Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля

Лабораторная работа № 2. 3.

Изучение явлений переноса в газах

Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля

Цель работы: экспериментальная проверка закона Пуазейля. Определение коэффициента вязкости воздуха.

I. Основные понятия и определения

При ламинарном (слоистом) течении газа его движение можно представить как перемещение отдельных слоёв. Между двумя соседними, движущимися друг относительно друга слоями газа, действует сила трения, обусловленная столкновением молекул и передаче импульса направленного движения молекул из слоя в слой. Сила, обусловленная внутренним трением по формуле Ньютона равна:

Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля - student2.ru , (1)

где постоянная Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля - student2.ru называется коэффициентом вязкости. Величина Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля - student2.ru показывает изменение скорости среды в направлении оси z, перпендикулярной слоям среды, и называется градиентом скорости; S – площадь соприкосновения слоёв.

Рассмотрим задачу о протекании газа по трубе радиуса r0, между концами которой существует разность давлений Δр = р1 – р2 (см. рис. № 1).

Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля - student2.ru Выделим внутри трубы цилиндр радиуса r и длины Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля - student2.ru . На этот цилиндр в направлении движения действуют две силы. Сила, обусловленная разностью давлений δр на концах цилиндра:

Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля - student2.ru (2)

и сила трения на боковую поверхность:

Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля - student2.ru . (3)

При записи (3) учтено, что градиент скорости Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля - student2.ru . Если разность давлений Δр = р1 – р2 мала (Δр << р1, р2), то можно приближённо считать, что плотность газа при движении вдоль трубы не меняется. Тогда в стационарном случае скорость выделенного цилиндра остаётся постоянной. Поэтому равнодействующая сил F1 и F2 равна 0. Так как силы противонаправлены, то находим:

Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля - student2.ru . (4)

Суммируя (4) по всем цилиндрам Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля - student2.ru вдоль оси, отсюда получаем:

Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля - student2.ru (5)

или Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля - student2.ru .

Интегрируя последнее соотношение по dr, с учётом граничного условия υ(r = r0) = 0, находим зависимость υ(r):

Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля - student2.ru (6)

Это выражение описывает распределение скоростей в жидкости по параболическому закону. Для нахождения объёма dV, протекаемого через поперечное сечение трубы за время dt, выделим в этом сечении кольцо радиуса r и толщины dr (см. рис. 2). Объём газа δV, протекаемый через это кольцо за время dt, равен:

Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля - student2.ru , (7)

где υ = υ(r) определяется формулой (6). интегрируя последнее соотношение по dr, с учётом (3.6) получаем:

Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля - student2.ru (8)

Уравнение (8) называется законом Пуазейля.

Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля - student2.ru

Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля - student2.ru

II. Методика эксперимента

Установка для изучения закона Пуазейля и определения вязкости воздуха (рис. 3) представляет собой бюретку с герметично вставленным сверху капилляром, через который происходит протекание воздуха. Когда кран открывают, давление р воздуха внутри бюретки быстро падает вплоть до того момента, когда объём воздуха, протекающий через капилляр в единицу времени, сравнивается с объёмом воды, вытекающей через кран бюретки в единицу времени (фактически вода идёт по каплям). С установлением стационарного течения начинают измерения. Чтобы применить формулу (8), необходимо знать разность давлений на концах капилляра Δр = р0 – р. Но эта разность как раз уравновешивает воду в бюретке, не давая ей вытекать свободно:

Δp=p0 – p= Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля - student2.ru gh. (9)

За время dt в бюретку натекает объём воздуха:

dV= – S0dh, (10)

где S0 – площадь внутреннего сечения бюретки. Подставляя (9) и (10) в закон Пуазейля (8), получаем уравнение для понижения уровня воды:

Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля - student2.ru , (11)

где

Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля - student2.ru (12)

некоторая постоянная времени системы.

Разделяя переменные в (11): Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля - student2.ru после интегрирования находим: Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля - student2.ru или Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля - student2.ru (13)

где h0 – начальная высота уровня воды (h( t=0)= h0) .

Таким образом, в случае справедливости закона Пуазейля зависимость h(t) имеет экспоненциальный вид.

III. Проведение эксперимента и обработка результатов

1. Наполните бюретку водой. Слив в мерный стакан воду, определите внутреннее сечение бюретки согласно:

Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля - student2.ru

где V0 – объём слитой воды в мерном стакане, Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля - student2.ru – понижение уровня воды в бюретке.

2. Вновь заполните бюретку и вставьте пробку с капилляром. Необходимо провести не менее 8 раз измерения величин, входящих в (3.13). Для этого открыть кран и дождаться момента, когда вода станет равномерно капать из крана.

№п/п Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля - student2.ru Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля - student2.ru Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля - student2.ru
1
10

Одновременно с запуском секундомера записать высоту h0 уровня воды, а с остановкой – высоту h. Измерения проводите с несколькими значениями времени t. Если необходимо, дополните бюретку водой. Результаты занести в таблицу.

Таблица 1.

3.Отложите на графике Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля - student2.ru экспериментальные точки. Отметьте погрешности измерений. Проведите по этим точкам прямую наилучшего приближения. Согласно (13) по наклону этой прямой найдите величину постоянной времени t0 (12).

4. Вычислите вязкость воздуха по (12) и погрешность метода. Составьте и заполните таблицу результатов.

Контрольные вопросы

1. Объясните молекулярно – кинетический механизм вязкости газа.

2. Как вязкость жидкостей и газа зависит от температуры и давления. Каков механизм этой зависимости?

3. Объясните формулу Ньютона для внутреннего трения.

4. Почему скорость слоя газа (жидкости), прилегающего к стенкам трубки, равна нулю?

5. Получите закон Пуазейля в случае трубки с круглым сечением.

6. Пользуясь формулой Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля - student2.ru , где ρ –плотность воздуха, Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля - student2.ru – средняя скорость, R – универсальная газовая постоянная, μ – молярная масса, оцените длину свободного пробега λ для воздуха при комнатной температуре. Найдите ρ из уравнения состояния идеального газа.

7. Какова методика эксперимента?

Наши рекомендации