сечение потока, к кинетической энергии той же массы жидкости, вычисленной по средней скорости потока в сечении.

  Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Условия движения жидкости  
  Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru - при прямолинейном турбулентном течении в трубах;  
  Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru - при прямолинейном турбулентном течении в открытых каналах;  
  Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru - при прямолинейном ламинарном течении в трубах (теоретическое решение).  

Вводя в рассмотрение средние значения геометрического напора z и пьезометрического напора Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru , запишем для плавно изменяющегося потока, ограниченного жесткими стенками (канал, русло, трубопровод) уравнение Бернулли

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru . (7.8)

Графическое толкование уравнения Бернулли для потока вязкой жидкости в предположении, что потери напора h линейно зависят от длины канала, приведено на рис. 7.2, где Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru - потери напора на участке между сечениями 1-2, 1-3, 1-4 соответственно. Линия полного напора в этом случае не остается горизонтальной, как при движении идеальной жидкости, а представляет линию нисходящую по направлению движения потока.

Для характеристики потерь напора на регулярном участке потока используют понятие гидравлического уклона. Гидравлический уклон – это величина средних потерь напора на единицу длины канала

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru . (7.9)

Локальное гидравлического уклона характеризует скорость уменьшения полного напора потока по направлению его движения

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru . (7.10)
Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Рис.7.2.  

Классификация потерь напора

Потери напора при движении вязкой жидкости подразделяют на:

· потери напора на преодоление гидравлического сопротивления по длине, которые пропорциональны длине участков русла или трубы, направляющей движение потока;

· потери на преодоление гидравлических сопротивлений в пределах коротких участков, на которых имеются различные конструктивные нерегулярности – резкое сужение или расширение русла, внезапное увеличение или уменьшение диаметра трубы, поворот трубы или русла, устройства входа или выхода, трубопроводная арматура ( краны, задвижки, разветвления и т.д.).

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru (7.11)

Обычно потери напора определяют через скоростной напор и соответствующий коэффициент сопротивления Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru , (7.12)
Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru . (7.13)

Большинство зависимостей для определения коэффициентов сопротивления Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru или их конкретные значения установлены экспериментальным путем. На значения коэффициентов сопротивления влияет множество факторов:

· конструктивные формы и размеры;

· шероховатость стенок канала или трубы;

· скоростной режим течения жидкости;

· положение управляющих элементов запорной арматуры.

Одна из общих формул для определения потерь по длине – формула Дарси-Вейсбаха, для круглых труб имеет вид

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru , (7.14)

где Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru - коэффициент гидравлического трения;

l - длина трубопровода;

d – диаметр трубы.

Очевидно, что в этом случае Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru .

Коэффициенты местного сопротивления определяются исключительно экспериментальным путем и их значения можно найти в справочниках и учебниках. Обычно в формуле (7.12) коэффициент Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru определяется применительно к скоростному напору за местным сопротивлением (рис.7.3)

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Рис. 7.3 Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru

Режимы движения жидкости

Экспериментально установлено существование двух основных видов движения жидкости – ламинарного и турбулентного.

Ламинарным называют такой режим течения жидкости, когда все линии тока направлены параллельно оси канала, когда слои жидкости двигаются без перемешивания частиц и пульсаций скорости.

При турбулентном движении слои жидкости интенсивно перемешиваются, движение частиц не носит упорядоченного характера, траектории имеют вид замысловатых линий, наряду с основным перемещением в направлении оси канала малые объемы жидкости вращаются и перемещаются в направлении перпендикулярном оси канала.

Наглядно особенности течения при разных режимах можно наблюдать с помощью экспериментальной установки, в которой жидкость перемещается в стеклянной трубе, а для визуализации течения в основной поток жидкости вводят струйки подкрашенной жидкости с близким значением кинематического коэффициента вязкости. Схема установки и примерная картина изменения формы струйки подкрашенной жидкости показаны на рис. 7.4.

В расходном баке 1 с помощью внутренней перегородки 9 поддерживается постоянный уровень жидкости, что обеспечивает, при установленном с помощью крана 6 расходе жидкости, постоянную скорость ее движения в стеклянной трубке 2. К установившемуся потоку жидкости в трубке 2 подмешивается струйка подкрашенной жидкости из расходного бачка 3, которая подается через кран 4 по трубке 5.

До определенной скорости движения жидкости по трубке 2 заметного обмена частицами жидкости между окрашенной струйкой и окружающей ее жидкостью не происходит. Если в поток вводить несколько струек подкрашенной жидкости, то все они перемещаются не смешиваясь с остальной массой жидкости. Это позволяет утверждать, что при установленной скорости движения жидкость движется отдельными слоями не перемешивающимися между собой. Линии тока при этом прямолинейны и устойчивы. Средняя скорость движения жидкости, до которой наблюдается описанное явление, называют критической - Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru .

При увеличении скорости течения до значения больше критического, окрашенные струйки начинают искривляться; а при еще большем увеличении - струйки распадаются на отдельные хорошо различимые вихри, интенсивно перемешивающиеся с остальной массой жидкости.

При уменьшении скорости потока после достижения турбулентного режима течения явление повторяется в обратном порядке, но с одним отличием – скорость, на которой происходит переход от турбулентного режима течения к ламинарному оказывается меньше, чем при переходе от ламинарного к турбулентному. Ламинарный и турбулентный режимы отличаются величиной сопротивления движению потока. Потери напора при турбулентном движении больше. Качественно зависимость гидравлического уклона от скорости потока представлена на рис. 7.5.

  Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Рис. 7.4.  

В диапазоне скоростей Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru движение жидкости считают смешанным; при Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru – ламинарным, а при Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru – турбулентным. Абсолютное значение критических скоростей зависит от кинематической вязкости жидкости и геометрических параметров живого сечения.

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru Рис. 7.5  

Для труб круглого сечения при напорном движении потока нижняя критическая скорость пропорциональна кинематической вязкости и обратно пропорциональна диаметру трубы

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru , (7.15)

где коэффициент пропорциональности k остается неизменным при различных значениях Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru . Теория подобия гидравлических потоков позволила определить этот безразмерный коэффициент, как критическое значение числа подобия – числа Рейнольдса. Значение критического числа Рейнольдса установлено многочисленными экспериментами и равно 2300 для круглых труб.

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru . (7.16)

Для каналов иной формы поперечного сечения и открытых русел характерный линейный размер необходимо заменить гидравлическим радиусом R, что изменит численное значение критического числа Рейнольдса. Так как для круглой трубы Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru , формула (7.16) принимает вид (7.17) и может использоваться для вычисления нижней критической скорости

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru . (7.17)

Для открытого русла прямоугольного сечения в качестве характерного линейного размера часто выбирают глубину потока h. Если Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru , где b – ширина русла, то легко получить формулу для расчета критического значения числа Рейнольдса Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru в зависимости от коэффициента Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru

Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru . (7.18)

При Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru , а при Уравнение неразрывности идеальной жидкости в дифференциальной форме - student2.ru .

Наши рекомендации