Глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница

Окружность глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru с центром в начале координат в полярных координатах имеет уравнение глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru или глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru .

Если задано уравнение линии в полярных координатах глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru , то чтобы построить данную линию в полярной сис- теме координат, заполняют таблицу значений этой функции в точках, вычисленных для значений аргумента глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru , причём, чем больше глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru , тем точнее будет построение линии.

Пример 1. Построить линию: глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru .

Заполнить таблицу значений данной функции:

  глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru   глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru
глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru
  глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru
глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

Построим данную линию

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

При построении линии в полярных координатах можно по -ступать и иначе, а именно, используя свойства соответствую- щих функций.

Пример 2. Пусть дано уравнеие глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru . Так как глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru , то максимальное значение данная функция принимает при глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru - глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru ; мини –мальное значение будет в точке глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru - глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru .

Так как глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru чётная функция, то глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru также чётная функция и поэтому соответствующая линия симме- трична отностьельно полярной оси. Таким образом, получаем линию:

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

Эту линию называют кардиоидой, имея ввиду её форму.

Пример 3. Построить линию глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru .

Достаточно построить данную линию на промежутке глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru , так как период данной функции равен глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru . Учитывая, что глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru в промежутке глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru , следовательно глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru . После этого, учитывая периодичность функции, можно построить ещё две части этой линии, которые получаются при глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru .

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

В заключение параграфа напишем уравнение эллипса, ги - перболы и параболы в полярных координатах.

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru Пусть глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru - дуга эллипса, гиперболы или параболы:

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

Совместим фокус глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru с полюсом, а ось симметрии - с по- лярной осью. Точка глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru выбрана так, что глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru . По свойству директрисы: глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru . Пусть глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru , глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru или глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru . Для точки глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru имеем глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru . Тогда, глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru . Обозначив глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru , получим глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru . Сле- довательно, глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru , отсюда: глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru , или глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru . Окончательно получаем уравнение:

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru . (3)

При глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru - это уравнение эллипса; при глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru - это уравнение одной ветки гиперболы; при глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru - это урав – нение параболы.

Пример 4. Построить линию глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru и записать её уравнение в декартовой системе координат.

Можно произвести построение данной линии непосред- ственно в полярной системе координат, как в примере 1. Но в данном случае, учитывая формулу (3), это уравне -ние эллипса с глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru . Поэтому более удобно сначала перейти к декартовым координатам и только после этого построить линию (менее трудоёмкий вариант решения). Преобразуем уравнение линии: глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru . Исполь –зуя формулы (1) и (2), получаем:

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru (4) обе части полученного равенства возведём в квадрат:

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

Получено каноническое кравнение эллипса:

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

Его центр симметрии глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru , полуоси глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru Построим данную линию:

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru 4 5 глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

Уравнение вида глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru такжа определяет линию 2 – го порядка, но в этом случае сдвиг точки глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru происходит вле- во, а уравнение глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru приводит к смещению линии по оси глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru .

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru § 8 ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

I. Уравнение поверхности.

Урав­нение F(x, y) = 0 определяет на плоскости некото­рую линию, т. е. множество всех точек плоскости Оху, координаты которых х и у удовлетворяют этому уравнению. Подобно этому уравнение

F(x,y,z) = 0, (1) определяет в пространстве Охуz некоторую поверх­ность, т. е. множество всех точек, координаты которых х, у, z удовлетворяют уравнению F(x, у, z) = 0. Уравнение (1) называется уравнением этой поверхности, а х, у, z — ее текущими координатами. Часто, однако, поверхность задается не уравнением, а как мно- ­жество всех точек, обладающих тем или иным свойством. В этом случае требуется найти уравнение поверхности, исходя из ее гео­метрических свойств.

Пример. Найти уравнение сферы радиуса R с центром в точке глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

Решение. Согласно определению сферы, расстояние любой ее точки М (х,у, z) от центра глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru равно радиусу R, т. е. глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru M=R. Но

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

Следовательно, глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru или

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru (2)

Мы получили искомое уравнение сферы, так как ему удовлетворяют коорди­наты любой ее точки и, очевидно, не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на данной сфере.

В частности, если центр сферы совпадает с началом координат, то уравнение сферы примет следующий вид:

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru .

Раскрыв скобки и перенеся все члены в левую часть уравнения (2), получим

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

Это уравнение второй степени относительно текущих координат х, у и z. В нем отсутствуют члены с произведениями координат, а коэффициенты при х2 , у2 и z2 равны между собой. Любое уравне­ние второй степени относительно х, у и z , в котором коэффициенты при х2, y2 и z2 равны между собой, а член с произведением коор­динат отсутствует, есть, вообще говоря, уравнение сферы. Точнее, такое уравнение с помощью выделения полных квадратов всегда может быть приведено к виду:

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru . (3)

Если при этом глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru >0, то уравнение (3) является уравнением сферы с центром в точке глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru и радиусом R = глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru . При k = 0 урав­нению удовлетворяют координаты лишь одной точки глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru . Если же глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru <0, то уравнение не определяет никакой поверхности.

Пример.Доказать, что уравнение

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru

является уравнением сферы, и найти центр и радиус этой сферы.

Решение. Преобразуя левую часть данного уравнения, полу- чим

глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru или глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница - student2.ru .

Мы получили уравнение сферы с центром в точке О(1; - 2; - 3) и радиусом R = 4.

Наши рекомендации