Решение задачи Лагранжа

Задача Лагранжа в классическом ее понимании заключается в следующем.

В цилиндре , ограниченном слева неподвижной стенкой и безгранично продолженном вправо на расстоянии l0 от дна цилиндра находится поршень весом q . Площадь поперечного сечения цилиндра равна S0 . В пространстве между дном цилиндра и поршнем находится Решение задачи Лагранжа - student2.ru кг газа под давлением p0 с плотностью Решение задачи Лагранжа - student2.ru 0 . Газ однороден и неподвижен . В момент t = 0 поршень получает возможность двигаться без сопротивления под действием давления газа . Движение газа является одномерным , влияние теплоотдачи не учитывается . Требуется определить возможное в этих условиях движение газа и движение поршня. Таким образом задача Лагранжа сводится к основной задачи внутренней баллистики в предположении о мгновенном сгорании заряда и отсутствии теплоотдачи сопротивления движению и других второстепенных работ , за исключением движения газа . Задача поставленная в 1790г. неоднократно привлекала к себе внимание многих ученых : Пиддек ( 1921г. ) , Госсо и Лиувиль(1922г. ) , Фок( 1935г. ) , Платрие ( 1936г. )-вот далеко не полный перечень ученых , посветивших свои работы решению этой задачи . Наиболее полно она решена С.А. Бетехтиным (1948г.) с учетом коволюма газа для каморы с уширением , с учетом теплоотдачи . Позднее она решалась Л.Л. Поповым , Зайченко Ю.И. ( в оссиметричной постановке ) , Никулиным О.А. в новых относительных переменных , Ушаковым В.М. , Комаровским А.В. и другими .

Решение задачи Лагранжа имеет большое практическое значение , т.к. позволяет установить основные закономерности движения газов и в более сложных случаях , каким является течение газопороховой смеси при выстреле из орудия .

С газодинамической точки зрения задача Лагранжа является задачей об одномерном неустановившемся движении газа при соответствующих начальных и граничных условиях . Если поместить начало координат у дна цилиндра и направить ось X в сторону движения поршня , то начальными условиями будут следующие : при t =0 0=<x<l0 , Р=Р0 , Решение задачи Лагранжа - student2.ru , U=0 , T=T0 .

Граничные условия вытекают из того обстоятельства , что слои газа непосредственно прилегающие к дну цилиндра и к дну поршня не могут ни проникнуть через эту поверхность , ни отставать от них . По этому граничные условия будут формулироваться следующим образом :

X=0 , U=0

X=l+l0 , Решение задачи Лагранжа - student2.ru ( 11,14 )

где l - путь , пройденный поршнем к рассматриваемому моменту времени .

Допустим , что газ идеальный . Рассмотрим область движения в плоскости X,t . Слева она ограничена осью t , а справа - неизвестной еще нам кривой , изображающей закон движения поршня X=f(t) . Начальными условиями определены все искомые функции на отрезке 0 - l0 оси X . Известно , что f'(0)=0 , f''(0)>0 , f''(t)>0 , т.е. поршень начинает двигаться с нулевой скоростью , но с конечным ускорением , причем ускорение поршня остается положительным во время его движения . Поскольку слой газа , примыкающий к дну поршня не может ни оторваться , ни обогнать поршень в своем движении , будет всегда выполняться условие :

Ux=f(t)=f'(t)

где Ux=f(t) - скорость слоев газов , прилегающих к дну поршня . Таким образом скорость , а следовательно и остальные параметры переднего слоя будут непрерывно изменяться в результате движения поршня .

Расширение бесконечно тонкого газа будут вызывать расширение соседнего слоя газа , а это в свою очередь приведет к последовательному расширению все более и более удаленных слоев газов. Погазу будет распостраняться волна разряжения . Поскольку поршень движется с конечным ускорением , то за бесконечно малый промежуток времени скорость , а следовательно остальные параметры газа будут изменятся на бесконечно малую величину . Но ,как известно , бесконечно малые изменения параметров газа распостраняются по массе газа ,т.е. передаются от слоя к слою с вполне определенной скоростью , зависящей от давления и плотности газа и носящей название местной скорости звука в газе . Если при этом сами слои газа двигаются со скоростью "U" вправо , то бесконечно малые изменения параметров газа или элементарные возмущения будут перемещаться относительно неподвижных стенок трубы по закону

Решение задачи Лагранжа - student2.ru (11.15) , где С –скорость звука в газе (уравнение 11.15 нельзя записать в конечном виде т.к. "U" и "c" могут быть функциями "x" и"t" ).

