Составление дифференциального уравнения движения системы

Задание на расчет

1. Составить дифференциальное уравнение движения данной механической системы.

2. Найти закон движения системы, если в начальный момент времени центр масс ползуна смещен вниз по наклонной плоскости на величину м от положения, в котором он находится при равновесии системы, после чего ему сообщена скорость м/с, направленная вниз.

3. Провести анализ полученных результатов.

Для расчета принять: , , , , , H/м, H/м.

Составление дифференциального уравнения движения системы

Рассматриваемая система имеет одну степень свободы. Это обеспечивается принятыми условиями расчета, в частности, жесткостью стержня, соединяющего массы системы, и отсутствием проскальзывания при качении катка. Направим координатную ось x параллельно наклонной плоскости, совместив ее начало с положением центра масс ползуна при равновесии системы. В качестве координаты, определяющей положение системы, примем величину x — координату центра масс ползуна.

Для составления дифференциального уравнения движения системы применим теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме

, (1.1)

где — кинетическая энергия системы,

— сумма мощностей внешних сил, действующих на систему,

— сумма мощностей внутренних сил.

Так как тела системы являются абсолютно твердыми, а шарниры на концах стержня идеальными (без трения), то сумма мощностей внутренних сил системы равна нулю. Поэтому соотношение (1.1) запишется в виде

. (1.2)

Построим расчетную схему задачи (рис.1.7). Изобразим на рисунке совокупность тел 1-2, свободную от внешних связей, в положении x > 0. Покажем на расчетной схеме скорости центров масс ползуна и катка, полагая их направленными в сторону возрастания координаты x, а также направление вращения катка. Заметим, что точка P катка является его мгновенным центром скоростей. Изобразим на расчетной схеме также внешние силы, действующие на систему:

1) силы тяжести ползуна и катка ;

2) возмущающую силу ;

Положение равновесия центра масс ползуна

Рис. 1.7

3) реакции связей:

· реакцию направляющей ползуна , эта сила перпендикулярна направляющей: ползун скользит без трения;

· реакции плоскости и , приложенные к катку;

· равнодействующую реакций пружин , направленную, в силу симметрии, по оси ;

· реакцию демпфера (силу сопротивления) .

Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел, входящих в ее состав:

. (1.3)

Кинетическая энергия ползуна, движущегося поступательно со скоростью V₁ ,

. (1.4)

Кинетическая энергия катка, совершающего плоское движение,

, (1.5)

где

V₂ — скорость центра масс катка,

— угловая скорость катка,

— момент инерции катка относительно оси, проходящей через его центр масс (R — радиус катка).

Подставляя формулы (1.4) и (1.5) в (1.3), получаем

.

Так как , а , то кинетическую энергию системы, с учетом выражения для момента инерции катка, можно записать в виде

или, поскольку ,

.

Назовем приведенной массой величину

, (1.6)

тогда кинетическая энергия системы

. (1.7)

Вычислим производную по времени от кинетической энергии системы. Учитывая, что , а приведенная масса — величина постоянная, получаем

. (1.8)

Вычислим сумму мощностей внешних сил. Известно, что мощность силы есть скалярное произведение силы на скорость точки ее приложения: . Записывая скалярное произведение через проекции векторов, имеем:

. (1.9)

Эта формула удобна для вычисления мощности внешних сил, действующих на систему, так как скорости точек приложения большинства из них параллельны оси , поэтому в правой части (1.9) остается только первое слагаемое.

Используя формулу (1.9), получаем:

1) мощность силы тяжести ползуна: ,

2) мощность силы тяжести катка: ,

3) мощность возмущающей силы: ,

4) мощность реакции пружин: ,

5) мощность силы сопротивления: .

Кроме того, мощность силы равна нулю, так как эта сила и скорость ее точки приложения взаимно перпендикулярны. Равны нулю также мощности сил и , так как равна нулю скорость их точки приложения.

Таким образом,

. (1.10)

Заметим, что

, (1.11)

где

— коэффициент жесткости эквивалентной пружины,

— статическая деформация эквивалентной пружины.

Замечание. Предлагаем убедиться самостоятельно в следующем: 1) две параллельно соединенные пружины жесткости с1 и с2 эквивалентны одной пружине, имеющей коэффициент жесткости ; 2) две последовательно соединенные пружины жесткости с1 и с2 эквивалентны одной пружине, коэффициент жесткости которой находится из формулы .

Подставляя (1.11) в (1.10), получаем

или

, (1.12)

где

. (1.13)

Приравнивая правые части (1.8) и (1.13) согласно (1.2), получаем после сокращения на :

. (1.14)

Найдем с помощью последнего соотношения и выражения для приведенной силы (1.13) условие равновесия системы. При равновесии системы . Кроме того, равновесие невозможно при наличии возмущающей силы, т.е. в этом случае следует положить . Считая указанные условия выполненными, находим

.

Следовательно, теперь приведенную силу можно записать в виде (здесь учтено выражение для проекции возмущающей силы):

.

Подставив это выражение в уравнение (1.14), находим

,

откуда

.

Введем обозначения

, , .

