Решение задания типа 1-10

При условном делении экономики на три отрасли задана матрица коэффициентов прямых затрат Решение задания типа 1-10 - student2.ru и вектор конечной продукции Решение задания типа 1-10 - student2.ru . Требуется:

1. Записать уравнение линейного межотраслевого баланса в координатной форме.

2. Найти плановые объемы выпуска валовой продукции отраслей. Систему линейных алгебраических уравнений решить методом Гаусса. Решение системы записать в неправильных дробях.

3. Выполнить проверку результата.

4. Записать приближенный ответ с точностью до сотых.

1. Уравнение линейного межотраслевого баланса имеет вид Решение задания типа 1-10 - student2.ru , где Решение задания типа 1-10 - student2.ru вектор валового выпуска продукции, Решение задания типа 1-10 - student2.ru вектор конечного потребления, Решение задания типа 1-10 - student2.ru матрица прямых материальных затрат. Известны вектор конечного потребления Решение задания типа 1-10 - student2.ru и матрица прямых материальных затрат Решение задания типа 1-10 - student2.ru .

Подставим в уравнение Леонтьева Решение задания типа 1-10 - student2.ru векторы Решение задания типа 1-10 - student2.ru и матрицу А:

Решение задания типа 1-10 - student2.ru Решение задания типа 1-10 - student2.ru Решение задания типа 1-10 - student2.ru .

Используя правила умножения матриц, сложения векторов и определение равенства векторов, получаем систему уравнений:

Решение задания типа 1-10 - student2.ru

Полученная система – это векторное уравнение линейного межотраслевого баланса в координатной форме.

Для решения этой системы приведем подобные члены:

Решение задания типа 1-10 - student2.ru

Все уравнения умножим на 10:

Решение задания типа 1-10 - student2.ru

2. Решим полученную систему методом Гаусса. Основная его идея состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в равносильную ей систему специального вида, где одно из уравнений содержит все неизвестные, второе – на одно неизвестное меньше, и т.д., последнее уравнение содержит лишь одно из неизвестных. Эти преобразования называют прямым ходом метода Гаусса.

Для удобства вычислений третье уравнение поставим первым, и оно будет ведущим на первом этапе вычислений:

Решение задания типа 1-10 - student2.ru

Исключим неизвестную Решение задания типа 1-10 - student2.ru из второго уравнения. Для этого умножим первое уравнение на 9 и прибавим ко второму:

Решение задания типа 1-10 - student2.ru .

Исключим неизвестную Решение задания типа 1-10 - student2.ru из третьего уравнения. Для этого умножим первое уравнение на (–2) и прибавим к третьему:

Решение задания типа 1-10 - student2.ru

Получаем систему:

Решение задания типа 1-10 - student2.ru

Исключим неизвестную Решение задания типа 1-10 - student2.ru из третьего уравнения. Для этого второе уравнение разделим на 22, умножим на 12 и прибавим к третьему:

Решение задания типа 1-10 - student2.ru или 454х3 = 32500 или 227х3 = 16250.

Получаем систему:

Решение задания типа 1-10 - student2.ru

Замечание.

Преобразования в методе Гаусса удобнее выполнять не с самой системой уравнений, а с расширенной матрицей системы, которая состоит из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов:

Решение задания типа 1-10 - student2.ru Решение задания типа 1-10 - student2.ru ~

Решение задания типа 1-10 - student2.ru Решение задания типа 1-10 - student2.ru ~

Решение задания типа 1-10 - student2.ru Решение задания типа 1-10 - student2.ru ~

Решение задания типа 1-10 - student2.ru Решение задания типа 1-10 - student2.ru .

Используя полученную матрицу, выпишем преобразованную систему:

Решение задания типа 1-10 - student2.ru

Прямой ход метода Гаусса закончен. Обратный ход заключается в том, что из последнего уравнения находят неизвестную Решение задания типа 1-10 - student2.ru , затем из второго – Решение задания типа 1-10 - student2.ru , а из первого – Решение задания типа 1-10 - student2.ru . Выполним это:

Решение задания типа 1-10 - student2.ru ,

Решение задания типа 1-10 - student2.ru = Решение задания типа 1-10 - student2.ru Решение задания типа 1-10 - student2.ru ,

Решение задания типа 1-10 - student2.ru = Решение задания типа 1-10 - student2.ru .

