Электростатика и постоянный ток 2 страница

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru На участке III (рис. 24, в) силы электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru и электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru направлены в противоположные стороны, так же как и на участке I, но в отличие от него меньший (по модулю) заряд (– Q) всегда находится ближе к заряду Q1, чем больший заряд (9Q). Это значит, что можно найти такую точку на прямой, где силы электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru и электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru будут одинаковы по модулю, т. е.

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru .(1)

Пусть расстояние от меньшего заряда до заряда Q1 равнох, тогда расстояние от большего заряда будет (l+х). Выражая в равенстве (1) F1 и F2 в соответствии с законом Кулона, получим

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru .

Сокращая на QQ1 и извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, найдем l+x=±3x, откуда x1=+l/2 и x2=-l/4.

Кореньx2 не удовлетворяет физическому условию задачи (в этой точке силы F1 и F2 хотя и равны по модулю, но направлены в одну сторону).

Определим знак заряда, при котором равновесие будет устойчивым. Рассмотрим смещение заряда Q1 в двух случаях: 1) заряд положителен;2) заряд отрицателен.

1. Если заряд Q1 положителен, то при смещении его влево обе силы F1 и F2 возрастают, но F1 возрастает медленнее (заряд 9Q всегда находится дальше, чем –Q). Следовательно, F2 (по модулю) больше, чем F1, и на заряд Q1 будет действовать результирующая сила, направленная также влево. Под действием этой силы заряд Q1 удаляется от положения равновесия. То же происходит и при смещении заряда Q1 вправо. Сила F2 убывает быстрее, чем F1. Векторная сумма сил в этом случае направлена вправо. Заряд под действием этой силы также будет перемещаться вправо, т. е. удаляться от положения равновесия. Таким образом, в случае положительного заряда равновесие является неустойчивым.

2. Если заряд Q1 отрицателен, то его смещение влево вызовет увеличение сил F2 и F1, но сила F1 возрастает медленнее, чем F2, т.е. |F2|>|F1|. Результирующая сила будет направлена вправо. Под действием этой силы заряд Q1 возвращается к положению равновесия. При смещении Q1 вправо сила F2 убывает быстрее, чем F1, т. е. |F1|>|F2|. результирующая сила направлена влево и заряд Q1 опять будет возвращаться к положению равновесия. При отрицательном заряде равновесие является устойчивым. Величина самого заряда Q1 несущественна.

Отметим, что в электростатике устойчивое равновесие возможно только при определенных ограничениях. В нашем примере заряд Q1 может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды –Q и 9Q. Если это ограничение снять, то устойчивого равновесия не будет. В системе зарядов, находящихся под действием одних только электростатических сил, устойчивое равновесие невозможно (теорема Ирншоу).

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru Пример 3. Тонкий стержень длиной l=30 см (рис. 25) несет равномерно распределенный по длине заряд с линейной плотностью t =1 мкКл/м. На расстоянии r0=20 см от стержня находится заряд Q1=10 нКл, равноудаленный от концов, стержня. Определить силу F взаимодействия точечного заряда с заряженным стержнем.

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru Решение. Закон Кулона позволяет вычислить силу взаимодействия точечных зарядов. По условию задачи, один из зарядов не является точечным, а представляет собой заряд, равномерно распределенный по длине стержня. Однако если выделить на стержне дифференциально малый участок длиной dl, то находящийся на нем заряд dQ=t·dl можно рассматривать как точечный и тогда по закону Кулона сила взаимодействия между зарядами Q1 и dQ:

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru , (1)

где r — расстояние от выделенного элемента до заряда Q1. Здесь и далее, если в условии задачи не указана среда, имеется в виду, что заряды находятся в вакууме (e=1).

Из чертежа (рис. 25) следует, что электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru и электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru , где

r0 — расстояние от заряда Q1 до стержня. Подставив эти выражения в формулу (1), получим

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru . (2)

Следует иметь в виду, что электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru — вектор, поэтому, преждечеминтегрировать разложим его на две составляющие: электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru , перпендикулярную стержню, и электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru , параллельную ему.

Из рис. 25 видно, что dF1=dFcosa, dF2=dFsina. Подставляя значение dF из выражения (2) в эти формулы, найдем:

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru .

Интегрируя эти выражения в пределах от –b до +b, получим

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru

В силу симметрии расположения заряда Q1 относительно стержня интегрирования второго выражения дает нуль

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru

Таким образом, сила, действующая на заряд Q1

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru . (3)

Из рис. 25 следует, что электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru . Подставив это выражение sinb в формулу (3), получим

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru . (4)

Произведем вычисления по формуле (4):

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru Пример 4. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами: Q1=30 нКл и Q2= –10 нКл. Расстояние d между зарядами равно 20 см. Определить напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии r1=15 см от первого и на расстоянии r2=10 см от второго зарядов.

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru Решение. Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru электрического поля в искомой точке может быть найдена как векторная сумма напряженностей электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru и электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru .

Напряженности электрического поля, создаваемого в вакууме первым и вторым зарядами, соответственно равны

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru (1)

Вектор электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru (рис. 26) направлен по силовой линии от заряда Q1, так как заряд Q1>0; вектор электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru направлен также по силовой линии, но к заряду Q2, так как Q2<0.

Модуль вектора Е найдем по теореме косинусов:

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru , (2)

где угол a может быть найден из треугольника со сторонами r1, r2 и d:

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru .

В данном случае во избежание громоздких записей вычислим отдельно значение cosa. По этой формуле найдем

cosa =0,25.

Подставляя выражения E1 и E2 а по формулам (1) в равенство (2) и вынося общий множитель 1/(4pe0) за знак корня, получаем

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru .

Подставив значения величин p, e0, Q1, Q2, r1, r2 и cosa в последнюю формулу и произведя вычисления, найдем

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru

Пример 5. Электрическое поле создано двумя параллельными бесконечными заряженными плоскостями с поверхностными плотностями заряда s1=0,4 мкКл/м2 и s2=0,1 мкКл/м2. Определить напряженность электрического поля, созданного этими заряженными плоскостями.

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru Решение. Согласно принципу суперпозиции, поля, создаваемые каждой заряженной плоскостью в отдельности, накладываются друг на друга, причем каждая заряженная плоскость создает электрическое поле независимо от присутствия другой заряженной плоскости (рис. 27).

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru Напряженности однородных электрических полей, создаваемых первой и второй плоскостями, соответственно равны:

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru ; электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru .

Плоскости делят все пространство на три области: I, II и III. Как видно из рисунка, в первой и третьей областях электрические силовые линии обоих полей направлены в одну сторону и, следовательно, напряженности суммарных полей Е(I) и E(III) в первой и третьей областях равны между собой и равны сумме напряженностей полей, создаваемых первой и второй плоскостями: Е(I)= E(III)=E1+E2, или

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru Е(I)= E(III)= электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru .

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru Во второй области (между плоскостями) электрические силовые линии полей направлены в противоположные стороны и, следовательно, напряженность поля E(II) равна разности напряженностей полей, создаваемых первой и второй плоскостями: E(II)=|E1-E2|,или

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru .

Подставив данные и произведя вычисления, получим

E(I)=E(III)=28,3 кВ/м; E(II) =17 кВ/м.

Картина распределения силовых линий суммарного поля представлена на рис. 28.

Пример 6. На пластинах плоского воздушного конденсатора находится заряд Q=10 нКл. Площадь S каждой пластины конденсатора равна 100 см2 Определить силу F, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным.

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru Решение. Заряд Q одной пластины находится в поле, созданном зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила (рис. 29)

F=E1Q (1)

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru где E1 — напряженность поля, создаваемого зарядом одной пластины. Но электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru где s – поверхностная плотность заряда пластины.

Формула (1) с учетом выражения для E1 примет вид

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru .

Подставив значения величин Q, электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru и S в эту формулу и произведя вычисления, получим

F=565 мкН.

Пример 7. Электрическое поле создано, бесконечной плоскостью, заряженной с поверхностной плотностью s =400 нКл/м2, и бесконечной прямой нитью, заряженной с линейной плотностью t =100 нКл/м. На расстоянии r =10 см от нити находится точечный заряд Q =10 нКл. Определить силу, действующую на заряд, ее направление, если заряд и нить лежат в одной плоскости, параллельной заряженной плоскости.

