Проблема идентификации

При переходе от приведенной формы модели к структурной эконометрист сталкивается с проблемой идентификации. Идентификация – это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

Структурная модель (3) в полном виде содержит Проблема идентификации - student2.ru параметров, а приведенная форма модели в полном виде содержит Проблема идентификации - student2.ru параметров. Т.е. в полном виде структурная модель содержит большее число параметров, чем приведенная форма модели. Соответственно Проблема идентификации - student2.ru параметров структурной модели не могут быть однозначно определены из Проблема идентификации - student2.ru параметров приведенной формы модели.

Чтобы получить единственно возможное решение для структурной модели, необходимо предположить, что некоторые из структурных коэффициентов модели ввиду слабой взаимосвязи признаков с эндогенной переменной из левой части системы равны нулю. Тем самым уменьшится число структурных коэффициентов модели. Уменьшение числа структурных коэффициентов модели возможно и другим путем: например, путем приравнивания некоторых коэффициентов друг к другу, т.е. путем предположений, что их воздействие на формируемую эндогенную переменную одинаково. На структурные коэффициенты могут накладываться, например, ограничения вида Проблема идентификации - student2.ru .

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

1) идентифицируемые;

2) неидентифицируемые;

3) сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т. е. если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели. В этом случае структурные коэффициенты модели оцениваются через параметры приведенной формы модели и модель идентифицируема.

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. В этой модели число структурных коэффициентов меньше числа коэффициентов приведенной формы. Сверхидентифицируемая модель в отличие от неидентифицируемой модели практически решаема, но требует для этого специальных методов исчисления параметров.

Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых требуется проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

Выполнение условия идентифицируемости модели проверяется для каждого уравнения системы. Чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Если обозначить число эндогенных переменных в Проблема идентификации - student2.ru -м уравнении системы через Проблема идентификации - student2.ru , а число экзогенных (предопределенных) переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение, — через Проблема идентификации - student2.ru , то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде следующего счетного правила:

Таблица 1

Проблема идентификации - student2.ru уравнение идентифицируемо
Проблема идентификации - student2.ru уравнение неидентифицируемо
Проблема идентификации - student2.ru уравнение сверхидентифицируемо

Для оценки параметров структурной модели система должна быть идентифицируема или сверхидентифицируема.

Рассмотренное счетное правило отражает необходимое, но недостаточное условие идентификации. Более точно условия идентификации определяются, если накладывать ограничения на коэффициенты матриц параметров структурной модели. Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного.

Целесообразность проверки условия идентификации модели через определитель матрицы коэффициентов, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в других, объясняется тем, что возможна ситуация, когда для каждого уравнения системы выполнено счетное правило, а определитель матрицы названных коэффициентов равен нулю. В этом случае соблюдается лишь необходимое, но недостаточное условие идентификации.

В эконометрических моделях часто наряду с уравнениями, параметры которых должны быть статистически оценены, используются балансовые тождества переменных, коэффициенты при которых равны Проблема идентификации - student2.ru . В этом случае, хотя само тождество и не требует проверки на идентификацию, ибо коэффициенты при переменных в тождестве известны, в проверке на идентификацию собственно структурных уравнений системы тождества участвуют.

Рассмотрим пример. Изучается модель вида

Проблема идентификации - student2.ru

где Проблема идентификации - student2.ru – расходы на потребление в период Проблема идентификации - student2.ru , Проблема идентификации - student2.ru – совокупный доход в период Проблема идентификации - student2.ru , Проблема идентификации - student2.ru – инвестиции в период Проблема идентификации - student2.ru , Проблема идентификации - student2.ru – процентная ставка в период Проблема идентификации - student2.ru , Проблема идентификации - student2.ru – денежная масса в период Проблема идентификации - student2.ru , Проблема идентификации - student2.ru – государственные расходы в период Проблема идентификации - student2.ru , Проблема идентификации - student2.ru – расходы на потребление в период Проблема идентификации - student2.ru , Проблема идентификации - student2.ru инвестиции в период Проблема идентификации - student2.ru . Первое уравнение – функция потребления, второе уравнение – функция инвестиций, третье уравнение – функция денежного рынка, четвертое уравнение – тождество дохода.

Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает четыре эндогенные переменные Проблема идентификации - student2.ru и четыре предопределенные переменные (две экзогенные переменные – Проблема идентификации - student2.ru и Проблема идентификации - student2.ru и две лаговые переменные – Проблема идентификации - student2.ru и Проблема идентификации - student2.ru ).

Проверим необходимое условие идентификации для каждого из уравнений модели.

Первое уравнение: Проблема идентификации - student2.ru . Это уравнение содержит две эндогенные переменные Проблема идентификации - student2.ru и Проблема идентификации - student2.ru и одну предопределенную переменную Проблема идентификации - student2.ru . Таким образом, Проблема идентификации - student2.ru , а Проблема идентификации - student2.ru , т.е. выполняется условие Проблема идентификации - student2.ru . Уравнение сверхидентифицируемо.

Второе уравнение: Проблема идентификации - student2.ru . Оно включает две эндогенные переменные Проблема идентификации - student2.ru и Проблема идентификации - student2.ru и одну экзогенную переменную Проблема идентификации - student2.ru . Выполняется условие Проблема идентификации - student2.ru . Уравнение сверхидентифицируемо.

Третье уравнение: Проблема идентификации - student2.ru . Оно включает две эндогенные переменные Проблема идентификации - student2.ru и Проблема идентификации - student2.ru и одну экзогенную переменную Проблема идентификации - student2.ru . Выполняется условие Проблема идентификации - student2.ru . Уравнение сверхидентифицируемо.

Четвертое уравнение: Проблема идентификации - student2.ru . Оно представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в идентификации нет.

Проверим для каждого уравнения достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели.

  Проблема идентификации - student2.ru Проблема идентификации - student2.ru Проблема идентификации - student2.ru Проблема идентификации - student2.ru Проблема идентификации - student2.ru Проблема идентификации - student2.ru Проблема идентификации - student2.ru Проблема идентификации - student2.ru
I уравнение –1 Проблема идентификации - student2.ru Проблема идентификации - student2.ru
II уравнение –1 Проблема идентификации - student2.ru Проблема идентификации - student2.ru
III уравнение –1 Проблема идентификации - student2.ru Проблема идентификации - student2.ru
Тождество –1

В соответствии с достаточным условием идентификации ранг матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, должен быть равен числу эндогенных переменных модели без одного.

Первое уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

  Проблема идентификации - student2.ru Проблема идентификации - student2.ru Проблема идентификации - student2.ru Проблема идентификации - student2.ru Проблема идентификации - student2.ru
II уравнение –1 Проблема идентификации - student2.ru Проблема идентификации - student2.ru
III уравнение –1 Проблема идентификации - student2.ru
Тождество

Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы Проблема идентификации - student2.ru не равен нулю:

Проблема идентификации - student2.ru .

Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.

Второе уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

  Проблема идентификации - student2.ru Проблема идентификации - student2.ru Проблема идентификации - student2.ru Проблема идентификации - student2.ru Проблема идентификации - student2.ru
I уравнение –1 Проблема идентификации - student2.ru Проблема идентификации - student2.ru
III уравнение Проблема идентификации - student2.ru Проблема идентификации - student2.ru
Тождество –1

Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы Проблема идентификации - student2.ru не равен нулю:

Проблема идентификации - student2.ru .

Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.

Третье уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

  Проблема идентификации - student2.ru Проблема идентификации - student2.ru Проблема идентификации - student2.ru Проблема идентификации - student2.ru Проблема идентификации - student2.ru
I уравнение –1 Проблема идентификации - student2.ru
II уравнение –1 Проблема идентификации - student2.ru
Тождество

Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы Проблема идентификации - student2.ru не равен нулю:

Проблема идентификации - student2.ru .

Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.

Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицируемы. Приведенная форма модели в общем виде будет выглядеть следующим образом:

Проблема идентификации - student2.ru

Наши рекомендации