Глава 2. Пределы функций одной переменной

Основные определения, свойства пределов функций одной переменной

Основные определения

Понятие предела функции является одним из основных в математическом анализе. Определения производной, интеграла, непрерывности и т.д. основаны на использовании предела.

Число b называют пределом функции Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru при Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , если для любого числа Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru найдется такое число Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , что при всех х, удовлетворяющих условию Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , выполняется неравенство Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru . Предел функции f(x) при x, стремящемся к а, обозначают Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru либо Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru при Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru Дадим геометрическую интерпретацию понятия предела функции в точке. На рисунке изображен график функции Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru . Предположим, что функция имеет при Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru пределом число b. Возьмем произвольное сколь угодно малое число Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru . Окружим число b Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru -окрестностью Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru . Найдем на оси Ox такую окрестность точки a: Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , при попадании в которую значений аргумента x соответствующие значения функции попадут в Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru -окрестность числа b. При уменьшении числа Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru интервал Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru будет стягиваться к числу b. Соответствующий ему интервал Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru будет стягиваться к числу a. Это и доказывает, что Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

Число b называют пределом функции Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru при Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru или Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , если для любого числа Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru можно указать положительное число N , такое, что при всех х, удовлетворяющих условию Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , выполняется неравенство Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

Свойства предела функции

1. Функция Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru при Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru имеет единственный предел.

2. Предел постоянной равен самой постоянной: Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

3. Постоянную можно выносить за знак предела Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

4. Предел суммы или разности конечного числа функций равен сумме или разности пределов этих функций Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

5. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

6. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru при условии, что Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

7. Если Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , то Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

8. Пусть функции связаны соотношением Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , причем Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , тогда и Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

9. Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

Следствие. Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

10. Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

Замечание. Все свойства пределов распространяются и на случай, когда Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

Понятие неопределенностей

В практике отыскания пределов наиболее часто применяются свойства 2 - 6 об арифметических действиях над пределами. Однако их непосредственное применение бывает невозможно в особых случаях, называемых неопределенностями, которые возникают при нарушении их условий. Виды неопределенностей Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

Кроме этих неопределенностей, связанных с арифметическими действиями над пределами, существуют неопределенности Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

Чтобы найти пределы при наличии неопределенности, надо эту неопределенность устранить, открыв тем самым возможность использования того или иного свойства пределов. Это достигается, с одной стороны, применением алгебраических и тригонометрических преобразований (разложение функции на множители или на слагаемые, приведение дробей к общему знаменателю, добавление и вычитание некоторого выражения, умножение и деление на некоторую функцию, вынесение множителя за скобку и т.п.) заменой переменной, использованием эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших, а с другой стороны, использование так называемых замечательных пределов.

Таблица раскрытия различных видов неопределенностей

Тип неопределенности Правило раскрытия
1. Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru 1.1. Чтобы раскрыть неопределенность вида Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , заданную отношением двух многочленов, надо и числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени.
1.2. Для раскрытия неопределенности вида Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , заданную отношением иррациональных функций, надо и числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени с учетом степеней корней.
2.Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru 2.1. Для того, чтобы определить предел дробно-рациональной функции в случае, когда при Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru числитель и знаменатель дроби имеют пределы, равные нулю, надо числитель и знаменатель дроби разделить на Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru и перейти к пределу. Если и после этого числитель и знаменатель новой дроби имеют пределы, равные нулю при Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , то надо произвести повторное деление на Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .
2.2. Чтобы раскрыть неопределенность вида Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , в которой числитель или знаменатель иррациональны, следует надлежащим образом избавиться от иррациональности, умножив и числитель и знаменатель дроби на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. Неопределенность устраняется после сокращения дроби. В случае квадратных корней и числитель и знаменатель дроби умножаются на сопряженное выражение тому, которое содержит иррациональность и применяется формула Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru . В случае кубических корней и числитель и знаменатель дроби умножаются на неполный квадрат суммы или разности и применяется формула Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .
3. Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru 3.1. Неопределенность вида Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , получающаяся в результате алгебраической суммы иррациональных выражений, устраняется или приводится к типу 1 путем домножения и деления на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. В случае квадратных корней разность домножается на сопряженное выражение и применяется формула Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru . В случае кубических корней функция домножается на неполный квадрат суммы или разности и применяется формула Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .
  3.2. Неопределенность вида Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , получающаяся в результате алгебраической суммы двух дробей, устраняется или сводится к типу 2 Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru путем приведения дробей к общему знаменателю. Пусть Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru . Тогда Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru
4. Замечатель-ные пределы   4.1. Первый замечательный предел (неопределенность Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru ). В случае, когда под знаком предела стоят тригонометрические функции, дающие неопределенность Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , используется первый замечательный предел: Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru . Его различные формы: Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .
  4.2. Второй замечательный предел (неопределенность Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru ): Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru . Его различные формы: Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .
5.Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru 5.1. Неопределенность типа Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru сводится либо к неопределенности типа 1 Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , либо к неопределенности типа 2 Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru путем перемещения в знаменатель одного из сомножителей. Пусть Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru . Тогда Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru
6. Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru 6.1. Неопределенности вида Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru сводятся к неопределенности типа 5 Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru путем логарифмирования.

