Гомотетияның қасиеттері

1. АВ бағытталған кесіндісіне гомотетиялы фигура кесінді болады, яғни А₁В₁ = кАВ. Бұл кесінді берілген кесіндіге параллель және оның ұзындығы кАВ болады.

2.Гомотетия центрі өзіне өзі бейнеленеді

3.Егер к >0 болса, онда гомотетиялы фигуралар О центрінен бір жақта жатады. Егер к <0 болса, онда гомотетиялы фигуралар О центрінің екі жағында жатады.

Салдар. 1) Гомотетияны қолданғанда фигураның барлық өлшемдері к санына пропорционал өзгереді.

1).Гомотетиялы фигуралар ұқсас болады.

2).Егер берілген Ф және екі фигураның біріне тең, ал екіншісіне гомотетиялы Ф₂ фигурасы болса, онда Ф мен Ф₁ фигуралары ұқсас деп аталады.

Мысал. Коэффициенті к болғандағы (N,r) шеңберіне гомотетиялы фигураны салу керек.

Берілгені (N,r) шеңбері, гомотетия коэффициенті к.

Ш е ш у і. - гомотетияны қарастыралық. Егер (0) = О,

= (N) және (М) = болса, онда O = kON, kNM,

O = kОМ тендіктері орналады, ендеше = kNM, болады. Сонымен, w(N,r) шеңбері гомотетия арқылы ( шеңберіне бейнеленеді [17].

Гомотетияның мынадай қарапайым қасиеттері бар:

1°. Гомотетия түзуді өзіне параллель түзуге көшіреді, ал гомотетия центрі арқылы өтетін түзуді өзіне - өзін көшіреді.

2°. Гомотетия кесіндіні өзіне параллель кесіндіге көшіреді.

3°. Гомотетия бұрышты өзіне тең бұрышқа көшіреді.

4°. Гомотетия шеңберді шеңберге көшіреді. Жалпы, кез келген екі шеңберді өзара гомотетиялы деп қарастыруға болады. Мұнда ұқсастық коэффициенті олардың радиустарының қатынасына тең.

5°. Егер нүктесі ОА сәулесінде жатса, онда центрі О болатын және А- ны А₁ нүктесіне бейнелейтін бір ғана гомотетия табылады.

6°. Әрбір ұқсастық түрлендіруін қозғалыс пен гомотетияны бірінен кейін бірін қолдану арқылы алуға болады. Мұнда ұқсастық түрлендіруі мен гомотетияның ұқсастық коэффициенттері бірдей болады.

Мысалы, 2-суретте ABC үшбұрышын А₁В₁С₁ үшбұрышына ұқсастық түрлендіруі қарастырылған. Бұл ұқсастық түрлендіруін алу үшін, алдымен ABC үшбұрышына гомотетиялы А₁В₁С₁ үшбұрышын тұрғызып, сонан соң бұл үшбұрышты А₁ төбесінің маңында сағат тілінің бағытымен α бұрышына бұрамыз.

Сурет-2

Келтірілген қасиеттердің алғашқы бесеуі оңай дәлелденеді, ал 6°- қасиеттің дәлелдемесі мектеп бағдарламасына енбегендіктен, оны дәлелдеу қажет емес.

Ескерту. Гомотетияның анықтамасы бойынша А және А₁ нүктелері ОА сәулесінде жатады деп айтылған. Енді А₁ нүктесін ОА сәулесінің толықтауыш ОА сәулесін алып, = к шарты орындалсын делік (3-сурет). Бұл түрлендіруді кері немесе теріс гомотетия деп те атайды. Ал біз бұл түрлендіруді гомотетияға қоспай, жай ұқсастық түрлендіруі ретінде қарастырамыз. Өйткені, әуелі ABC үшбұрышын (3-суреттегі) онымен гомотетиялы А₂В₂С₂ үшбұрышына көшіріп, сонан соң бұл үшбұрышқа центрлік симметрияны қолданып, А₁В₁С₁ үшбұрышын аламыз [7].

Сурет-3