Допустим ,что нам удалось найти частное решение системы (11.13), т.е. отыскать такие две функции : Решение задачи Лагранжа - student2.ru и Решение задачи Лагранжа - student2.ru , которые удовлетворяют уравнениям (11.13) и граничному условию Решение задачи Лагранжа - student2.ru , имея это решение , мы можем построить в плоскости (x,t) систему линий

Решение задачи Лагранжа - student2.ru , которые называются характеристиками (рис… фиг.2).

В условиях задачи Лагранжа , линии будут прямыми , идущими расходящимися пучками , т.е. на одно элементарное возмущение не будет в процессе своего перемещения обгонять предыдущее ,т.к. скорость звука падает при расширении . А так как каждое последующее элементарное возмущение распостраняется по газу , все более и более разряженному , воздействием предыдущих возмущений , то отсюда и следует , что одно последующее возмущение не сможет догнать предыдущее . Система значений U=0 и с=с0 нетрудно убедится , также будет одним из частных решений системы U=U1(x,t) и c=c1(x,t) будут справедливы лишь выше линии ОА . Таким образом вдоль линии ОА происходит переход от одного частного решения системы к другому .

Как было показано выше вдоль характеристик выполняются соотношения Решение задачи Лагранжа - student2.ru , аналогично вдоль характеристики , идущей вправо Решение задачи Лагранжа - student2.ru будет выполнятся соотношение Решение задачи Лагранжа - student2.ru или окончательно можно записать : Решение задачи Лагранжа - student2.ru (11.16)

( характеристики I семейства

Решение задачи Лагранжа - student2.ru (11.17)

( характеристики II семейства

S и R называются инвариантами Римана .

Уравнения (11.16) и (11.17) имеют вполне определенный физический смысл. Уравнения характеристик в плоскости x, t как следует выше описывают законы перемещения элементарных возмущений . Уравнения же характеристик в плоскости искомых функций определяют связь между изменениями скорости течения "U" и местной скорости звука –"с" , которая должна выполнятся при перемещении данного элементарного возмущения .

Значения "U" и "с" в любой точке области движения можно выразить через S и R в этой точке , т.е. через значения постоянных интегрирующих вдоль характеристик , противоположных семейств , проходящих через данную точку Решение задачи Лагранжа - student2.ru , Решение задачи Лагранжа - student2.ru (11.18)

Поскольку S или R сохраняют постоянное значение вдоль данной характеристики соответственного семейства , но могут принимать различные значения вдоль различных характеристик этого семейства , то вообще говоря возможно следующие три случая :

1. В некоторой части плоскости (x, t) S имеет на всех характеристиках I семейства одно и то же значение S=Idcm, а R=Idm. одно и то же значение на всех характеристиках II семейства в этой же части плоскости ,т.е. во всех точках плоскости U=const и c=const , т.е. поток газа будет в этой части плоскости однородным . Если при этом S=R,то U=0 ,а с=с0 рассматриваемая область будет областью покоя ( рис…)

2. Постоянные интегрирования одного из семейств ( предположим ,что I семейства ) сохраняет постоянное значение в некоторой области (S=Idm.) постоянные же интегрирования другого семейства (II семейства ) R меняется от характеристики к характеристике. Поэтому в пределах рассматриваемой области вдоль каждой характеристики II семейства в плоскости x, t скорость течения "U" и местная скорость звука будут сохранять постоянные значения (S=Idm. R=const вдоль этой характеристики ) I семейства , то сами характеристики II семейства будут прямыми линиями. Течения такого рода носят названия волн одного направления (рис..) .Так как вдоль линии ОА все характеристики I семейства имеют одно и то же значение S=Idm, то в области волны одного направления характеристики II семейства будут прямыми линиями , а характеристики I семейства, где в каждой точке только S=const ,а R –меняется ,эти характеристики I семейства будут кривыми линиями . Характеристики I семейства –кривая АВ будет отделять область волны одного направления от области , где S, R меняться от характеристики к характеристики ( область общего случая неустановившегося движения в газе ).

