Определение кинематических характеристик движения точки

Образец титульного листа

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ СЕРВИСА И ЭКОНОМИКИ

Институт сервиса автотранспорта, коммунальной и бытовой техники

Кафедра технической механики

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №___

ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

Номер зачетной книжки _____

Номер варианта_____

Работу выполнил студент _____группы А.Н.Шигин

Работу проверил доцент В.Н. Шабаев

Санкт-Петербург

Теоретическая механика

Статика

ПЛОСКАЯ ПРОИЗВОЛЬНАЯ СИСТЕМА СИЛ

Задача 1. Определить реакции R_A и R_B опор балки, размеры и нагрузки которой показаны на рис.1, а.

Рис. 1

Решение.1. Составление расчетной схемы. Объект равновесия – балка АС. Активные силы: F = 3 кH, пара сил с M = 4 кH∙м распределенная нагрузка с интенсивностью q = 1 кН/м, которуюзаменяем одной сосредоточенной силой R_q = q∙1=1∙3 = 3 кH; приложенной к точке D на расстоянии 1,5 м от края консоли. Применяя принцип освобождаемости от связей изобразим в точках А и В реакции. На балку действует плоская произвольная система сил, в которой три неизвестных реакции и .

Ось х направим вдоль горизонтальной оси балки вправо, а ось у -вертикально вверх.

2. Условия равновесия:

.

3. Составление уравнений равновесия:

,(1)

, (2)

. (3)

4. Определение искомых величин, проверка правильности решения и анализ полученных результатов. Решая систему уравнений (1 – 3), определяем неизвестные реакции

из (1):

кН,

из (3): ,

из (2): кН.

Величина реакции R_Aх имеет отрицательный знак, значит направлена не так, как показано на рис. 18, а в противоположную сторону.

Для проверки правильности решения составим уравнение суммы моментов относительно точки Е.

.

Подставив в это уравнение значения входящих в него величин, получим:

- 0,58 ∙ 1 – 4 + 5,02 ∙ 3 – 3 ∙ 3,5 = 0.

Уравнение удовлетворяется тождественно, что подтверждает правильность решения задачи.

Задача2. На балку с защемленным концом (рис. 2, а) действует распределенная по линейному закону нагрузка интенсивностью q = 0,2 кН/м. Сила F = 10 кH действует под углом α = 45^о к оси балки, кроме того, приложена пара сил с моментом М = 4 кH ∙м. Определить реакцию заделки.

а) б)

Рис.2

Решение.

1. Составление расчетной схемы (рис. 19, б). Объектом равновесия является балка АВ. К ней приложены активные силы , пара сил с моментом ираспределенная по линейному закону нагрузка. Равнодействующая приложена в точке О,

Связью, наложенной на балку АВ,является жесткая заделка А. Применяя принцип освобождаемости от связей к балке АВ,заменим действие этой заделки на балку силами реакций и реактивным моментом . Рассмотрим теперь равновесие балки АВ как свободного твердого тела, на которое действуют, кроме активных сил, еще и реакции связи.

2. Условия равновесия:

.

3. Составление уравнений равновесия. Для плоской произвольной
системы сил условиям равновесия соответствуют три уравнения:

; (а)

; (б)

. (в)

Для балки с жёсткой заделкой в качестве моментальной точки лучше брать заделку, что позволит исключить лишние неизвестные.

4. Определение искомых величин, проверка правильности решения и анализ полученных результатов.
Из уравнения (а) находим:

.

Из уравнения (б) получаем:

.

Наконец, из уравнения (в) находим:

Проверка. Составим уравнение моментов относительно точки В, подставим найденные реакции:

.

Положительные значения реакций связей подтверждают правильность выбранных направлений этих сил.

Кинематика

Определение кинематических характеристик движения точки

Задача 1.Заданы уравнения движения точки М:

где х,у- координаты движущейся точки, см.

Установить вид траектории точки и для момента времени t=1 с найти положение точки на траектории, её скорость, полное, ка­сательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны тра­ектории.

Решение.

1. Преобразуем параметрические уравнения движения точки:

Получено уравнение окружности с центром в точке с коорди­натами х=-2 см; у = 3 см и радиусом R = 2 см. После определе­ния траектории имеется возможность изобразить её в декартовой системе координат (рис. 11.16) и установить положение точки М момент времени t = 1 с:

Если положение точки окажется вне траектории, следует пре­кратить дальнейшие расчёты и найти ошибку в предыдущих рас­чётах.

2. Найдём проекции скорости на оси координат:

В момент времени t = 1 с V_x= -3,628 см/с; V_y = -2,094 см/с.