Замечание.

Применение замечательных пределов требует понимания и запоминания структуры каждого из них и при необходимости ее воспроизведения. Так, для предела Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru характерно отношение синуса бесконечно малого угла к самому углу. Поэтому всякий предел вида Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru равен 1, если Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru . Например, каждый из пределов Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru есть, в сущности, первый замечательный предел и потому равен 1, чего нельзя сказать ни об одном из пределов Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

Для предела Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru (е - иррациональное число е=2,7182818…) характерно, что сумма, равная единице плюс бесконечно малая, возводится в степень, обратную этой бесконечно малой. Следовательно, если Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , то и Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru . Такова структура каждого из пределов Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , и поэтому все они равны e, но структура пределов Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru отлична от структуры второго замечательного предела.

Подобные рассуждения справедливы и для других форм замечательных пределов.

§3. Раскрытие неопределенностей вида Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru

Пример 1.

Вычислить предел функции Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

Решение.Знаменатель дробиГлава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ruобращается в нуль при Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , а потому функция Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru при Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru не существует. Теорему о пределе дроби применить нельзя, так как предел знаменателя равен нулю. Но определение предела функции содержит существенную оговорку: при отыскании предела функции Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru при Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru значение функции Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru при Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru может не рассматриваться.

Т.к. при Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru числитель и знаменатель дроби – бесконечно малые функции Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru и Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru , то имеем неопределенность вида Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

Для решения задачи используем правило 2.1 (см. таблицу). Разделим числитель и знаменатель на Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru . Мы имеем право это сделать, потому что значение Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru не рассматривается, и, значит Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

Ответ: Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

Пример 2.

Вычислить предел функции Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

Решение.Имеем неопределенность Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru . По правилу 2.1 разделим числитель и знаменатель на Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru

Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru

Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru

0 0

Тогда

Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

Еще раз разделим числитель и знаменатель на Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru :

Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

Ответ: Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru

Пример 3.

Вычислить предел функции Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

Решение. Имеем неопределенность Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru . По правилу 2.2 умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю и применим формулу Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru :

Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru

Ответ: Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

Пример 4.

Вычислить предел функции Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

Решение.

Т.к. здесь неопределенность Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru и знаменатель содержит иррациональность, то, используя правило 2.2, умножим числитель и знаменатель дроби на неполный квадрат (т.к. корень кубический) и применим формулу Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru . Имеем

Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru

Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru

Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru

Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru

Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru

Ответ: Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

Пример 5.

Вычислить предел Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

Решение.

Т.к функция у= Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru непрерывна при всех x,то, переходя к пределу под знаком непрерывной функции, получаем

Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

Т.к x – бесконечно малая функция в точке x=0,

а функция Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru -ограниченная в окрестности точки x = 0,

то Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru -бесконечно малая функция в точке x = 0 (произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию – есть бесконечно малая функция), т.е. Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

Т.к. функция Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru непрерывна в точке x = 0,

то Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

Используя основные теоремы о пределе функции в точке, получим

Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

Ответ: Глава 2. Пределы функций одной переменной - student2.ru .

Наши рекомендации