3. Третий случай , когда в пределах рассматриваемой области оказываются переменными как S так и R это является наиболее общим случаем неустановившегося движения газа . Для этого случая нельзя установить каких-либо иных закономерностей , кроме тех, которые заложены в самих уравнениях характеристик.

В области волны одного направления параметры газа и скорость течения , а также закон движения поршня находятся по аналитическим зависимостям . В общим случае , задачи решаются численно . Если ОА разбить на 256 отрезков , то значения Решение задачи Лагранжа - student2.ru находятся с точностью до 0,1% в области волны одного направления , эту точность можно перенести и в общий случай . Как правило , чтобы уменьшить количество вариантов задача Лагранжа решается в относительных переменных . Обычно за отнсительные переменные принимаются :

Решение задачи Лагранжа - student2.ru , Решение задачи Лагранжа - student2.ru , Решение задачи Лагранжа - student2.ru , Решение задачи Лагранжа - student2.ru , Решение задачи Лагранжа - student2.ru , Решение задачи Лагранжа - student2.ru , Решение задачи Лагранжа - student2.ru (11.19)

Такие относительные переменные неудобны при оценке влияния коволюма газа , ускорения поршня длины ствола , уширения каморы .

В частности ,в этих относительных переменных решена задача Лагранжа ,С.А. Бетехтиным ,Н.Н. Поповым и другими . Из результатов решения трудно выявить волновую картину процесса расширения газа .

О.А. Никулиным предложены новые относительные переменные , которые свободны от перечисленных выше недостатков .

За единицу измерения параметров принимаются : Решение задачи Лагранжа - student2.ru , где Решение задачи Лагранжа - student2.ru - аналог скорости звука в газе , равный

Решение задачи Лагранжа - student2.ru (11.20)

Решение задачи Лагранжа - student2.ru - начальное ускорение поршня (11.21)

S0 –площадь сечения канала ствола

q –вес снаряда

Р0 –начальное (максимальное давление газа)

Т0 –начальная температура(max)

R –газовая постоянная

Решение задачи Лагранжа - student2.ru - ковалюм единицы массы газа

Решение задачи Лагранжа - student2.ru -начальная плотность газа (max)

K –показатель адиабаты

Тогда Решение задачи Лагранжа - student2.ru , Решение задачи Лагранжа - student2.ru , Решение задачи Лагранжа - student2.ru , Решение задачи Лагранжа - student2.ru , Решение задачи Лагранжа - student2.ru , Решение задачи Лагранжа - student2.ru , Решение задачи Лагранжа - student2.ru , Решение задачи Лагранжа - student2.ru (11.22)

В области волны одного направления относительные переменные определяются по следующим формулам ( в зависимости от Решение задачи Лагранжа - student2.ru )

Решение задачи Лагранжа - student2.ru (11.23)

Решение задачи Лагранжа - student2.ru (11.24)

Решение задачи Лагранжа - student2.ru (11.25)

Решение задачи Лагранжа - student2.ru (11.26)

Решение задачи Лагранжа - student2.ru (11.27)

Решение задачи Лагранжа - student2.ru (11.28) Решение задачи Лагранжа - student2.ru (11.29)

Уравнение справедливо до момента т. В ,когда отраженная от дна канала ствола волна догонит снаряд

Решение задачи Лагранжа - student2.ru (11.30)

Откуда оптимальный относительный вес газа

Решение задачи Лагранжа - student2.ru (11.31) , т.е. когда отраженная от дна каморы волна догонит снаряд у дульного среза .

Из выражения (11.20-11.31) следует ,что скорость снаряда Решение задачи Лагранжа - student2.ru и параметры газа Решение задачи Лагранжа - student2.ru , а также оптимальное значение Решение задачи Лагранжа - student2.ru при одних и тех же значениях Решение задачи Лагранжа - student2.ru и длине ствола S0 не зависят от ковалюма газов влияет только на объём каморы , или длину каморы при S0=const увеличивая её на величину Решение задачи Лагранжа - student2.ru . Численные расчеты показывают справедливость такого вывода и в более общем случае .

