Система уравнений Максвелла

Первое уравнение Максвелла в интегральной формеявляется обобщением закона электромагнитной индукции Фарадея в форме

.

Согласно Максвеллу этот закон справедлив не только для проводящего контура, но и для любого замкнутого контура, мысленно выбранного в переменном магнитном поле. Иными словами, с переменным магнитным полем независимо от того, находятся в нём проводники или нет, неразрывно связано вихревое электрическое поле.

Переменное электрическое поле, так же как и электрический ток, является источником магнитного поля. Количественной мерой магнитного действия переменного электрического поля служит ток смещения. Плотностью тока смещенияназывается вектор:

.

Второе уравнение Максвелла в интегральнойформе: циркуляция вектора напряжённости магнитного поля по произвольному контуру L равна алгебраической сумме макротоков и тока смещения сквозь поверхность, натянутую на этот контур (рис. 2.21) и находится по формуле

,

где - плотность тока проводимости; I_СМ.- ток смещения.

Третье уравнение Максвелла в интегральной форме

,

где r - объемная плотность свободных электрических зарядов.

Четвёртое уравнение Максвелла в интегральной форме

.

Систему уравнений Максвелла необходимо дополнить так называемыми материальными уравнениями, характеризующими электрические и магнитные свойства среды.

В случае изотропных несегнетоэлектрических и неферромагнитных сред и макротоков, подчиняющихся закону Ома, эти уравнения имеют вид

, , ,

где e₀, m₀ - электрическая и магнитная постоянные; e, m - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды; s - удельная электрическая проводимость среды.

Примеры решения задач

1. Квадратная рамка со стороной а=2 см, содержащая 100 витков, подвешена на упругой нити с постоянной кручения С=10 мкН×м/град. Плоскость рамки совпадает с направлением линий индукции внешнего магнитного поля. Определить индукцию магнитного поля, если при пропускании по рамке тока I=1А она повернулась на угол j=60^о.

Решение

Рамка будет находиться в равновесии, когда результирующий момент сил, действующий на рамку, равен нулю, т.е. , где М₁- момент сил, действующих на рамку с током со стороны магнитного поля; М₂ - момент упругих сил.

М₁ = р_m B sin a,

где р _m = NIS = NIa² - магнитный момент рамки; В - индукция магнитного поля; a - угол между вектором и нормалью к плоскости рамки. Как видно из рисунка, угол a=90°–j =30°.

М₂=Сj.

Из условия равновесия

Ia²NB sin a - Сj = 0,

откуда

B = Сj/(Ia²NB sin a).

Подставим числовые значения:

В = 10 ^-3×60 / 1×4×100×0,5 = 30 мТл.

2. Прямой бесконечный проводник имеет круговую петлю радиусом R=80 см. Определить силу тока в проводнике, если известно, что в точке А магнитная индукция B = 12,5 мкТл.

Решение

По принципу суперпозиции индукция магнитного поля в точке А равна векторной сумме индукций магнитных полей, созданных бесконечно длинным проводником с током I (В₁) и круговым током в его центре (В₂):

.

Векторы В₁ и В₂ на рисунке в точке А будут направлены в одну сторону перпендикулярно плоскости рисунка от нас, тогда можно записать

,

откуда

.

Подставим числовые значения:

А.

3. Квадратная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводником с током I₀ =5 А. Сторона рамки 8 см. Проходящая через середины противоположных сторон ось рамки параллельна проводу и отстоит от него на расстоянии, которое в n = 1,5 раза больше стороны рамки. Найти поток вектора через поверхность рамки.

Решение

Прямой проводник с током создает вокруг себя неоднородное магнитное поле с индукцией

,

которая уменьшается с увеличением расстояния от проводника. Направление вектора индукции будет совпадать с направлением нормали к рамке. Так как магнитное поле неоднородное, поверхность, ограниченную рамкой, разобьём на элементарные площадки dS = a×dr, в пределах которых магнитную индукцию можно считать постоянной величиной (см. рисунок). Тогда поток магнитной индукции (магнитный поток) через элементарную площадку

dФ _m = B·dS·cos 0° = B×а×dr = m ₀I₀ ·a·dr/(2pr).

Полный поток вектора через поверхность рамки

.

Подставим числовые значения:

Ф_m = 4p×10^–7×5×0,08×(ln 2)/2p = 5,545×10^–8 Вб.

