Клонения гипотезы Но подтверждает наличие тренда в иссле-

Дуемом ряду динамики.

Если количество уровней в ряду динамики не менее десяти

и не более 30 (10 ≤ k ≤ 30), то вместо табл. 8.8 можно использо-

вать приближенную формулу:

Dтабл ≈ 0,02k + 0,88 для α = 0,05;

Dтабл ≈ 0,035k + 0,11 для α = 0,01. (8.40)

Таблица 8.8

k α = 0,05 α = 0,01

4 0,78 0,59

5 0,82 0,42

6 0,89 0,36

8 0,98 0,40

10 1,06 0,48

12 1,13 0,56

14 1,18 0,62

16 1,23 0,68

18 1,27 0,74

20 1,30 0,79

25 1,37 0,88

30 1,41 0,96

35 1,49 1,08

Применим критерий Нойманна к ряду динамики, рассмот-

Ренному нами в примере 8.5. Определяем среднее арифмети-

ческое = 2029586,9.

Для нахождения дисперсии применим формулу

,

Так как число уровней нашего ряда 10 и приведенная нами фор-

мула используется для нахождения несмещенной оценки:

.

По формуле (8.39) получаем

.

Задаем уровень значимости α = 0,05 и по табл. 8.8 нахо-

дим Dтабл = 1,06. Так как количество уровней рассматривае-

мого нами ряда динамики равно 10, то для определения Dтабл

Можно использовать формулу (8.40). Применив ее получим

Dтабл = 1,08. Так как вычисленное значение D лежит ниже таб-

Личного значения, то гипотеза Но отклоняется, а это говорит о

Наличии тренда в рассматриваемом ряду динамики. Повторим

Еще раз, что приведенный нами пример носит учебный харак-

Тер, количество уровней рассмотренного нами ряда мало, поэ-

Тому полученный нами результат мог получиться случайно.

Понятие об автокорреляции

Ряды динамики, у которых каждый уровень может выра-

жаться как функция предыдущих уровней, например yi = f(yi − 1),

Называются авторегрессионными, а зависимость между сосед-

Ними уровнями ряда динамики носит название автокорреля-

Ции. Автокорреляция измеряется с помощью коэффициента

Автокорреляции по формуле

. (8.41)

При анализе рядов динамики изучение автокорреляции

Занимает важное место. Например, при параллельном рассмот-

Рении двух динамических рядов измерять корреляцию между

Ними можно только после проверки обоих рядов на автокор-

Реляцию и исключения ее, если она имеет место. Исключение

Автокорреляции в рядах динамики можно обеспечить, корре-

Лируя не сами уровни, а остаточные величины, которые полу-

Чают путем вычитания из опытных значений уровней их тео-

Ретических величин, т. е.

; .

Тогда корреляция между остаточными величинами нахо-

дится из следующего выражения:

. (8.42)

Остаточные величины (обозначим их ξi) тоже должны про-

Веряться на автокорреляцию. Для этого можно использовать

коэффициент автокорреляции Андерсона (rА) и критерий Дур-

бина-Ватсона (d) (приложение 7):

; (8.43)

. (8.44)

Вычисленное по формуле (8.43) значение rА сравнивается

С табличным (см. приложение 9). Если вычисленное значение

Меньше табличного, то считается, что автокорреляция между

остаточными величинами ξi отсутствует.

Найденное по формуле (8.44) значение d сравнивается с

табличными (см. приложение 7). Если d > d2, то автокорреля-

ции нет, если d < d1, то автокорреляция присутствует, если

d1 ≤ d ≤ d2, то ничего определенного сказать нельзя.

По данным рассмотренного нами примера 8.5 проверим

Остаточные величины на автокорреляцию. Счита-

Ется, что модель тренда подобрана удачно, если в остаточных

Величинах отсутствует автокорреляция. Для этого найдем ко-

эффициент автокорреляции Андерсона (rА) и критерий Дурби-

на-Ватсона (d). Все исходные данные и необходимые расчеты

приведены в табл. 8.9.

По формуле (8.43) получаем

.

Выбираем уровень значимости (ошибку первого рода)

α = 0,01 и из таблицы (см. приложение 9) значения коэффи-

циента корреляции Андерсона находим rАтабл = 0,525. Так как

rА < rАтабл, то можно считать, что автокорреляция между ξi от-

Сутствует, а значит модель тренда подобрана удачно.

По формуле (8.44) находим

.

По таблице значений критерия Дурбина-Ватсона (см.

приложение 7) при ошибке первого рода α = 0,05 определя-

ем d1 = 1,08; d2 = 1,36 (берем значения d1 и d2 для k = 15, так

как таблица не имеет значений для числа уровней меньше 15).

В нашем случае d < d1, а это говорит о наличии автокорреляции

В ряду динамики. То есть, рассчитав два разных коэффициен-

Та, мы получили противоположные результаты.

Ничего страшного в этом нет, мы уже говорили, что наш