Решение задачи Лагранжа - student2.ru газ водород

Таблица 25

Решение задачи Лагранжа - student2.ru Решение задачи Лагранжа - student2.ru
Решение задачи Лагранжа - student2.ru Решение задачи Лагранжа - student2.ru Решение задачи Лагранжа - student2.ru Решение задачи Лагранжа - student2.ru Решение задачи Лагранжа - student2.ru Решение задачи Лагранжа - student2.ru
0,7881 0,1671 0,00157 0,7882 0,1671 0,0016
0,6351 0,3137 0,00650 0,6352 0,3137 0,0065
0,5242 0,4440 0,0150 0,5214 0,4440 0,0152
0,4344 0,5614 0,0276 0,4346 0,5614 0,0275
0,3668 0,6673 0,0437 0,3669 0,6669 0,0437
0,3134 0,7638 0,0641 0,3135 0,7634 0,0640
0,2704 0,8519 0,0885 0,3705 0,8519 0,0885
0,2553 0,9336 0,1172 0,2354 0,9332 0,1172
0,0881 1,1314 0,2606 0,0883 1,1311 0,2602
0,0361 1,262 0,5385 0,0361 1,2613 0,5373
0,01558 1,354 1,0472 0,0155 1,3533 1,0439
0,00689* 1,421* 1,9520* 0,0069* 1,4205* 1,9456*
0,003116 1,472 3,548 0,0031 1,4718 3,5328
0,001427 1,512 6,3531 0,0014 1,5113 6,3222

В таблице отмечены изменения давления на снаряд , относительная скорость снаряда и относительный путь снаряда для идеального водорода ( Решение задачи Лагранжа - student2.ru ) и реального водорода ( Решение задачи Лагранжа - student2.ru ). Из таблицы видно ,что коволюм не влияет на эти характеристики и так как расчеты проводились в абсолютных значениях величин , а обработка в новых относительных переменных , то видно ,что точность расчета выше чем 0,1% (при сравнении с аналитическими формулами (11.20)-(11.31)).

На рис…показано изменение относительного давления от скорости снаряда , а на рис….. изменение относительной скорости от относительного пути снаряда . Из рис. 1 и 2 видно ,что огибающие кривых соответствуют случаю когда Решение задачи Лагранжа - student2.ru ∞ , точками 0.5;1.0;1.5;2.0;2.5;3.0;3.5;4.0;5.0;6.0;7.0 соответствует значению Решение задачи Лагранжа - student2.ru , Решение задачи Лагранжа - student2.ru и т.д. и они показывают :

1. при заданной относительной длине ствола Решение задачи Лагранжа - student2.ru , соответствует максимальной относительной скорости снаряда и оптимальное значение веса газа , т.е. Решение задачи Лагранжа - student2.ru и Решение задачи Лагранжа - student2.ru

2. Если мы увеличим количество газа Решение задачи Лагранжа - student2.ru , то скорость снаряда ни найоту не увеличивается ,т.е. дополнительное количество газа просто не участвует в передачи энергии снаряду т.к. дополнительного слоя волна разряжения идущая от дна снаряда не успела дойти , а снаряд вылетел из ствола .

Если мы уменьшим количество газа т.е. Решение задачи Лагранжа - student2.ru , то получим резкое падение скорости снаряда при заданной длине ствола

Например, при Решение задачи Лагранжа - student2.ru , Решение задачи Лагранжа - student2.ru , Решение задачи Лагранжа - student2.ru , Решение задачи Лагранжа - student2.ru , Решение задачи Лагранжа - student2.ru ,

при Решение задачи Лагранжа - student2.ru и Решение задачи Лагранжа - student2.ru , Решение задачи Лагранжа - student2.ru , Решение задачи Лагранжа - student2.ru , то есть ни дульная скорость снаряда, ни дульное давление не увеличивалось.