4. Между полюсами электромагнита требуется создать магнитное поле с индукцией В=1,4 Тл. Длина железного сердечника l₁=40 см, длина межполюсного пространства l₂=1 см, диаметр сердечника D=5 см. Какую ЭДС нужно взять для питания обмотки электромагнита, чтобы получить требуемое магнитное поле, используя медную проволоку площадью поперечного сечения S=1 мм ²? Какая будет при этом наименьшая толщина b намотки, если считать, что предельно допустимая плотность тока j=3 МА/м ²?

Решение

Так как силовые линии магнитного поля замкнуты, то магнитный поток и индукция магнитного поля в сердечнике и в воздушном зазоре одинаковы: В₁=В₂. Для решения задачи воспользуемся теоремой о циркуляции вектора (т.к. циркуляция определяется только макротоками и не зависит от наличия или отсутствия магнетика). Выберем замкнутый контур вдоль силовой линии и вычислим циркуляцию вектора напряжённости:

,

где Н₁ и Н₂ - напряжённости магнитного поля в сердечнике и вне его; l₁ и l₂ – длина железного сердечника и межполюсного пространства.

Так как H₂ = B₂/m₀ = B₁/m₀, то

H₁l₁ + B₁l₂/m₀ = NI. (1)

Поскольку величина В₁ известна по условию задачи, то величину Н₁ найдём из графика зависимости В = В(H) (прил. 1):

при В = 1,3 Тл, Н = 800 А/м.

Из уравнения (1) определим число ампер-витков электромагнита:

(NI) = 800×0,4 + 1,3×0,01/(4×3,14×10^–7) = 1,07×10⁴ А-вит.

Величину ЭДС e вычислим по закону Ома:

e=IR_пров = Irl _пров/S = IrpDN / S = IrpDN / S.

Подставим числовые значения:

e = 1,7×10^–8×3,14×0,05×1,07×10⁴/10^–6 = 29 В.

Для определения толщины обмотки нужно знать общее число витков N и число витков N₁ в одном слое обмотки.

N₁ = l₁/d,

где l₁ – длина сердечника; d – диаметр провода обмотки: d = , тогда

N₁ = l₁/ = 0.4 / = 354 витка .

Зная число ампер–витков и предельно допустимое значение силы тока (I=jS), определим общее число витков N

N = (NI)/(jS) = 1,07×10 ⁴ / (3×10⁶×10^–6) = 3567 витков.

Число слоёв

k = N/N₁ = 3567/354 » 10.

Тогда толщина обмотки

b = d×k = k× = 10× = 11,3×10 ^-3 м » 11 мм.

5. Квадратная рамка с током I=1 А расположена в одной плоскости с длинным прямым проводником с током I₀=5 А. Сторона рамки 10 см. Ось рамки, проходящая через середины противоположных сторон, параллельна проводу и отстоит от него на расстоянии, которое в n = 1,5 раза больше стороны рамки. Найти:

1) силу, действующую на рамку;

2) работу, которую нужно совершить для поворота рамки вокруг её оси на 180°, если токи поддерживают неизменными.

Решение

1. Прямой длинный проводник с током I₀ создаёт вокруг себя неоднородное магнитное поле с индукцией B₀=m₀I_o/2pr, которая уменьшается с увеличением расстояния от проводника. В таком магнитном поле на каждую сторону квадратной рамки с током будет действовать сила Ампера, направление которой можно определить по правилу левой руки, а величину - по формуле F_A=IB₀lsin a.

Как видно из рисунка (при указанных направлениях силы тока в проводниках), l=a, a=90° (sin a =1), силы и противоположны по направлению и равны по величине

.

Следовательно, результирующая этих двух сил равна нулю. Силы и противоположны по направлению, но не равны по величине:

F₁ = Im₀I₀a /2pa = m₀I₀I /2p.

F₃ = Im₀Ia /2p2a = m₀I₀I /4p.

Так как сила F₁ в два раза больше силы F₃, то результирующая этих сил будет совпадать по направлению с силой F₁, а по величине

F = F₁ – F₃ = m₀I₀I /2p – m₀I₀I /4p = m₀I₀I /4p.

Подставим числовые значения

F = 4p×10^–7×1×5/4p = 5×10^–7 Н = 0,5 мкН.

