Ix. билинейные и квадратичные формы

Линейные формы

Пусть L_n – n-мерное линейное пространство над полем Р и f –линейное отображение пространства L_nв поле Р (f : L_n® Р).

Определение 58. Линейное отображение f : L_n ® Р называется линейной функцией или линейной формой, заданной на L_n .

Если е = (е₁, е₂,... , е_n) – базис в L_n , а – любой вектор из L_n , то а = х₁е₁ + х₂е₂ + … + х_nе_n, где х₁, х₂, … , х_n – любые элементы поля Р. Если f (е_к) = a_к , то f (а) = a₁х₁ + a₂х₂+ … + a_nх_n .

Следовательно, любую линейную форму можно задать в виде a₁х₁ + a₂х₂+ … + a_nх_n .

Легко показать, что множество всех линейных форм f : L_n ® Р является линейным пространством над полем Р.

Билинейные формы

Пусть L_n – n-мерное линейное пространство над полем Р .

Определение 59. Отображение f : (L_n ´ L_n ) ® Р называется билинейной формой (или билинейной функцией), заданной на L_n , если для любых векторов а, в, с и любого элемента aÎ Р выполняются условия:

f (а + в, с) = f (а, с) + f (в, с) ; f (а, в + с ) = f (а, в) + f (а, с); f (a×а) = a×f(а).

(Иными словами, билинейная форма линейна по обоим переменным.)

Пусть в L_n зафиксирован базис е = (е₁, е₂,... , е_n), а = х₁е₁ + х₂е₂ + … + х_nе_n,

в = у₁е₁ + у₂е₂ + … + у_nе_n, f (е_к , е_р) = a_кр . Тогда из определения 58 следует

f (а, в) = f ( ) = = , где a_кр – элементы поля Р.

Итак, f (а, в) = (55) – запись билинейной формы в координатах.

Матрица А =

называется матрицей данной билинейной формы. Если х и у – столбцы координат векторов а и в, то билинейную форму можно записать в матричном виде: f (а, в) = хТ× А × у (56)

Если е¹ = (е₁¹, е₂¹,... , е_n¹) – другой базис в L_n и Т – матрица перехода от базиса е к базису е¹, то столбцы координат векторов а и в в этих базисах связаны формулами х = Т×х¹, у =Т×у¹. Подставив в формулу (56), получим f (а, в) = (Тх¹)^Т× А × (Ту¹) = (х¹)^Т×(Т^Т×А×Т)×у¹. Следовательно, матрицы билинейной формы в разных базисах связаны формулой

А¹ = Т^Т×А×Т (57)

Определение 60. Билинейная форма называется симметрической, если

f (а, в) = f ( в, а) для любых векторов а и в. (57)

Очевидно, верно следующее утверждение:

Теорема 62. Билинейная форма является симметрической тогда и только тогда, когда она в любом базисе имеет симметрическую матрицу.

Теорема 63. В любом базисе евклидова пространства Е_n скалярное произведение векторов задаётся симметрической билинейной формой.

Доказательство. По формуле (42) скалярное произведение векторов а и в равно

(а, в)= х ^Т×Г×у. Матрица Г – симметрическая, поэтому, согласно формуле (56), скалярное произведение задано симметрической билинейной формой.

Квадратичные формы

Пусть L_n – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана симметрическая билинейная форма f (а, в).

Определение 61. Симметрическая билинейная форма f (а, в) при условии а = в называется квадратичной формой, заданной на L_n (j(а) = f(а, в) ). При этом f(а, в) и j(а) называются соответствующими друг другу.

Если в пространстве L_n задан базис е = (е₁, е₂,… , е_n) и а = х₁е₁ + х₂е₂ + … + х_nе_n, то, используя формулу (55), получим запись квадратичной формы в координатах

j(а) = (59)

Матрица квадратичной формы совпадает с матрицей соответствующей симметрической билинейной формы. Квадратичная форма в матричном виде запишется

j(а) = х^Т× А ×х (60)

Если в пространстве L_n зафиксирован базис, то между всеми квадратичными формами, заданными на L_n и всеми симметрическими квадратными матрицами порядка n устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Сумма двух квадратичных форм является квадратичной формой. При умножении квадратичной формы на элемент поля Р получается тоже квадратичная форма. При сложении квадратичных форм складываются их матрицы. Если форма умножается на элемент поля Р, то на этот же элемент умножается и её матрица. Следовательно, множество всех квадратичных форм, заданных на L_n , есть линейное пространство, изоморфное линейному пространству квадратных симметрических матриц порядка n. Размерность этого пространства равна .