Увеличилась только длина каморы в 1,5 раза . Этот вывод не был бы сделан если бы не делали пересчет при использовании прежних относительных переменных Решение задачи Лагранжа - student2.ru , при Решение задачи Лагранжа - student2.ru при Решение задачи Лагранжа - student2.ru , которое не зависит от Решение задачи Лагранжа - student2.ru (это важно ,при обычных относительных переменных Решение задачи Лагранжа - student2.ru увеличилась бы в 2 раза ) дульная скорость Решение задачи Лагранжа - student2.ru , Решение задачи Лагранжа - student2.ru .

На рис. 3 приведены оптимальные значения Решение задачи Лагранжа - student2.ru для разных газов , принимая

показатель адиабаты для гелия Решение задачи Лагранжа - student2.ru , для водорода Решение задачи Лагранжа - student2.ru и пороховых газов Решение задачи Лагранжа - student2.ru . Уравнения (11.23),(11.26),(11.31)примут вид :

для гелия Решение задачи Лагранжа - student2.ru

для водорода Решение задачи Лагранжа - student2.ru

для пороховых газов Решение задачи Лагранжа - student2.ru

Результаты расчетов представлены в таблице 26

Решение задачи Лагранжа - student2.ru Решение задачи Лагранжа - student2.ru Решение задачи Лагранжа - student2.ru Решение задачи Лагранжа - student2.ru
  5/3 7/5 11/9 5/3 7/5 11/9 5/3 7/5 11/9
0,5 0,2316 0,206 0,191 0,550 0,434 0,364 0,4996 0,4997 0,4998
1,0 2,016 1,469 1,225 1,56 1,11 0,902 0,9949 0,9956 0,9987
1,5 12,75 6,50 4,615 3,75 2,24 1,64 1,484 1,476 1,484
2,0 25,8 14,5 4,24 2,76 1,884 1,93 1,95
2,5 107,5 42,34 43,8 8,17 4,5 2,19 2,333 2,386
3,0 - 529,8 122,0 - 17,0 7,25 - 2,67 2,78
3,5     358,9     11,8     3,075
4,0         19,7     3,42

В таблице приведены результаты скорости снаряда Решение задачи Лагранжа - student2.ru в случае использования классического метода расчета –" термодинамического " расширения газа .

Решение задачи Лагранжа - student2.ru ,где Решение задачи Лагранжа - student2.ru Решение задачи Лагранжа - student2.ru или окончательно

Решение задачи Лагранжа - student2.ru (11.32)

при одинаковых значениях Решение задачи Лагранжа - student2.ru и Решение задачи Лагранжа - student2.ru .

Из таблицы в частности видно ,что при дульных скоростях снаряда для пороховых газов Решение задачи Лагранжа - student2.ru .

Термодинамическое расширение даёт дульную скорость на 500-600 Решение задачи Лагранжа - student2.ru ниже , а при скорости 3,5-3,8 Решение задачи Лагранжа - student2.ru реально получены на установках ППН для легких снарядов ( Решение задачи Лагранжа - student2.ru ) .Из соотношения (11.32) ,найдем оптимальное значение Решение задачи Лагранжа - student2.ru , которое дает максимальное значение скорости при заданной длине ствола Решение задачи Лагранжа - student2.ru .

Дифференцируя и приравнивая Решение задачи Лагранжа - student2.ru , получим соотношение :

Решение задачи Лагранжа - student2.ru (11.33)

Разрешая это уравнение , находим Решение задачи Лагранжа - student2.ru .

Например . Для пороховых газов Решение задачи Лагранжа - student2.ru получим вместо Решение задачи Лагранжа - student2.ru значение Решение задачи Лагранжа - student2.ru при этом Решение задачи Лагранжа - student2.ru , т.е. 2.5% больше , что не может быть т.к. в передаче энергии снаряду участвует лишь Решение задачи Лагранжа - student2.ru или пусть Решение задачи Лагранжа - student2.ru получим вместо Решение задачи Лагранжа - student2.ru значение Решение задачи Лагранжа - student2.ru при этом Решение задачи Лагранжа - student2.ru вместо Решение задачи Лагранжа - student2.ru , однако количество газа участвующая в передаче энергии снаряду равно Решение задачи Лагранжа - student2.ru . Остальное количество газа лишнее .

