Полный гармонический анализ стержня на упругом основании

Дополним этот короткий аналитический экскурс в теорию устойчивости многомодовым линейным гармоническим анализом шарнирно опертого стержня, который взаимодействует (или не взаимодействует) с упругим основанием. Упругое основание действует поперек оси стержня и может быть реализовано как пружинящая подложка, на которой горизонтально лежит стержень. Упругое основание можно представлять себе как большое число упругих пружин, сопротивляющихся поперечным перемещениям Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru .

Линеаризованное выражение для энергии, которое требуется в теории колебаний с малой амплитудой и для анализа устойчивости упругого стержня, следует из приведенных выше формул. Энергия деформации изгиба есть

Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru ,

потенциальная энергия мертвой осевой сжимающей нагрузки Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru есть

Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru ,

а энергию деформации простого упругого основания, на котором находится стержень, можно записать в виде

Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru ,

где Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru – жесткость основания. Итак, общая потенциальная энергия Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru может быть записана в форме

Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru .

Кинетическая энергия дается равенством

Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru .

Уравнение колебания стержня имеет вид

Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru .

Можно показать, что в случае дискретной модели уравнение для малых колебаний стержня имеет вид

Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru .

И для диагональных коэффициентов энергии имеем

Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru .

Поэтому угловая частота для Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru -й моды дается равенством

Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru .

Величины Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru суть собственные частоты колебаний шарнирно опертого упругого стержня с массой на единицу длины Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru и изгибной жесткостью Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru , покоящегося на упругом основании жесткости Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru и несущего осевую сжимающую нагрузку Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru . Если положить Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru равными нулю (или, что эквивалентно, Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru равными нулю), то получатся критические нагрузки потери устойчивости системы

Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru .

Критические нагрузки для шарнирно опертого стержня, не взаимодействующего с основанием, соответствуют нулевому значению Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru

Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru .

Наименьшая из этих критических нагрузок есть

Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru .

Видно, что для стержня на основании с жесткостью Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru первая гармоника ( Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru ) не всегда соответствует наименьшей нагрузке потери устойчивости, как показано на рисунке. По оси ординат отложена приведенная нагрузка Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru , а по оси абцис приведенная жесткость Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru .

Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru

Рисунок 1.41 - Критические нагрузки для стержня на упругом основании в зависимости от меры жесткости основания

Если положить жесткость основания и изгибную жесткость равными нулю ( Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru ) и написать Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru , то получим формулу для собственной частоты колебаний струны, растягиваемой усилием Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru :

Полный гармонический анализ стержня на упругом основании - student2.ru .

Наши рекомендации