Тогда дифференциальное уравнение движения системы примет вид

. (1.15)

Таким образом, движение данной механической системы описывается неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. В уравнении (1.15): — коэффициент затухания; — круговая частота свободных колебаний; — относительная амплитуда возмущающей силы.

1.3.1.1. Рекомендации по составлению дифференциального уравнения движения с помощью теоремы о движении центра масс и теоремы об изменении кинетического момента (варианты 1–24)

1. Установить число степеней свободы системы выбрать систему отсчета и обобщенную координату — параметр (все так же, как и в случае применения теоремы об изменении кинетической энергии).

2. Применить теорему о движении центра масс к рассматриваемой системе, освобожденной от внешних связей (рис. 1.7). В проекциях на ось получим

.

Здесь учтено, что , а масса системы .

3. Применить теорему об изменении кинетического момента относительно оси , проходящей через центр масс катка (рис. 1.8):

.

Здесь — угол поворота катка, отсчитываемый по ходу часовой стрелки (в соответствии с направлением отсчета координаты ).

4. Исключить силу трения из уравнений п.2 и п.3. Полученное уравнение привести к виду (1.15) с учетом кинематического соотношения (т. — мгновенный центр скоростей катка), выражения для проекций возмущающей силы , силы сопротивления и упругой силы (см. условие примера и формулы (1.11)).

1.3.1.2. Рекомендации по составлению дифференциального уравнения движения системы с помощью теоремы об изменении кинетического момента (варианты 25–30)

Рассмотрим систему, изображенную на рис. 1.9. Система, совершает колебания за счет энергии, полученной в начальный момент: груз 1 смещен из положения равновесия на величину и ему сообщена скорость . Сопротивление не учитывается, нить нерастяжима и невесома, проскальзывание нити на блоке 2 отсутствует, каток 3 катится без скольжения.

Рис. 1.9

Составление дифференциального уравнения движения системы рекомендуется проводить в следующем порядке:

1. Убедиться в том, что система имеет одну степень свободы, выбрать систему отсчета и обобщенную координату — параметр . Ось направлена вертикально вниз, а ее начало совпадает с положением центра масс груза 1 при равновесии системы. Выбрать направления отсчета углов поворота блока и катка , согласовав их с направлением отсчета координаты , т.е. положительным направлением отсчета обоих углов является направление, противоположное ходу часовой стрелки.

2. Расчленить систему на две части по горизонтальной ветви нити: 1) левую часть — совокупность тел 1 и 2; 2) правую часть — каток 3.

а)

б)

Рис. 1.10

Построить расчетные схемы для каждой из частей, изобразив на них заданные силы и реакции внешних связей: силы тяжести , реакции подшипников блока , реакцию нити на блок — , реакцию нити на каток (нить невесома), реакцию пружины и реакции плоскости — нормальную и силу трения (рис. 1.10).

3. К левой части (рис. 1.10, а) применить теорему об изменении кинетического момента относительно оси вращения блока :

.

где — кинетический момент груза и блока относительно оси , а правая часть равенства — сумма моментов внешних сил относительно той же оси.

Для этого:

а) записать кинетический момент системы относительно оси как функцию проекции скорости груза ; поскольку кинетический момент груза — , а кинетический момент блока — , то

.

Так как нить на блоке не проскальзывает, то угловая скорость блока , поэтому

.

б) найти производную

.

в) записать сумму моментов внешних сил

.

г) приравнять правые части последних соотношений согласно теореме моментов:

. (A)

Это — дифференциальное уравнение движения левой части системы. Оно содержит неизвестную силу — реакцию нити.

4. К правой части системы (рис. 1.10, б) применить теорему об изменении кинетического момента относительно неподвижного центра , принадлежащего плоскости и находящегося в данный момент в контакте с катком. Упомянутую теорему используем относительно оси , перпендикулярной плоскости катка

.

Дальнейшие действия аналогичны действиям, описанным в п. 3.

Необходимо:

а) найти кинетический момент катка относительно оси как функцию

.

где — момент инерции катка относительно оси , а — проекция угловой скорости катка на ту же ось.

Модули скоростей груза и точек нити, включая точку (рис. 1.10), равны, так как нить является нерастяжимой. Такую же величину имеет скорость верхней точки катка. Поэтому угловая скорость катка и

.

Для вычисления момента инерции можно использовать теорему Гюйгенса-Штейнера: , где — момент инерции катка относительно оси, проходящей через его центр масс параллельно оси .

б) найти производную

.

.

в) найти сумму моментов внешних сил, приложенных к катку, относительно оси :

.

г) приравнять, согласно теореме моментов, правые части последних соотношений:

. (Б)

Это — дифференциальное уравнение движения катка. Оно содержит неизвестную силу — реакцию нити.

5. Получить дифференциальное уравнение движения данной системы, исключив из уравнений (А) и (Б) неизвестную силу . Привести полученное уравнение к виду

, (В)

где — круговая частота свободных колебаний системы (здесь выражение для не приводится). При этом следует учесть, что в силу выбора системы отсчета , где — смещение центра масс катка от положения, которое он занимает при равновесии системы.