11.3 Влияние уширения каморы.

Из графиков рис. 1 и 2 ясно , чтобы увеличить скорость снаряда при заданной природе газа , максимальном давлении и заданной длине ствола , необходимо длину каморы оставить без изменения , но увеличить поперечное сечение каморы ,т.е. x>1 , тогда большее количество газа будет участвовать в передаче энергии снаряду .

Результаты расчетов при больших значениях Решение задачи Лагранжа - student2.ru и резком переходе из газовой каморы l ствол приведены на рис.3 .

Приближенно оценить увеличение скорости снаряда за счет уширения каморы можно по выведенным О.А. Никулиным формулам

Решение задачи Лагранжа - student2.ru (11.34)

Решение задачи Лагранжа - student2.ru увеличение инвариантно S

где Решение задачи Лагранжа - student2.ru "U1", и "U" скорости газа на входе и выходе из соединительного конуса между каморой стволом .

Формула (11.34) выведена при предположении ,что Решение задачи Лагранжа - student2.ru в переходном конусе .

Решение задачи Лагранжа - student2.ru (11.35)

Решение задачи Лагранжа - student2.ru

Подставляя (11.35) в уравнении (11.34) окончательно получим

Решение задачи Лагранжа - student2.ru (11.36)

где Решение задачи Лагранжа - student2.ru

Для бесконечного уширения каморы x=∞ получим

Решение задачи Лагранжа - student2.ru (11.37)

Результаты Решение задачи Лагранжа - student2.ru полученные для водорода и гелия при Решение задачи Лагранжа - student2.ru и разных значениях уширения каморы приведены в таблице 27

Таблица 27

Решение задачи Лагранжа - student2.ru водород гелий
приближенное точное приближенное точное
0,388 0,302 0,347 0,288
0,587 0,402 0,570 0,388
0,605   0,645  

Точное решение полученное при решении задачи Лагранжа с уширением каморы Решение задачи Лагранжа - student2.ru и 16 при нахождении точного решения радиуса переходного конуса имеем вид Решение задачи Лагранжа - student2.ru (11.38)

где Решение задачи Лагранжа - student2.ru -высота переходного конуса R и r радиусы каморы и ствола , соответственно . В таблице 28 приведены результаты расчетов для реального водорода ( Решение задачи Лагранжа - student2.ru ) с уширением каморы x=16 и разных значениях Решение задачи Лагранжа - student2.ru

Таблица 28

Решение задачи Лагранжа - student2.ru Решение задачи Лагранжа - student2.ru Решение задачи Лагранжа - student2.ru Решение задачи Лагранжа - student2.ru Решение задачи Лагранжа - student2.ru Решение задачи Лагранжа - student2.ru
0,1921 0,9239 0,1358 0,0563 0,019
0,3757 0,8232 0,238 0,1370 0,081
0,5469 0,7180 0,260 0,2871 0,187
0,7046 0,6212 0,3190 0,3854 0,346
1,1032 0,3854 0,4684 0,6663 1,206
1,6860 0,1668 0,5574 1,1286 5,03
2,1028 0,0800 0,5889 1,5139 13,684
2,207 0,0544 0,595 1,702 21,80
73,065 0,0074 0,5458 2,519 144,17

Как видно из таблицы в случае реального водорода (с учетом ковалюма ) значение Решение задачи Лагранжа - student2.ru приближается к 0,595 т.е. к вычисленной по приближенной формуле 0,587 для идеального водорода . Таим образом реально получить приращение 500-600м/с при одинаковых и максимальных давлениях используя уширение каморы x=16 или Решение задачи Лагранжа - student2.ru .

Этот вывод важен при проектировании пороховых и легкогазовых установок и повышения начальной скорости снаряда из боевого орудия , для получения скорости свыше 2000 м/с.

11.4 Условия постоянного давления на снаряд по всей длине ствола.