3. Определим модуль скорости: В момент вре­мени t= lc V=4,189 см/с. Покажем на рис. 11.16 в масштабе составляющие скорости , и вектор скорости , который должен быть направлен по касательной к траектории. Если это не произошло, в расчётах допущена ошибка.

4. Найдём проекции ускорения на оси координат, учитывая, что и - сложные функции:

В момент времени t = 1 с a_x= -8,014 см/с²; a_y =- 5,503 см/с².

5. Определим модуль ускорения: В момент вре­мени t = 1с

а = 9,721 см/с².

Покажем на рис. 11.16 в масштабе составляющие ускорения а_х, а_у и вектор ускорения _n, который должен быть направлен в сторону вогнутости траектории.

3.Вычислим касательное ускорение по формуле (11.28):

Положительный знак показывает, что движение точки М уско­ренное, то есть направления векторов скорости и касательного ускорения совпадают.

4. Определим нормальное ускорение:

Покажем на рисунке векторы _τ и _n,.

8.Определим радиус кривизны траектории:

Для окружности радиус кривизны траектории совпадает с ра­диусом окружности: ρ=R = 2 см. Результаты расчётов сведём в табл. 11.1.

Таблица 11.1

Динамика

ДИНАМИКА ТОЧКИ

Задача 1.В железнодорожных скальных выемках для защиты кюветов от попадания в них с откосов каменных осыпей устраивается «полка» DC. Учитывая возможность движения камня из наивысшей точки А откоса и полагая при этом его начальную скорость , определить наименьшую ширину полки b и скорость , с которой камень падает на нее. По участку АВ откоса, составляющему угол α с горизонтом и имеющему длину l, камень движется τ с. Коэффициент трения скольжения f камня на участке АВ считать постоянным, а сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано: . Определить b и (рис. 10.3).

Рис. 10.3

Решение. Задачу разделим на два этапа. Первый – движение камня на участке АВ, второй – движение камня от точки В до С.

Первый этап. 1. Составление расчетной схемы. Ось проводим по направлению движения камня, ось - перпендикулярно к оси . Камень принимаем за материальную точку и показываем ее в текущем положении, изображаем действующие на камень (точку) силы: вес , нормальную реакцию и силу трения скольжения (рис. 10.4).

2.Выявление начальных условий.

При .

Рис. 10.4

3.Составление дифференциальных уравнений движения точки. Так как точка (камень) движется прямолинейно, то при направлении оси х вдоль траектории получим одно дифференциальное уравнение движения

;

сила трения

,

тогда

;

;

.

4.Интегрирование дифференциальных уравнений движения. Интегрируя дифференциальное уравнение дважды, получаем:

;

;

;

;

;

;

.

5.Определение постоянных интегрирования. Подставим начальные условия, т.е. в уравнения:

;

;

.

6.Нахождение неизвестных величин и исследование полученных результатов. После подстановки постоянных интегрирования С₁ и С₂ получаем уравнение скорости и уравнение движения:

;

.

Для момента времени τ, когда камень покидает участок АВ,

,

т.е.

;

.

Умножим первое уравнение на τ/2, после этого разделим его на второе. В результате получим:

; ;

.

Второй этап. Движение камня от точки В до точки С.

1.Составление расчетной схемы. Координатные оси покажем так, как это удобно для решения задачи, в нашем случае ось х параллельна горизонтали и проходит через точку В, ось у направляем вниз через точку В. Камень принимаем за материальную точку, показываем ее в текущем положении, изображаем действующую на камень силу тяжести (рис. 10.4).

2. Выявление начальных условий движения. При :

.

3.Составление дифференциальных уравнений движения. Так как движение точки происходит в плоскости ху, то число уравнений движения равно двум:

.

4.Интегрирование дифференциальных уравнений движения. Интегрируем дифференциальные уравнения дважды:

(a)

; (б)

(в)

. (г)

5. Определение постоянных интегрирования. Подставляем начальные условия: в уравнения (а – г):

,

откуда

.

6.Нахождение искомых величин и исследование полученных результатов. После подстановки постоянных интегрирования в уравнения (а –г) получаем следующие уравнения проекций скорости камня:

и уравнения его движения

.

Уравнение траектории камня найдем, исключив параметр t из уравнений движения:

;

– уравнение параболы.

В момент падения . Определим d из уравнения траектории:

; ;

.

Так как траекторией движения камня является ветвь параболы с положительными абсциссами ее точек, то d=2,11 м.

Минимальная ширина полки

.

Используя уравнение движения камня , найдем время Т движения камня от точки В до точки С

.

Скорость камня при падении найдем через проекции скорости на оси координат:

по формуле

.

Для момента падения t=T=0,53 c

.

Скорость камня при падении равна 12,8 м/с.