2. Работу, необходимую для поворота рамки с током I на 180°, можно определить по формуле

А = IDФ_m = I(Ф_2m – Ф_1m),

где Ф_1m и Ф_2m - магнитные потоки через поверхность рамки в начальном и конечном состояниях. Так как магнитное поле проводника с током I₀ неоднородное, сначала определим магнитный поток через элементарную площадку dS=adr, в пределах которой индукцию магнитного поля можно считать постоянной величиной:

dФ_m = B₀dS cos a,

а полный магнитный поток сквозь рамку в начальном и конечном состояниях

.

.

Так как a₁ = 0°, a₂ = 180°, (cosa₁ = 1, cosa₂ = –1), то

DФ_m = Ф_2m – Ф_1m = – m₀aI₀ (ln 2)/2p – m₀aI₀ (ln 2)/2p = –m₀aI₀ (ln 2)/p.

Работа

А = IDФ_m = –m₀aI₀I (ln 2)/p.

Подставим числовые значения:

А = –4p×0,1×1×5×0,69×10^–7/p » –1,4×10^–7 Дж = –0,14 мкДж .

6. Тонкий металлический стержень длиной l = 1,2 м вращается в однородном магнитном поле вокруг перпендикулярной к стержню оси, отстоящей от одного из его концов на расстоянии а=0,25 м, делая n=120 об/мин. Вектор магнитной индукции поля параллелен оси вращения и имеет величину В=10^–3 Тл. Найти разность потенциалов U, возникающую между концами стержня.

Решение

Разность потенциалов между концами стержня будет равна по величине ЭДС индукции, возникающей в стержне за счёт вращения

. (1)

Для однородного магнитного поля и плоской поверхности dФ_m=BdScosa, или, подставив в (1), получаем (знак минус опустим, так как необходимо найти только величину ЭДС)

. (2)

По условию задачи cosa =1, поэтому из выражения (2) следует

, (3)

dj = wdt = (2pn)dt. (4)

Подставляя (4) в (3), получим:

.

U = 10^–3×2p×2 (1,2² + 2×1,2×0,25)/2 = 0,0128 В = 12,8 мВ.

7. Прямой проводник длиной l=10 см помещён в однородное магнитное поле с индукцией В=1 Тл. Концы проводника замкнуты гибким проводом, находящимся вне поля. Сопротивление внешней цепи R=0,4 Ом. Какая мощность потребуется для того, чтобы двигать проводник перпендикулярно линиям индукции с постоянной скоростью u=20 м/с?

Решение

Проведём анализ условия задачи. При движении проводник будет пересекать линии индукции. За счёт этого в проводнике возникнет ЭДС индукции

e = – dФ/dt, (1)

где в данном случае

dФ = BdS = Bludt . (2)

Подставляя (2) в (1), получаем:

e = – Blu.

Сила индукционного тока в цепи согласно закону Ома

I = e / R = – (Blv)/R.

Тепловая мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении

P = I²R = B²l²u²/R.

Эта мощность будет равна мощности, которую необходимо подводить к системе за счёт внешней силы, действующей на проводник, для того, чтобы скорость движения проводника была постоянной. Таким образом:

P = B²l²u²/R = 1×0,01×400/0,4 = 10 Вт.

8. Две катушки равномерно намотаны на цилиндрический сердечник, длина которого много больше диаметра. Индуктивность первой катушки 0,2 Гн, второй- 0,8 Гн. Сопротивление второй катушки 600 Ом. Какой ток потечёт по второй катушке, если ток в 0,3 А, текущий в первой катушке, выключить в течение времени 0,001 с.

Решение

Данная задача относится к разделу взаимной индукции. Сила тока во вторичной обмотке

I₂ = e₂/R₂. (1)

Величина e₂ зависит от взаимной индуктивности L₁₂ и быстроты изменения силы тока I₁

e ₂ = –L₁₂dI₁/dt = –L₁₂DI₁/Dt = –L₁₂(I₁ – I₀₁)/Dt. (2)

Взаимная индуктивность двух соленоидов, имеющих общий сердечник, рассчитывается по формуле

L₁₂ = mm₀n₁n₂lS. (3)

Собственные индуктивности

L₁ = mm₀n₁²lS, (4)

L₂ = mm₀n₂²lS, (5)

поэтому, учитывая выражения (3), (4), (5), получаем

L₁₂ = . (6)

Подставляя выражение (6) в выражение (2), а полученный результат - в выражение (1), получаем:

I₂ = (L₁₂I ₀₁)/R₂ = (I₀₁ )/R₂Dt.