При горении пороха рассмотрим характеристику I семейства в области волны одного направления Решение задачи Лагранжа - student2.ru откуда

Решение задачи Лагранжа - student2.ru т.к. имеется зависимость Решение задачи Лагранжа - student2.ru получим

Решение задачи Лагранжа - student2.ru или

Решение задачи Лагранжа - student2.ru (11.39)

где используется соотношение Решение задачи Лагранжа - student2.ru при малых значениях Решение задачи Лагранжа - student2.ru .В случае пороховых газов Решение задачи Лагранжа - student2.ru , Решение задачи Лагранжа - student2.ru Решение задачи Лагранжа - student2.ru

Решение задачи Лагранжа - student2.ru , Решение задачи Лагранжа - student2.ru т.е. ошибка равна Решение задачи Лагранжа - student2.ru т.е. ошибка составляет 13% в сторону занижения .( Решение задачи Лагранжа - student2.ru , где Решение задачи Лагранжа - student2.ru относительная ошибка ). Рассмотрим пороховую камору большого объёма , когда количеством газа можно пренебречь , тогда

Решение задачи Лагранжа - student2.ru (11.40)

при Решение задачи Лагранжа - student2.ru получим Решение задачи Лагранжа - student2.ru т.к. Решение задачи Лагранжа - student2.ru , то окончательно Решение задачи Лагранжа - student2.ru (11.41), т.е. зная максимальное давление в каморе и давление на снаряд, которое постоянно по стволу и Решение задачи Лагранжа - student2.ru , легко получить марку пороха и все остальные характеристики .

Решение задачи Лагранжа - student2.ru Решение задачи Лагранжа - student2.ru ,принимая

Решение задачи Лагранжа - student2.ru и К=11/9 получим Решение задачи Лагранжа - student2.ru ; Решение задачи Лагранжа - student2.ru при Решение задачи Лагранжа - student2.ru .

В качестве воспламенителя можно использовать любой быстро горящий порох , который выводит на заданный уровень давления на дно снаряда ,т.е. порох должен быть комбинированный.

12.Пороховые и легко газовые установки.

Пороховые и легко газовые установки нашли широкое применение при гиперзвуковых исследованиях .

Пороховые установки рис. 55 как и орудие имеет ствол , пороховую камору и затвор . В пороховых установках ППН , созданных под руководством О.А. Никулина : на ствол, навинчивался пороховой стакан , представляющий собой толстостенную болванку со сплошным дном . В болванке имеется камора с уширением x=3,6 переходящая в цилиндр диаметром равным диаметру канала ствола . В ствол помещалось метаемое тело в поддоне. Иногда между стволом и пороховым стаканом помещалась мембрана со специальной насечкой для увеличения давления форсирования снаряда . В дне болванки имелось отверстие , через которое вставлялся инициирующее устройство в камору . Ствол со стаканом размещался на легкой раме . При выстреле установка отскакивала назад . Калибры ствола 23;34;50. Длина ствола 70-80клб. Давление в каморе 10000-15000кг/см2. Скорости ,полученные на установках со снарядом Сq=1,0-2,0кг/дм3 были 3000-2600 м/с соответственно.

На установках использовались штатные пороха. Были проведены специальные стрельбы по выяснению влияния различных фактов влияющих на баллистику выстрела , в частности применение различных добавок и основному заряду , использование комбинированных зарядов и желеобразных топлив и т.д. Проектирование установок базировалось на результатах решения задачи Лагранжа в новых относительных переменных ,предложенных О.А. Никулиным . В дальнейшем установки ППН были модернизированы с увеличением объёма каморы , и её уширения до x=8-9 при этом достигнуты скорости Решение задачи Лагранжа - student2.ru на тех же калибрах . При решении ОЗВБ использовался газодинамический метод , разработанный профессором В.М. Ушаковом.

На установках ППН проведены несколько десятков тысяч опытов . Типичный характер изменения давления от пройденного пути снарядом представлены на рис 56 легкогазовые установки.

