Перемещения при изгибе балок

Дифференциальное уравнение изогнутой оси упру­гой балки

При расчете балок на изгиб инженер интересуется не только напряже­ниями, возникающими от действия внешних сил, но и перемещениями от действия тех же сил. Одно из требований к элементам конструкций, чтобы перемещение не превосходило некоторого допусти­мого значения, обусловленного требованиями эксплуатации. Это условие называется условием жесткости либо конструктивной прочности.

При расчете строительных и машиностроительных конструкций на жесткость(в большинстве случаев по прогибам, по углам поворота) должно соблюдаться условие

Перемещения при изгибе балок - student2.ru

т.е. относительный прогиб f/l, подсчитанный при действии нормативных нагрузок, не должен превышать установленный нормами предельный прогиб 1/no для данного вида конструкции.

Для обеспечения нормальной работы подшипников скольжения и роликовых подшипников качения иногда ставится дополнительное условие жесткости – ограничение угла поворота Перемещения при изгибе балок - student2.ru опорных сечений:

Перемещения при изгибе балок - student2.ru .

Допускаемый угол поворота Перемещения при изгибе балок - student2.ru берется из соответствующих справочников. В среднем Перемещения при изгибе балок - student2.ru составляет 0,001 рад.

Рассмотрим плоский чистый изгиб балки (рис. 6.41, а).

Перемещения при изгибе балок - student2.ru

а) б)

Рис. 6.41

В результате действия изгибающего момента m ось балки ОС изгибается и занимает некоторое положение ОС'. Произвольная точка А оси балки, характе­ризуемая координатой Перемещения при изгибе балок - student2.ru , перемещается в новое положение А'. Перемещение, изображаемое направленным отрезком Перемещения при изгибе балок - student2.ru , назовем прогибом балки для точки А с координатой Перемещения при изгибе балок - student2.ru и обозначим v. Проведем в точке А' касательную к изогнутой оси балки. Она образует с осью Перемещения при изгибе балок - student2.ru угол Перемещения при изгибе балок - student2.ru .

Из рис. 6.41,б видно, что этот угол в силу взаимной перпендикулярности сто­рон в точности равен углу поворота поперечного сечения. При изменении Перемещения при изгибе балок - student2.ru , т.е. при переходе к другим точкам оси балки, прогиб v и угол поворота Перемещения при изгибе балок - student2.ru поперечного сечения изменяется. Следовательно, они являются функциями Перемещения при изгибе балок - student2.ru :

Перемещения при изгибе балок - student2.ru (19)

Горизонтальное перемещение w произвольной точки D поперечного се­чения на расстоянии Перемещения при изгибе балок - student2.ru от оси балки равно:

Перемещения при изгибе балок - student2.ru (20)

Из треугольника А'В'В" следует, что первая производная от функции прогиба Перемещения при изгибе балок - student2.ru :

Перемещения при изгибе балок - student2.ru (21)

равна тангенсу угла наклона касательной к изогнутой оси балки в точке А с координатой Перемещения при изгибе балок - student2.ru . Из этого же треугольника получаем

Перемещения при изгибе балок - student2.ru (22)

Из рис. 6.41,б находим Перемещения при изгибе балок - student2.ru где Перемещения при изгибе балок - student2.ru - радиус кривизны дуги Перемещения при изгибе балок - student2.ru . Следовательно, кривизна изогнутой оси в точке А равна:

Перемещения при изгибе балок - student2.ru (23)

Дифференцируя (21) по Перемещения при изгибе балок - student2.ru и учитывая (19), (22), (23), получаем:

Перемещения при изгибе балок - student2.ru

откуда

Перемещения при изгибе балок - student2.ru (24)

Формула для кривизны балки

Перемещения при изгибе балок - student2.ru

для положительных значений Перемещения при изгибе балок - student2.ru . В нашем примере на рис. 6.41 изгибающий момент Перемещения при изгибе балок - student2.ru . Поэтому эту формулу мы должны использовать в виде:

Перемещения при изгибе балок - student2.ru (25)

Приравнивая (24), (25), получаем точное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:

Перемещения при изгибе балок - student2.ru (26)