I₂ = = 0,2 А.

9. На тороид квадратного поперечного сечения намотано 1000 витков провода. Внутренний радиус тороида равен 0,1 см, внешний - 0,2 см. Магнитная проницаемость тороида равна100. По обмотке тороида протекает электрический ток силой 1 À. Определить энергию магнитного поля внутри тороида.

Решение

Решим задачу двумя способами.

1. Энергия магнитного поля – это энергия, запасённая в индуктивности:

,

где L - индуктивность, I - сила тока, протекающего в индуктивности.

Потокосцепление, согласно определению индуктивности, рассчитывается как

Y = LI, Y = NФ_m,

где Ф_m - магнитный поток через поперечное сечение S тороида.

,

где r - расстояние от центра тороида до площадки dS, на которой определяется величина индукции магнитного поля. Так как тороид квадратного сечения, то высота площадки h = (r ₂ - r ₁), а ширина - dr. Поэтому

.

Тогда индуктивность тороида

L = = mm₀N ² (r₂ - r₁)ln .

Подставляя выражение для индуктивности в выражение для энергии, получаем

.

W_m = 100×4p×10^–7×10⁶×10^–3×1×ln2 /(4p) = 6,9 мДж.

2. Энергия магнитного поля W_m связана с плотностью энергии w_m соотношением:

W_m = ,

где w _m = mm₀Н ²/2.

Внутри тороида

Н = NI/l = NI/2pr.

Выберем в качестве элемента объема dV объем цилиндрического слоя радиусом r, высотой h=(r₂ - r₁) и толщиной dr (в пределах этого слоя величина Н постоянна). Запишем выражение для dV=(r₂ – r₁)2pr·dr и подставим в выражение для энергии W_m. Получаем

W _m = mm ₀N ² I ²(r ₂ - r ₁)ln .

Подставим числовые значения и получим:

W = 6,9 МДж.

Как видим, оба решения дают одно и то же значение.

Примечание: если в условии задачи величина m не задана, а указано, что тороид представляет собой железный, стальной или чугунный сердечник, то величина m находится по графику зависимости В = В(Н) (прил. 1) как

m = В/m ₀Н.

В качестве величины Н принять значение Н в центральной точке поперечного сечения тороида.

Задачи для самоконтроля

Длинный провод с током I=50 А изогнут под углом a=2p/3. Определить магнитную индукцию в точке А. Расстояние d=5 см.

Ответ: В=34,6 мкТл.

2. Тороид с железным сердечником, длина которого по средней линии l=1 м, имеет воздушный зазор шириной l₂. По обмотке тороида, содержащей N=1300 витков, пустили ток

I=2 A, в результате чего индукция в зазоре В₂ стала равна 1 Тл. Определить ширину зазора l₂.

Ответ: l₂ = 3 мм.

3. a-частица, кинетическая энергия которой Е_к=500 эВ, влетает в однородное магнитное поле, перпендикулярно к направлению её движения. Индукция магнитного поля В=0,1 Тл. Определить силу F, действующую на a-частицу, радиус R окружности, по которой движется a-частица, и период обращения Т a-частицы.

Ответ: F=5×10^–15 Н, R=3,2 см, Т=1,3 мкс.

4. Квадратная рамка со стороной а=10 см, по которой течет ток I=200 А, свободно установилась в однородном магнитном поле (В=0,2 Тл). Определить работу, которую необходимо совершить при повороте рамки вокруг оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярной линиям магнитной индукции, на угол j=2p/3 радиан.

Ответ: А=I·В·а²·(1-cosj)=0,6 Дж.

5. Бесконечно тонкий проводник равномерно вращается с частотой n=10 об/с в однородном магнитном поле с индукцией В=0,01 Тл. Ось вращения, проходящая через один из концов проводника, параллельна линиям индукции и составляет угол a=30^о с осью проводника. Найти разность потенциалов между концами проводника, если его длина l = 0,1 м.

Ответ: В.

6. Из провода радиусом а=1,00 мм сделана прямоугольная рамка, длина которой l=10,0 м значительно больше ширины b=0,10 м (измеренной между осями сторон рамки). Найти индуктивность рамки L. Магнитная проницаемость среды равна 1. Полем внутри проводов пренебречь.

Ответ: мкГн.