Так как квадратичная форма и соответствующая симметрическая билинейная форма имеют одну и ту же матрицу, то связь матриц А и А¹ в разных базисах задаётся формулой (56), т.е. А¹ = Т^Т×А×Т , где Т – матрица перехода от первого базиса ко второму, Т^Т – матрица, транспонированная для матрицы Т. Следовательно, в разных базисах квадратичная форма имеет более или менее сложные матрицы, а поэтому более или менее сложную запись в координатах. Поэтому возникает задача: найти в пространстве L_n такой базис, в котором квадратичная форма имела бы наиболее простой вид.

Определение 62. Если j(а) = a₁х₁² + a₂х₂² + … + a_n х_n², то говорят, что квадратичная форма j(а) имеет канонический вид.

Если поле Р есть поле рациональных или действительных чисел и

j(а) = х₁² + х₂² + … + х_к² – х_к+1² – … – х_r²,

то говорят, что квадратичная форма имеет нормальный вид. В случае, когда Р = Снормальным видом квадратичной формы называют j(а) = х₁² + х₂² + …+ х_к² + х_к+1² + .+ х_r².

Теорема 64. Всякая квадратичная форма с помощью линейного невырожденного преобразования (преобразования координат) может быть приведена к каноническому виду.

Доказательство. Пусть j(а) – квадратичная форма, заданная на пространстве L_n . Пусть в L_n задан базис е и пусть в этом базисе j(а) = х^Т× А ×х . Матрица А –симметрическая, поэтому по теореме 60 существует такая ортогональная матрица Т, что матрица А¹ = Т^–1×А×Т будет диагональной, причём на диагонали стоят собственные значения матрицы А (они все – действительные числа). Так как ортогональная матрица невырожденная, то существует такой базис е¹, что Т будет матрицей перехода от базиса е к базису е¹. Так как для ортогональной матрицы Т ^–1 = Т ^Т, то А¹ – матрица данной формы в базисе е¹. Итак, в базисе е¹ данная форма имеет канонический вид.

Замечание. Приведение симметрической матрицы к диагональному виду описано в примере пункта 8.3.

Теорема 65.Всякую квадратичную форму линейным невырожденным преобразованием можно привести к нормальному виду.

Доказательство. В теореме 64 доказано, что квадратичную форму можно привести к каноническому виду. Перенумеровав, если нужно переменные, будем считать, что первые r коэффициентов в каноническом виде отличны от нуля, а остальные (n – r) равны нулю.

1) В случае, когда Р = С сделаем преобразование координат по формулам (*).

(*)	Так как определитель этих формул отличен от нуля, то они задают преобразование координат. В новых координатах j(а) = у12 + у22 + … + уr2. Получили комплексный нормальный вид квадратичной формы. 2) Если Р = R , т.е. j(а) – действительная квадратичная форма, то в каноническом виде запишем сначала члены с положительными коэффициентами, затем – с отрицательными и, наконец, с нулевыми.
(**)	j(а) = a1х12 + a2х22 + … + aк хк2 – aк+1хк+12 – … – arхr2 Сделаем преобразование координат по формулам (**), получим j(а) = у12 + у22 + … + ук2 – ук+12 – … – уr2 . Но это и есть нормальный вид действительной квадратичной формы.

Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму

j = 2х₁х₂ + 2х₁х₃ – 2х₁х₄ – 2х₂х₃ + 2х₂х₄ + 2х₃х₄ .

Решение. Матрица данной квадратичной формы

А =	Для решения задачи эту матрицу нужно привести к диагональному виду. Это было сделано в примере пункта 8.3. Собственные значения этой матрицы l1 = l2 = l3 = 1, l4 = – 3. Базис из собственных векторов был найден е11 = е21 = ,
А1 =	е31 = , е41 = (1, –1, –1, 1). В этом базисе квадратичная форма будет иметь матрицу А1. Матрицей перехода от исходного базиса к базису е1 будет матрица Т.
Т =	Следовательно, форма j будет иметь следующий канонический вид j = х12 + х22 + х32 – 3х42.