Если прогибы Перемещения при изгибе балок - student2.ru балки малы по сравнению с ее линейными размерами, то и углы поворота сечений Перемещения при изгибе балок - student2.ru - малые величины и, согласно (21)-(24), можно считать:

Перемещения при изгибе балок - student2.ru , Перемещения при изгибе балок - student2.ru , Перемещения при изгибе балок - student2.ru

Тогда дифференциальное уравнение (26) упрощается и принимает вид

Перемещения при изгибе балок - student2.ru (27)

Уравнение (27) носит название приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси упругой балки. Оно получено для случая чи­стого изгиба, но может быть использовано и при поперечном, когда мо­мент Перемещения при изгибе балок - student2.ru является функцией Перемещения при изгибе балок - student2.ru .

Интегрируя (27), получаем:

Перемещения при изгибе балок - student2.ru (28)

Произвольные постоянные C1, С2 в (28) имеют простой геометрический смысл. Обозначим через Перемещения при изгибе балок - student2.ru прогиб и угол поворота cечения соответственно в начале координат при Перемещения при изгибе балок - student2.ru . Тогда при Перемещения при изгибе балок - student2.ru из (10) получаем:

Перемещения при изгибе балок - student2.ru

Величины Перемещения при изгибе балок - student2.ru называют начальными параметрами задачи по определению перемещений в балках.

Соотношения (28) запишем в виде

Перемещения при изгибе балок - student2.ru (29)

Так как

Перемещения при изгибе балок - student2.ru

то решение (29) можно записать в виде:

Перемещения при изгибе балок - student2.ru

В соответствии с дифференциальными зависимостями Журавского

Перемещения при изгибе балок - student2.ru (30)

Дифференцируя (27) дважды по Перемещения при изгибе балок - student2.ru и используя зависимости (30), находим

Перемещения при изгибе балок - student2.ru (31)

Перемещения при изгибе балок - student2.ru . (32)

При постоянной жесткости Перемещения при изгибе балок - student2.ru получаем

Перемещения при изгибе балок - student2.ru (33)

Перемещения при изгибе балок - student2.ru (34)

Уравнения (32), (34) представляют собой вторую форму дифферен­циальных уравнений изогнутой оси балки четвертого порядка.

Общее решение неоднородного уравнения (34) имеет вид

Перемещения при изгибе балок - student2.ru (35)

где Перемещения при изгибе балок - student2.ru - его частное решение. Постоянные Перемещения при изгибе балок - student2.ru находятся из условий на опорах балки. Эти условия называют граничными или краевыми.

Рассмотрим типичные условия закрепления или опирания балок (рис. 6.42). Изогнутая ось балки изображена тонкой линией.

Перемещения при изгибе балок - student2.ru

а) б) в)

Рис. 6.42

а) Край балки жестко защемлен (рис. 6.42,а). При z = 0 на защемленном крае прогиб и угол поворота сечения равны нулю, т.е.

Перемещения при изгибе балок - student2.ru

б) Край балки свободен от закрепления и нагрузки (рис.6.42,а). В этом случае при Перемещения при изгибе балок - student2.ru равны нулю: момент и перерезывающая сила:

Перемещения при изгибе балок - student2.ru Перемещения при изгибе балок - student2.ru

в) Край балки шарнирно закреплен либо свободно опёрт (рис. 6.42,б). При z = 0 край балки шарнирно закреплен. Здесь прогиб Перемещения при изгибе балок - student2.ru и момент Перемещения при изгибе балок - student2.ru равны нулю, т.е.

Перемещения при изгибе балок - student2.ru

При Перемещения при изгибе балок - student2.ru балка свободно лежит на опоре. Прогиб равен нулю, но изгибающий момент в сечении балки отличен от нуля. Поэтому здесь только одно граничное условие Перемещения при изгибе балок - student2.ru .

г) Незакрепленный край балки с действующими сосредоточенными силой и моментом (рис. 6.42,в).

В этом случае при Перемещения при изгибе балок - student2.ru имеем статические граничные условия:

Перемещения при изгибе балок - student2.ru Перемещения при изгибе балок - student2.ru

Наши рекомендации