Упражнения. В следующих задачах установить область определения и найти линии и поверхности уровня скалярного поля:

В следующих задачах установить область определения и найти линии и поверхности уровня скалярного поля:

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. Найти градиент скалярного поля:

а) .

б) .

в) .

16. Найти векторные линии сферически симметричного поля.

17. Найти векторные линии поля .

18. Найти векторные линии поля .

19. Найти уравнения семейства векторных линий поля:

20. Найти векторные линии поля ( – векторное произведение ).

21. Найти силовые линии:

а) магнитного поля прямолинейного тока;

б) гравитационного поля точечного источника.

22. Поток несжимаемой жидкости имеет потенциал . Найти траектории движения частиц жидкости.

23. В точке (0;0) найти направление, в котором функция z=xsiny + ycosx изменяется быстрее всего.

24.1) Найти наибольшую крутизну подъема поверхности z=ln(x²+4y²) в точке (6; 4; ln100).

2) Найти наибольшую крутизну подъема поверхности z=x^y в точке (2; 2; 4).

25. Каково направление наибольшего изменения функции

j(x,y,z)=xsinz – ycosz в начале координат?

Рис. 1.

26.1) . Найти угол между градиентами этой функции в точках (1; 1) и (3; 4).

2) Даны функции . Найти угол

между градиентами этих функций в точке (3; 4).