7. Две катушки расположены на небольшом расстоянии друг от друга. Когда сила тока в первой катушке изменяется с быстротой DI/Dt=5 А/с, во второй катушке возникает ЭДС индукции e_i=0,1 В. Определить взаимную индуктивность катушек.

Ответ: L_вз = = 20 мГн.

8. Напряженность магнитного поля тороида со стальным сердечником возросла от Н₁=200 А/м до Н₂=800 А/м. Определить, во сколько раз изменилась объемная плотность энергии магнитного поля.

Ответ: .

Контрольное задание № 4

401. По двум длинным параллельным проводам текут в противоположных направлениях токи силой I₁=I₂=I=10 А. Расстояние между проводами d=0,3 м. Определить магнитную индукцию в точке А, удаленной от первого и второго проводов соответственно на расстояния r₁=0,15 м и r₂=0,2 м.

402. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого отрезком бесконечно длинного провода, в точке, равноудалённой от концов отрезка и находящейся на расстоянии а=4 см от его середины. Длина отрезка провода l=20 см, сила тока в проводе I=10 А.

403. Определить индукцию магнитного поля в центре проволочной квадратной рамки со стороной а=15 см, если по рамке течёт ток I=5 А.

404. Определить индукцию магнитного поля в центре контура, имеющего вид прямоугольника, если его диагональ d=16 см, угол между диагоналями j=30°, ток в контуре I=5 А.

405. Ток I=20 А течёт по длинному проводнику, согнутому под прямым углом. Определить индукцию магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от вершины угла на 10 см.

406. На рисунке изображены сечения двух прямолинейных бесконечно длинных проводников с токами. Расстояние между проводниками АВ=10 см, токи I₁=20 А и I₂=30 А. Определить индукцию В магнитного поля, вызванного токами I₁ и I₂ в точках М₁, М₂, М₃. Расстояния М₁А =2 см, АМ₂ =4 см, ВМ₃ =3 см.

407. Два прямолинейных бесконечно длинных проводника с токами расположены перпендикулярно друг к другу и находятся в одной плоскости. Определить индукцию магнитного поля в точках М₁ и М₂, если токи I₁=2 А, I₂=3 А. Расстояния АМ₁ =АМ₂ =1 см, ВМ₁ =СМ₂ =2 см.

408. Бесконечно длинный тонкий проводник с током I=50 А имеет изгиб радиусом R=10 см. Определить индукцию магнитного поля в точке О (в центре изгиба).

409. По проводу, согнутому в виде правильного шестиугольника со стороной а=20 см, течёт ток I=100 А. Определить индукцию магнитного поля в центре шестиугольника. Для сравнения определить магнитную индукцию магнитного поля в центре кругового провода, совпадающего с окружностью, описанной около данного шестиугольника.

410. Тороид с железным сердечником, длина которого по средней линии l=1 м, имеет воздушный зазор l₂=3 мм. По обмотке тороида, содержащей N=1300 витков, пустили ток, в результате чего индукция в зазоре В₂ стала равна 1 Тл. Определить силу тока.

411. По проводнику, изогнутому в виде окружности, течёт ток. Индукция магнитного поля в центре окружности равна 25,1 мкТл. Не изменяя силы тока в проводнике, ему придали форму квадрата. Определить индукцию магнитного поля в точке пересечения диагоналей этого квадрата.

412. Внутри соленоида длиной l=25,1 см и диаметром D=2 см помещён железный сердечник. Соленоид имеет N=200 витков. Определить магнитный поток Ф_m, если ток в соленоиде I=5 А.

413. Магнитная индукция В на оси тороида без сердечника (внешний диаметр тороида d₁=60 см, внутренний - d₂=40 см), содержащего N=200 витков, составляет 0,16 мТл. Пользуясь теоремой о циркуляции вектора , определить силу тока в обмотке тороида.

414. По прямому бесконечно длинному проводнику течёт ток I=10 А. Определить, пользуясь теоремой о циркуляции вектора , магнитную индукцию В в точке, расположенной на расстоянии r=10 см от проводника.

415. Тороид намотан на железное кольцо сечением S=5 см². При силе тока I=1 А магнитный поток Ф_m=250 мкВб. Определить число витков n тороида, приходящихся на отрезок длиной 1 см средней линии кольца.