Итак, решение системы в неправильных дробях будет иметь вид: Решение задания типа 1-10 - student2.ru , Решение задания типа 1-10 - student2.ru , Решение задания типа 1-10 - student2.ru . Они будут выражать плановые объемы выпуска валовой продукции отраслей.

3. Выполним проверку полученного результата. Для этого подставим эти значения в исходную систему:

Решение задания типа 1-10 - student2.ru

Вычисляя, получаем верные равенства.

4. Запишем приближенный ответ с точностью до сотых: Решение задания типа 1-10 - student2.ru ; Решение задания типа 1-10 - student2.ru ; Решение задания типа 1-10 - student2.ru .

Решение задания типа 11-20. Даны векторы Решение задания типа 1-10 - student2.ru в некотором базисе. Показать, что векторы Решение задания типа 1-10 - student2.ru образуют базис и найти координаты вектора Решение задания типа 1-10 - student2.ru в этом базисе. Систему линейных уравнений решить по формулам Крамера.

Например, Решение задания типа 1-10 - student2.ru

Решение. Для того, чтобы векторы Решение задания типа 1-10 - student2.ru образовывали базис, необходимо показать, что векторы некомпланарны, т.е. их смешанное произведение Решение задания типа 1-10 - student2.ru отлично от нуля.

Вычислим смешанное произведение Решение задания типа 1-10 - student2.ru с помощью определителя третьего порядка:

Решение задания типа 1-10 - student2.ru = Решение задания типа 1-10 - student2.ru = -23.

Поскольку Решение задания типа 1-10 - student2.ru = -23 Решение задания типа 1-10 - student2.ru 0, то векторы Решение задания типа 1-10 - student2.ru образуют базис в пространстве R3.

Следовательно, любой вектор Решение задания типа 1-10 - student2.ru этого пространства единственным образом можно представить в виде Решение задания типа 1-10 - student2.ru = Решение задания типа 1-10 - student2.ru , где Решение задания типа 1-10 - student2.ru - координаты вектора Решение задания типа 1-10 - student2.ru в базисе Решение задания типа 1-10 - student2.ru .

От векторного равенства перейдем к равенствам над соответствующими компонентами:

Решение задания типа 1-10 - student2.ru или Решение задания типа 1-10 - student2.ru

Получили систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными Решение задания типа 1-10 - student2.ru координаты вектора Решение задания типа 1-10 - student2.ru в новом базисе.

Решаем полученную систему методом Крамера, в соответствии с которым:

1) система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет единственное решение, если Решение задания типа 1-10 - student2.ru - определитель третьего порядка, составленный из коэффициентов системы, не равен 0.

Решение задания типа 1-10 - student2.ru

2) неизвестные Решение задания типа 1-10 - student2.ru находим по формулам Крамера

Решение задания типа 1-10 - student2.ru ,

где Решение задания типа 1-10 - student2.ru - определители третьего порядка, составленные из определителя системы Решение задания типа 1-10 - student2.ru заменой коэффициентов, стоящих в системе перед Решение задания типа 1-10 - student2.ru , свободными членами соответственно:

Решение задания типа 1-10 - student2.ru

Решение задания типа 1-10 - student2.ru

Решение задания типа 1-10 - student2.ru

Тогда по формулам Крамера:

Решение задания типа 1-10 - student2.ru

Проверка.

Решение задания типа 1-10 - student2.ru

Получили тождества. Следовательно, система решена верно.

Ответ: 1) векторы Решение задания типа 1-10 - student2.ru образуют базис, 2) вектор Решение задания типа 1-10 - student2.ru в базисе Решение задания типа 1-10 - student2.ru имеет следующее разложение:

Решение задания типа 1-10 - student2.ru = Решение задания типа 1-10 - student2.ru .

Наши рекомендации