Промежутки знакопостоянства и нули функции

Определение: Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак, то есть остается положительной или отрицательной, называются промежутками знакопостоянства функции.

Вывод:

1. Если на некотором промежутке график функции расположен выше оси абсцисс, то функция на этом промежутке принимает положительные значения.

2. Если на некотором промежутке график функции расположен ниже оси абсцисс, то функция на этом промежутке принимает отрицательные значения.

Определение: Значения аргумента х из области определения функции, при которых функция обращается в нуль, называются нулями функции.

Вывод: Нулями функции являются абсциссы точек пересечения графика функции с осью абсцисс.

Пример: Определить промежутки знакопостоянства и нули функции Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru , заданной на Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru .

а
х1
О
х2
х3
b
х
у

Значения аргумента х1, х2, х3 - нули функции Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru , так как Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru

Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru ; Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru .

Ограниченность функций

Определение: Функция Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru называется ограниченной, если существуют два числа т и М такие, что все значения функции удовлетворяют условию Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru , то есть Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru .

Определение: Функция Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru называется ограниченной сверху, если существует число М такое, что все значения функции удовлетворяют условию

Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru , то есть Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru .

х
у
у
х
М
М
т
Определение: Функция Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru называется ограниченной снизу, если существует число т такое, что все значения функции удовлетворяют условию Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru , то есть Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru .

у
у
х
х
т
Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru - ограниченная функция Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru - ограниченная сверху, но неограниченная снизу функция

Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru - ограниченная снизу, но Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru - неограниченнаясверху неограниченная сверху функция и снизу функция

Упражнения:

1. Выяснить, является ли функция четной или нечетной:

а) Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru ; б) Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru ; в) Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru ; г) Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru;

2. Найти область определения функции, заданной формулой:

х
у
а) Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru ; б) Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru ; в) Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru .

3. Дана функция Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru на отрезке Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru.

Найти обратную ей функцию и ее область определения.

4. Исследовать функцию, заданную графиком:

Схема исследования функции

  1. Область определения функции.
  2. Множество значений функции.
  3. Четность, нечетность функции.
  4. Монотонность функции.
  5. Обратимость функции.
  6. Нули функции.
  7. Промежутки знакопостоянства функции.
  8. Ограниченность функции.

Линейная функция, ее свойства и графики

Определение: Линейной функцией называется функция вида Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru , где x – независимая переменная, k, b – некоторые числа.

Замечание:Графиком линейной функции является прямая.

1. Область определения функции Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru : Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru .

2. Множество значений функции Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru : Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru .

3. Функция Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru не является ни четной, ни нечетной, так как

Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru ; Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru f ( - х ) = k ∙ ( - х ) + b = - k ∙ x + b;

Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru и Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru .

4.

Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru
х
у
Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru
х
у
l
l
Функция является монотонной:

Рис. 1. Рис. 2.

Определение: Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс.

a - угол наклона прямой l к положительному направлению оси Ох.

k = tga - угловой коэффициент прямой l .

Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru Þ Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru – монотонно возрастающая функция (Рис. 1.)

Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru Þ Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru – монотонно убывающая функция (Рис. 2.)

5. Функция Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru является обратимой:

Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru ; Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru - функция, обратная для Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru .

6.

__
х
+
Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru
__
х
Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru
+
у = 0; Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru ; Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru - нуль функции Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru ( k ¹ 0 ).

7.

Рис. 3. Рис. 4.

Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru ; Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru ; Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru ; Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru ;

Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru y< 0; Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru y > 0;

Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru y > 0. Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru y < 0.

8. Функция неограниченная: Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru

9. При х = 0 у = b.

Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru – точка пересечения прямой с осью Оу.

b – начальная ордината – отрезок, отсекаемый прямой на оси Оу .

х
у
b > 0
(0; b)
х
у
b < 0
(0; b)

Рис. 5. Рис. 6.

Частные случаи линейной функции Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru .

1. k = 0; y = b ( у = const );

2. b = 0, k ¹ 0; y = k x–прямая пропорциональность.

Пример:

х
О
у
- 2
a
х
О
у
- 1
a
- 1
Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru

Рис.1 Рис. 2

х
О
у
- 1
a
х
О
у
- 2
a
- 1
Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru

Рис. 3 Рис. 4

х
у
- 1
у = 0, a = 0
х
a
- 1
у
Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru

Рис. 5 Рис. 6

5. Степенная функция, ее свойства и графики

Определение: Функция вида Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru , где a Î R, называется степенной функцией.

Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru (a - натуральноечетное число)

1. Область определения функции: Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru (любое действительное число можно возвести в квадрат).

2. Множество значений функции: Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru

(при возведении в квадрат любого действительного числа получается неотрицательное число).

Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru ;

х = 0 у = 0;

Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru .

х
у
-1
-2
-3
Вывод: График функции проходит через начало координат, расположен в первой и второй координатных четвертях.

3. Функция является четной,так как ее область определения симметрична относительно начала координат и для любогох Î Rвыполняется равенство Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru .

Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru .

Вывод: График функции симметричен относительно оси ординат.

4. Функция не является монотонной, так как она убываетпри Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru ивозрастаетпри Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru .

5. Функция не является обратимой, так как не является монотонной.

6. у = 0; х 2 = 0; х = 0 - нуль функции.

7. Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru у > 0;

Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru у > 0.

8. Функция является ограниченной снизу, так как у ³ 0.

Замечание: Графиком функции Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru является парабола.

х
у
-2
-8

Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru (a - натуральное нечетное число)

1. Область определения функции: Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru

(любое действительное число можно возвести в куб).

2. Множество значений функции: Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru :

Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru ;

х = 0 у = 0;

Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru .

Вывод: График функции проходит через начало координат, расположен в первой и третьей координатных четвертях.

3. Функция является нечетной,так как ее область определения симметрична относительно начала координат и для любого х Î Rвыполняется равенство Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru .

Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru .

Вывод: График функции симметричен относительно начала координат.

4. Функция является монотонно возрастающей на всей области определения.

5. Функция Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru имеет обратную функцию Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru , так как монотонна.

6. у = 0; х 3 = 0; х = 0 - нуль функции.

7. Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru у < 0; Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru у > 0.

8. Функция является неограниченной сверху и снизу.

Замечание: Графиком функции Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru является кубическая парабола.

Вывод:

1. Функция Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru , где a - натуральное четное число, имеет обратную функцию Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru при Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru .

2. Функция Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru , где a - натуральное нечетное число, имеет обратную функцию Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru при Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru .

Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru (a - дробное четное число)

1. Область определения функции: Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru .

(Арифметический квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа).

2. Множество значений функции: Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru .

(Приизвлечении арифметического квадратного корня из неотрицательного числа получается неотрицательное число).

х = 0 у = 0;

Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru .

Вывод: График функции проходит через начало координат, расположен в первой координатной четверти.

3. Функция ни четная, ни нечетная,так как область определения функции не является симметричной относительно начала координат.

4. Функция является монотонно возрастающей.

5. Функция обратима, так как монотонна.

6. у = 0; Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru ; х = 0 - нуль функции.

7. Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru у > 0.

8.

х
у
Функция является ограниченной снизу, так как у ³ 0.

Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru (a - дробное нечетное число)

1. Область определения функции: Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru .

(Существует корень нечетной степени из отрицательного числа).

2. Множество значений функции: Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru , так как

Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru ;

х = 0 у = 0;

Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru .

Вывод: График функции проходит через начало координат, расположен в первой и третьей координатных четвертях.

3. Функция является нечетной,так как ее область определения симметрична относительно начала координат и для любого Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru выполняется равенство Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru , Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru .

Вывод: График функции симметричен относительно начала координат.

4. Функция является монотонно возрастающей на всей области определения.

5. Функция Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru имеет обратную функцию у = х 3, так как монотонна.

6. у = 0; Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru х 3; х = 0 - нуль функции.

7. Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru у < 0; Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru у > 0.

8. Функция является неограниченной.

х
у
- 2
- 1
- 1
- 8

Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru (a - отрицательное четное число)

1. Область определения функции: Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru .

2. Множество значений функции: Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru , так как

Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru ; Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru .

Вывод: График функции расположен в первой и второй координатных четвертях.

3. Функция является четной,так как ее область определения симметрична относительно начала координат и для любого Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru выполняется равенство Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru .

Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru.

Вывод: График функции симметричен относительно оси ординат.

4. Функция не является монотонной, так как она возрастает при Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru иубывает при Промежутки знакопостоянства и нули функции - student2.ru .

Наши рекомендации