416. Электромагнит изготовлен в виде тороида. Сердечник тороида со средним диаметром d=51 см имеет вакуумный зазор длиной l₀ =2 мм. Обмотка тороида равномерно распределена по всей его длине. Во сколько раз уменьшится индукция магнитного поля в зазоре, если, не изменяя силы тока в обмотке, зазор увеличится в n=3 раза? Рассеянием магнитного поля вблизи зазора пренебречь. Магнитную проницаемость m сердечника считать постоянной и принять равной 800.

417. Обмотка катушки сделана из проволоки диаметром d=0,8 мм. Витки плотно прилегают друг к другу. Считая катушку достаточно длинной, определить напряжённость H и индукцию B магнитного поля внутри катушки при токе I=1A.

418. Железное кольцо диаметром D=11,4 см имеет обмотку из N=200 витков, по которой течет ток I₁=15A. Какой ток I₂ должен проходить через обмотку, чтобы индукция в сердечнике осталась прежней, если в кольце сделать зазор шириной b=1 мм? Определить магнитную проницаемость m материала сердечника при этих условиях.

419. Обмотка соленоида состоит из N витков медной проволоки, поперечное сечение которой S=1 мм². Длина соленоида l=25 см, диаметр D=5 см. Определить напряженность H и индукцию B магнитного поля внутри соленоида при токе I=2 A, если сопротивление соленоида R=0,2 Ом. Удельное сопротивление меди r=17·10_­­­^-9 Ом·м.

420. Внутри соленоида с числом витков N=200 с никелевым сердечником (m=200) напряженность однородного магнитного поля H=10 кA/м. Площадь поперечного сечения сердечника S=10 см². Определить: 1) магнитную индукцию поля внутри соленоида; 2) потокосцепление.

421. По двум тонким проводам, изогнутым в виде колец радиусом R=10 см, текут одинаковые токи I=10 А в каждом. Найти силу взаимодействия этих колец, если плоскости, в которых лежат кольца, параллельны, а расстояние d между центрами колец равно 1мм.

422. Виток, диаметр которого d=20 см, может вращаться около вертикальной оси, совпадающей с одним из диаметров витка. Виток установили в плоскости магнитного меридиана и пустили по нему ток I=10 A. Какой вращающий момент нужно приложить к витку, чтобы удержать его в начальном положении? Горизонтальную составляющую B_г магнитной индукции поля Земли принять равной 20 мкТл.

423. Из проволоки длинной l=20 см сделаны квадратный и круговой контуры. Определить вращающие моменты сил M₁ и M₂, действующие на каждый контур, помещенный в однородное магнитное поле с индукцией В=0,1 Тл. По контурам течет ток I=2 A. Плоскость каждого контура составляет угол a=45° с направлением поля.

424. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U=0,5 кВ, движется параллельно прямолинейному длинному проводнику на расстоянии r=1 см от него. Определить силу, действующую на электрон, если через проводник пропускать ток I=10 А.

425. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией В=0,2 мТл по винтовой линии. Определить скорость v электрона, если радиус винтовой линии R=3 см, а шаг h=9 см.

426. Ионы двух изотопов с массами m₁=6,5×10^–26 кг и m₂=6,8×10^–26 кг, ускоренные разностью потенциалов U=0,5 кВ, влетают в однородное магнитное поле с индукцией В=0,5 Тл перпендикулярно линиям индукции. Принимая заряд каждого иона равным элементарному электрическому заряду, определить, насколько будут отличаться радиусы траекторий ионов изотопов в магнитном поле.

427. Частица, несущая один элементарный заряд, влетела в однородное магнитное поле с индукцией В=0,5 Тл. Определить момент импульса L, которым обладала частица при движении в магнитном поле, если её траектория представляла собой окружность радиусом R=0,2 см.

428. Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью u=10⁷ м/с. Длина конденсатора l=5 см. Напряжённость электрического поля конденсатора Е=10 кВ/м. При вылете из конденсатора электрон попадает в магнитное поле, перпендикулярное к электрическому полю. Индукция магнитного поля В=10 мТл. Найти радиус R и шаг h винтовой траектории электрона в магнитном поле.

429. Заряженная частица прошла ускоряющую разность потенциалов U=104 В и влетела в скрещенные под прямым углом электрическое (Е=10 кВ/м) и магнитное (В=0,1 Тл) поля. Определить отношение заряда частицы к её массе, если, двигаясь перпендикулярно обоим полям, частица не испытывает отклонений от прямолинейной траектории.

