Построение графиков функций

Графики целых рациональных функций

Задача 4.13

Построить графики функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение.

1) Данную функцию нельзя отнести ни к четным ни к нечетным функциям: .

Ее областью существования является бесконечный интервал . Функция – линейная (это хорошо известно читателю из аналитической геометрии). Ее графиком является прямая линия, для построения которой достаточно знать только две ее точки. Возьмем два произвольных значения аргумента и вычислим соответствующие им значения функции .

-2	-14

Построим на плоскости точки и .

Прямая изображена на фиг. 4.1.

Графики остальных функций постройте самостоятельно.

Задача 4.14

Построить график функции .

Решение.

Заданная функция – четная. Ее график симметричен относительно оси . Поэтому достаточно построить часть графика для значений , а потом дополнить эту часть ее «зеркальным отражением» относительно оси . Так будет получен полный график для этой функции. Так как функция определена при любом значении , составим таблицу ее значений при произвольных значениях и построим на плоскости точки .

Соединим эти точки плавной кривой (фиг.4.2).

Построим теперь «зеркальное отражение» этой кривой относительно оси и получим полный приближенный график данной функции (фиг.4.3). Очевидно что графиком функции является парабола.

Задача 4.15

По известному графику функции построить графики функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Указание. Учесть указание 4.5 (стр.232). Пользуясь графиком функции (фиг.4.3), сохраняя величины абсцисс, в первом случае надо увеличить все ординаты в 3 раза (фиг.4.4), во втором случае уменьшить все ординаты в 2 раза (фиг.4.5), в третьем – уменьшить их в 3 раза (фиг.4.6). В случаях четвертом и пятом использовать указание 4.2 стр.232 (фиг.4.7 и 4.8).

Задача 4.16

(для самостоятельного решения). По известному графику функции построить графики функций: при .

Указание. 1) Построить график функции , использовав график функции . Учесть указание 4.4 (стр.232). Графики этих функции показаны на фиг. 4.9 – 4.12.

Например, график функции получается из графика функции так: увеличив все ординаты этого графика в два раза при сохранении величины соответствующих абсцисс, получим график функции . Если этот график опустить на 3 ед. масштаба, то получим график функции .

Задача 4.17

По известному графику функции построить графики функций:

1) ;

2) .

Решение.

1) График функции получается их графика функции переносом его на 1 ед. масштаба вдоль оси влево – фиг.4.13б (см. указание 4.3 стр. 232).

2) График функции получается из графика функции переносом его вдоль оси на 2 ед. масштаба вправо – фиг. 4.14а и 4.14б (использовать то же указание).

Задача 4.18

(для самостоятельного решения). По известному графику функции построить графики функций:

1) ;

2) .

Задача 4.19

Пользуясь графиком функции , построить график функции .

Решение.

Заданную функцию представим в виде . Исходя из графика функции , построим сначала график функции , а потом этот график перенесен на 1 ед. масштаба вверх (фиг.4.15) – см. указание 4.4 стр.232.

Задача 4.20

(для самостоятельного решения).Пользуясь графиком функции , построить график функции .

Указание.

Заданную функцию записать в виде и вести построение в такой последовательности:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Задача 4.21

(для самостоятельного решения). Построить графики функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4)

5) .

Найти также точки пересечения этих парабол с осью

ПЯТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ

Содержание. Продолжение упражнений в построении графиков функций. Графики показательной и логарифмический функции.

Задача 5.1

Построить график кубической параболы (график этой функции, так же как и график второй степени, надо хорошо запомнить).

Решение.

Функция определена при всех значениях . Функция эта нечетная . Поэтому мы построим сначала ту часть ее графика которая соответствует значениям , а затем для построения полного графика воспользуемся указанием к построению графика нечетной функции (стр. 231). Так как данная функция определена при любом значении , то мы можем составить таблиц числовых значений аргумента.

1) Построим точки и соединяем их плавной кривой. Построим после этого кривую, симметричную этой кривой относительно начала координат.