Решение. Сила, действующая на заряд, помещённый в поле,

F=EQ, (1)

где Е — напряженность поля в точке, в которой находится заряд Q.

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru Определим напряженность Е поля, создаваемого, по условию задачи, бесконечной заряженной плоскостью и бесконечной заряженной нитью. Поле, создаваемое бесконечной заряженной плоскостью, однородно, и его напряженность в любой точке

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru . (2)

Поле, создаваемое бесконечной заряженной линией, неоднородно. Его напряженность зависит от расстояния и определяется по формуле

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru . (3)

Согласно принципу суперпозиции электрических полей, напряженность поля в точке, где находится заряд Q, равна векторной сумме напряженностей электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru и электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru (рис. 30): электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru . Так как векторы электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru и электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru взаимно перпендикулярны, то

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru .

Подставляя выражения E1 и E2 по формулам (2) и (3) в это равенство, получим

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru ,

или

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru .

Теперь найдем силу F, действующую на заряд, подставив выражение Е в формулу (1):

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru . (4)

Подставив значения величин Q, e0, s, t, p и r в формулу (4) и сделав вычисления, найдем

F=289 мкН.

Направление силы электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru , действующей на положительный заряд Q, совпадает с направлением вектора напряженности электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru поля. Направление же вектора электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru задается углом a к заряженной плоскости. Из рис. 30 следует, что

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru , откуда электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru .

Подставив значения величин p, r, s и t в это выражение и вычислив, получим

a=51°3¢

Пример 8. Точечный заряд Q=25 нКл находится в ноле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом R=1 см, равномерно заряженным с поверхностной плотностью s =2 мкКл/м2. Определить силу, действующую на заряд, помещенный от оси цилиндра на расстоянии r =10 см.

Решение.Сила, действующая на заряд Q, находящийся в поле,

F=QE, (1)

где Е — напряженность поля в точке, в которой находится заряд Q.

Как известно, напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра

E=t/(2pe0r), (2)

где t — линейная плотность заряда.

Выразим линейную плотность t через поверхностную плотность s. Для этого выделим элемент цилиндра длиной l и выразим находящийся на нем заряд Q1 двумя, способами:

Q1=sS=s2pRl и Q1 =t l.

Приравняв правые части этих равенств, получим t l=2pRls. После сокращения на l найдем t =2pRs. С учетом этого формула (2) примет вид E=Rs/(e0r). Подставив это выражение Е в формулу (1), найдем искомую силу:

F=QsR/(e0r). (3)

Так как R и r входят в формулу в виде отношения, то они могут быть выражены в любых, но только одинаковых единицах.

Выполнив вычисления по формуле (3), найдем

F=25×10-9×2×10-6×10-2/(8,85×10-12×10×10-2)H=565×10-6H=565мкH.

Направление силы электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru совпадает с направлением вектора напряженности электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru , а последний в силу симметрии (цилиндр бесконечно длинный) направлен перпендикулярно цилиндру.

Пример 9. Электрическое поле создано тонкой бесконечно длинной нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью t =30 нКл/м. На расстоянии а=20 см от нити находится плоская круглая площадка радиусом r =1 см. Определить поток вектора напряженности через эту площадку, если плоскость ее составляет угол b =30° с линией напряженности, проходящей через середину площадки.

Решение.Поле, создаваемое бесконечно равномерно, заряженной нитью, является неоднородным. Поток вектора напряженности в этом случае выражается интегралом

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru , (1)

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru где En — проекция вектора электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru на нормаль электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru к поверхности площадки dS. Интегрирование выполняется по всей поверхности площадки, которую пронизывают линии напряженности.

Проекция Еп вектора напряженности равна, как видно из рис. 31,

Еп=Еcosa,

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru где a — угол между направлением вектора и нормалью электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru . С учетом этого формула (1) примет вид

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru .

Так как размеры поверхности площадки малы по сравнению с расстоянием до нити (r<<a), то электрическое поле в пределах площадки можно считать практически однородным. Следовательно, вектор напряженности электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru очень мало. меняется по модулю и направлению в пределах площадки, что позволяет заменить под знаком интеграла значения Е и cosa их средними значениями <E> и <cosa> и вынести их за знак интеграла:

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru

Выполняя интегрирование и заменяя <E> и <cosa> их приближенными значениями ЕA и cosaA, вычисленными для средней точки площадки, получим

ФEAcosaAS=pr2ЕAcosaA. (2)

Напряженность ЕA вычисляется по формуле EA=t/(2pe0 a). Из рис. 31 следует cosaA=cos(p/2—b)=sinb.

С учетом выражения ЕA и cosaA равенство (2.) примет вид

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru .

Подставив в последнюю формулу данные и произведя вычисления, найдем

ФE =424 мВ·м.

Пример 10. Две концентрические проводящие сферы радиусами R1=6 см и R2=10 см несут соответственно заряды Q1=l нКл и Q2= – 0,5 нКл. Найти напряженность Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r1=5 см, r2=9 см, r3=15см. Построить график Е(r).

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru Решение. Заметим, что точки, в которых требуется найти напряженности электрического поля, лежат в трех областях (рис. 32): область I (r<R1), область II (R1<r2<R2), область III (r3>R2).

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru 1. Для определения напряженности E1 в области I проведем сферическую поверхность S1 радиусом r1 и воспользуемся теоремой Остроградского—Гаусса. Так как внутри области I зарядов нет, то согласно указанной теореме получим равенство

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru , (1)

где En — нормальная составляющая напряженности электрического поля.

Из соображений симметрии нормальная составляющая En должна быть равна самой напряженности и постоянна для всех точек сферы, т. е. En=E1=const. Поэтому ее можно вынести за знак интеграла. Равенство (1) примет вид

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru .

Так как площадь сферы не равна нулю, то E1=0, т. е. напряженность поля во всех точках, удовлетворяющих условию r1<R1, будет равна нулю.

2. В области II сферическую поверхность проведем радиусом r2. Так как внутри этой поверхности находится, заряд Q1,тодля нее, согласно теореме Остроградского—Гаусса,можно записать равенство

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru . (2)

Так как En=E2=const, то из условий симметрии следует

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru , или ES2=Q1/e0,

откуда

E2=Q1/(e0S2).

Подставив сюда выражение площади сферы, получим

E2=Q1/(4 электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru ). (3)

3. В области III сферическую поверхность проведем радиусом r3. Эта поверхность охватывает суммарный заряд Q1+Q2. Следовательно, для нее уравнение, записанное на основетеоремыОстроградского — Гаусса, будет иметь вид

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru .

Отсюда, использовав положения, примененные в первых двух случаях, найдем

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru . (4)

Убедимся в том, что правые части равенств (3) и (4) дают единицу напряженности электрического поля

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru .

Выразим все величины в единицах СИ (Q1=10-9 Кл, Q2= –0,5·10-9 Кл, r2=0,09 м, r3=0,15м, l/(4pe0)=9×109 м/Ф) и произведем вычисления:

электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru

4. Построим график E(r). В области I (r<R1) напряженность E=0. В области II (R1 электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru r<R2) напряженность E2(r) изменяется по закону 1/r2. В точке r=R1 напряженность E2(R1)=Q1/(4pe0R электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru )=2500 В/м. В точке r=R2 (r стремится к R2 слева) E2(R2)=Q1/(4pe0R электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru )=900В/м. В области III (r>R2) E3(r) изменяется по закону 1/r2, причем в точке r=R2 (r стремится к R2 справа)
Е3(R2)=(Q1 – |Q2|)/(4pe0R электростатика и постоянный ток 2 страница - student2.ru )=450 В/м. Таким образом, функция Е(r) в точках r=R1 и r=R2 терпит разрыв. График зависимости Е(r)представлен на рис. 33.

Пример 11. Положительные заряды Q1=3 мкКл и Q2=20 нКл находятся в вакууме на расстоянии r1=l,5 м друг от друга. Определить работу A, которую надо совершить, чтобы сблизить заряды до расстояния r2=1 м.

Решение. Положим, что первый заряд Q1 остается неподвижным, а второй Q2 под действием внешних сил перемещается в поле, созданном зарядом Q1, приближаясь к нему с расстояния r1 =1,5 м до r2=1 м.

Наши рекомендации