430. Протоны ускоряются в циклотроне в однородном магнитном поле с индукцией В=1,2 Тл. Ускоряющее напряжение 30 кВ. Максимальный радиус кривизны траектории протонов R=40 см. Определить: 1) какое количество оборотов сделает протон до приобретения максимальной кинетической энергии; 2) время ускорения протонов до Е_Кмакс.

431. Два бесконечных прямолинейных параллельных проводника с одинаковыми токами, текущими в одном направлении, находятся друг от друга на расстоянии d. Чтобы их раздвинуть до расстояния 2d, на каждый сантиметр длины проводника затрачивается работа А=138 нДж. Определить силу тока в проводниках.

432. Квадратный проводящий контур со стороной l=20 см и током I=10 А свободно подвешен в однородном магнитном поле с индукцией В=0,2 Тл. Определить работу, которую необходимо совершить, чтобы повернуть контур на 180° вокруг оси, перпендикулярной направлению магнитного поля.

433. В однородном магнитном поле с индукцией В=0,2 Тл находится квадратный проводящий контур со стороной l=20 см и током I=10 А. Плоскость контура составляет с направлением поля угол a=30°. Определить работу удаления контура за пределы поля.

434. Круговой проводящий контур радиусом r=5 см и током I=1 А находится в магнитном поле, причём плоскость контура перпендикулярна направлению поля. Напряжённость магнитного поля Н=10 кА/м. Определить работу, которую необходимо совершить, чтобы повернуть контур на 90° вокруг оси, совпадающей с диаметром контура.

435. В однородном магнитном поле с индукцией В=0,5 Тл движется равномерно проводник длиной l=10 см. По проводнику течёт ток I=2 А. Скорость движения проводника u=20 см/с и направлена перпендикулярно к направлению магнитного поля. Определить работу А перемещения проводника за время t=10 с и мощность Р, затраченную на это перемещение.

436. В однородном магнитном поле с индукцией В=1 Тл находится плоская катушка из 100 витков радиусом r=10 см, плоскость которой с направлением поля составляет угол b=60°. По катушке течёт ток I=10 А. Определить работу, которую необходимо совершить, чтобы удалить эту катушку из магнитного поля.

437. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной длиной a=20 см, течет ток I=20 А, сила которого поддерживается неизменной. Плоскость квадрата составляет угол b=20° с линиями индукции однородного магнитного поля (B=0,1Тл). Вычислить работу, которую необходимо совершить для того, чтобы удалить провод за пределы поля.

438. Два прямолинейных длинных параллельных проводника находятся на расстоянии d₁=10 см друг от друга. По проводникам в одном направлении текут токи I₁=20 А и I₂=30 А. Какую работу A_l надо совершить (на единицу длины проводников), чтобы раздвинуть эти проводники до расстояния d₂ =20 см?

439. По кольцу, сделанного из тонкого гибкого провода радиусом r=10 см, течет ток I=100 А. Перпендикулярно плоскости кольца возбуждено магнитное поле с индукцией В=0,1 Тл, по направлению совпадающей с индукцией В₁ собственного магнитного поля кольца. Определить работу внешних сил, которые, действуя на провод, деформировали его и придали ему форму квадрата. Сила тока при этом поддерживалась неизменной. Работой против упругих сил пренебречь.

440. В однородном магнитном поле с индукцией В=0,01 Тл находится прямой провод длиной l=8 см, расположенный перпендикулярно линиям индукции. По проводу течёт ток I=2 А. Под действием сил поля провод переместился на некоторое расстояние S, при этом была совершена работа А=80 мкДж. Определить это расстояние S.

441. В магнитном поле, индукция которого изменяется по закону B=a+bt², где b=10^-2 Тл/с², расположена квадратная рамка со сторо­ной a=20 см, причем плоскость рамки перпендикулярна вектору магнитной индукции. Определить ЭДС индукции в рамке в момент времени t=5 c.

442. Медный диск радиусом a=10 см вращается в однородном магнитном поле, делая 100 оборотов в секунду. Магнитное поле направлено перпендикулярно к плоскости диска и имеет напряжен­ность H=7,96·10⁵ А/м. Две щетки, одна на оси диска, другая на окружности, соединяют диск с внешней цепью, в которой включены последовательно резистор с сопротивлением R=10 Ом и амперметр. Что показывает амперметр?