Как известно , максимальная возможная скорость неустановившегося течения Решение задачи Лагранжа - student2.ru : Решение задачи Лагранжа - student2.ru , которая прямо пропорционально скорости звука в газе . При одинаковой температуре газа наибольшей энергией будут обладать атомарный водород , гелий , так называемые легкие газы . Скорость звука молекулярного водорода при комнатной температуре примерно 1300м/с , выше скорости звука пороховых газов ( Решение задачи Лагранжа - student2.ru 1000м/с) .Если нагреть легкие газы до температуры 2000-2500К , то скорость звука 3000-4000м/с, а следовательно и максимальная скорость снаряда будет значительно выше , чем она достигнута на пороховых установках . Нагреть водород или гелий можно различными способами : электрическим разрядом , ударной волной, стехиометрической смесью кислорода и водорода (геливопаровая пушка) и движущимся поршнем , который сжимает легкий газ и в процессе сжатия нагревает его до нужной температуры . Поршневые легко газовые установки оказались наиболее перспективные и на них достигнуты скорости до 12 км/с ,скорости 7-8км/с являются рабочими скоростями ЛГУ , где используется деформируемый поршень . На рис.57 показано схематически ЛГУ с легким поршнем .

ЛГУ состоит из пороховой каморы поз.1 , в которой размещен пороховой заряд и газовой каморы поз.4, в которую накачивается легкий газ ( водород или гелий )при комнатной температуре до давления 5-30кг/см2 . Пороховая камора отделена от газовой поршнем , выполненного из легко деформируемого материала (полиэтилена ). Газовая камера соединяется со стволом (поз.8) с помощью конического переходника (поз.5) , выдерживающей высокие давления газа (8000-15000кг/см2) . В ствол вставляется снаряд (поз.9) , состоящей из метаемого тела , которое помещается в поддоне из легкого прочного материала , так что относительный вес снаряда Сq=1-3кг/дм3. Метаемое тело отделено от легкого газа диафрагмой (поз.10) , которая раскрывается при определенном заданном давлении ( давления форсирования –Рф). Установка работает следующим образом : при подаче электрического импульса на инициирующее устройства, устройство срабатывает и воспламеняет пороховой заряд . При достижении давления форсирования , которое больше или равно начальному давлению водорода , поршень начинает двигаться по газовой камере . По мере сгорания порохового заряда поршень двигаясь с большой скоростью сжимает легкий газ и нагревает его : создаются определенные условия по давлению и температуре . При достижении заданного давления легкого газа –Рф диафрагма разрывается и снаряд – метаемая сборка под действием легкого газа разгоняется по вакуумированому стволу до заданной скорости . Такая легко газовая установка называется двух ступенчатой ЛГУ с "легким " поршнем . В первую ступень входит пороховая камера и поршень. Выстрел из первой ступени подобен выстрелу из обычного орудия с противодавлению снаряду . Решение задачи внутренней баллистики первой ступени и методы идентичны ОЗВБ орудия. Здесь могут быть использованы как газодинамический , так " термодинамический " методы решения . Разделение поршней на "тяжелый " и "легкий" связано с достижением поршнем скорости больше или меньше скорости звука . При малых скоростях поршня ("тяжелый" поршень ) ударной волны не образуется в легком газе и метод характеристик , изложенный выше как правило используется при решении ОЗВБ второй ступени . В случае использования "легкого " поршня газодинамический подход к решению ОЗВБ второй ступени обязательные методы "сквозного " счета , где ударная волна "размазывается " за счет введения "искусственной " вязкости газа .

Типичная картина изменения давления в пороховой и газовой камерах представлены на рис…..

Исследование внутренней баллистики ЛГУ усложняется не только за счет увеличения количества параметров , от которых зависит процесс выстрела , но и конструктивным оформлением поршня, диафрагмы , метаемой сборки , наличие конического переходника , в котором происходит торможение поршня в целом при одновременном ускорении его переднего торца за счет "гидроэффекта " . Приборы и аппаратура используемая при внутри баллистических исследованиях базируется на последних достижениях науки и техники в области быстропротекающих процессов и главное –результаты исследований , достижения в ЛГУ вполне могут быть перенесены на баллистику орудия . В этом смысле исследование в ЛГУ –это "форпост" в баллистике орудия. В доказательство этого вывода являются докторские диссертации Л.В. Комаровского , Ю.П. Хоменко , В.М. Ушакова , В.В. Жаровцева и др.

Наши рекомендации