Вся полученная кривая и будет приближенным графиком функции (фиг. 5.1).

Задача 5.2

(для самостоятельного решения). Зная график функции , построить графики функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

Указание. Построение этих графиков следует выполнять на основании указаний 4.1 – 4.6 стр.232 (см. фиг. 5.2 – 5.6).

Задача 5.3

(для самостоятельного решения). Построить графики параболы четвертой степени и, пользуясь им, построить графики функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) .

(графики удобно строить на одном чертеже, используя указания 4.3 – 4.7).

Задача 5.4

Построить график функции (функция выражает закон обратной пропорциональности между переменными и , а ее график называется графиком обратной пропорциональности).

Решение.

Прежде всего замечаем, что заданная функция – нечетная, так как .

Функция определена при всех значениях , кроме . Ее область существования состоит из двух бесконечных интервалов и .

Построим часть графика для значений , а полный график функции получим на основании указания для построения графика нечетной функции (стр.231). Составим таблицу числовых значений функции для положительных значений аргумента.

Построим на плоскости точки

, соединим их плавной линией. Теперь построим кривую , симметричную ей относительно начала координат, и получим приближенный полный график функции (фиг.5.7)

.

Эта кривая, как известно читателю аналитической геометрии,—равнобочная гипербола (иногда говорят равноосная гипербола).

График этой функции был уже рассмотрен в первой части этого пособия. Там же был рассмотрен и график дробнолинейной функции вида

Читателю рекомендуется повторить относящиеся сюда вопросы.

Графики показательной и логарифмической функции

Задача5.5

Построить график функции . Считая этот график исходным, построить график функций:

1) ;

2) ;

3) .

Решение.

Показательная функция определена при всех значениях . Ее областью существования является бесконечный интервал . Составим таблицу числовых значений функции, давая аргументу произвольные значения.

Построим на плоскости эти точки, соединим их плавной кривой линией и получим приближенный график данной функции (фиг.5.8а)

1) График функции симметричен функции относительно оси (фиг.5.8б), т.к. если , то (см. указание 4.1 на стрю232).

-5
-4
-3
-2
-1

2) График функции симметричен графику функции относительно оси —см.указание 4.2,стр. 232(фиг5.8в).

3) График функции симметричен графику функции относительно оси (фиг.5.8г) – см. указание 4.2 стр.232.

Задача 5.6

(для самостоятельного решения). Построить график функции и, считая его исходным, построить графики функций:

1) ;

2) ;

3) .

Задача 5.7

Построить график функции , считая исходным график функции .

Решение.

Для построения графика функции по исходному графику следует воспользоваться указанием 4.6(стр.232).

Сначала построим график функции . На этом графике выбираем только несколько точек. На том же чертеже построим точки, ординаты которых равны ординатам выбранных точек, но с абсциссами в два раза меньшими, чем у них (на фиг.5.9 на графике функции выбраны точки , и ). Полученные точки соединим плавной кривой линией, которая и будет приближенным графиком функции .

Задача 5.8

(для самостоятельного решения). Считая исходным график функции , построить график функции .

Задача 5.9

(для самостоятельного решения). Построить график функции и, считая его исходным, построить графики функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

Указание. При построении графиков функции 1) и 2) использовать указание 4.4 (стр 232), а при построении графика функции 4) использовать указание 4.6 стр.232.

Задача 5.10

Построить график функции .

Решение.

Заданная функция определена только для значений . Составим таблицу числовых значений функции при некоторых произвольно выбранных положительных значениях аргумента. Построим на плоскости точки, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим им значениям функции.

	-2
	-1
	0,3010
	0,4771
	0,6021

Построенные точки соединим плавной кривой линией и получим приближенный график данной функции (фиг.5.10)

Задача 5.11

(для самостоятельного решения). Зная график функции , построить графики функций

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Указание к 4) .

Использовать также указание 4.2(стр.232).

ШЕСТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ

Содержание: Построение графиков тригонометрических и обратных тригонометрических функций