443. Горизонтальный стержень длиной 1 м вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Ось вращения параллельна силовым линиям магнитного поля, индукция которого равна 5·10^–5 Тл. При каком числе оборотов в секунду разность потенциалов на концах этого стержня будет 1 мВ?

444. В однородном магнитном поле, индукция которого равна 0,1 Тл, вращается катушка, состоящая из 200 витков. Ось вращения катушки перпендикулярна ее оси и направлению магнитного поля. Период вращения катушки равен 0,2 с, площадь поперечного сечения катушки 4 см². Найти максимальную ЭДС индукции во вращаю­щейся катушке.

445. В однородном магнитном поле, индукция которого 0,8 Тл, равномерно вращается рамка с угловой скоростью 15 рад/с. Площадь рамки 150 см². Ось вращения находится в плоскости рамки и состав­ляет 30^° с направлением силовых линий магнитного поля. Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся рамке.

446. Скорость самолёта с реактивным двигателем равна 950 км/ч. Найти ЭДС индукции, возникающую на концах крыльев самолёта, если вертикальная составляющая напряжённости магнитного поля земли 39,8 А/м и размах крыльев самолёта 12,5 м.

447. В однородном магнитном поле с индукцией 1 Тл равномерно вращается рамка, содержащая 1000 витков провода. Площадь рамки 150 см². Рамка вращается с частотой 10 об/с. Определить мгновен­ное значение ЭДС, соответствующее углу поворота рамки 30°. Ось вращения перпендикулярна линиям индукции и лежит в плоскости рамки.

448. Проволочный виток радиусом 4 см и сопротивлением 0,01 Ом находится в однородном магнитном поле с напряжённостью 5000 А/м. Плоскость рамки составляет 30° с линиями напряжённости. Какое количество электричества протечёт по витку, если магнитное поле выключить?

449. Проволочное кольцо радиусом R=10 см лежит на столе. Какое количество электричества q протечёт по кольцу, если его перевернуть с одной стороны на другую? Сопротивление кольца r=1 Ом. Вертикальная составляющая индукции магнитного поля земли В=50 мкТл.

450. Для измерения индукции магнитного поля между полюсами магнита помещена катушка, состоящая из 50 витков проволоки и соединённая с баллистическим гальванометром. Ось катушки параллельна направлению магнитного поля. Площадь поперечного сечения катушки 2 см², сопротивлением её по сравнению с сопротивлением гальванометра можно пренебречь. Сопротивление гальванометра 2×10³ Ом, его баллистическая постоянная 2×10^-8 Кл/дел. При быстром выдёргивании катушки из магнитного поля гальванометр даёт отброс, равный 50 делениям шкалы. Чему равна индукция магнитного поля?

451. В магнитном поле, индукция которого равна 0,05 Тл, поме­щена катушка, содержащая 200 витков проволоки. Сопротивление катушки 40 Ом, площадь её поперечного сечения 12 см². Катушка помещена так, что её ось составляет 60^o с направлением магнитного поля. Какое количество электричества протечёт по катушке при исчезновении поля?

452. В однородном магнитном поле, индукция которого 1 Тл, находится прямой проводник длиной 20 см. Концы проводника замкнуты проводом, находящимся вне поля. Сопротивление всей цепи 0,1 Ом. Найти силу, которую надо приложить к проводнику, чтобы перемещать его со скоростью 2,5 м/с перпендикулярно линиям индукции.

453. Электрическая лампочка, сопротивление которой в горячем состоянии равно 10 Ом, подключается через дроссель к двенадцати­вольтовому аккумулятору. Индуктивность дросселя 2 Гн, сопротив­ление 1 Ом. Через сколько времени после включения лампочка загорится, если она начинает светиться при напряжении на ней 6 В?

454. Имеется катушка длиной 20 см и диаметром 2 см. Обмотка катушки состоит из 200 витков медной проволоки, площадь попе­речного сечения которой 1 мм². Катушка включена в цепь с некоторой ЭДС. При помощи переключателя ЭДС выключается и катушка замыкается накоротко. Через сколько времени после выключения ЭДС сила тока в цепи уменьшается в 2 раза?

455. Рамка площадью S=100 см² содержит N=1000 витков провода с сопротивлением r₁=12 Ом. К концам обмотки подключено внешнее сопротивление r₂=20 Ом. Рамка равномерно вращается в магнитном поле (B=0,1 Тл), делая n=2 об/с. Чему равно максимальное значение мощности переменного тока во внешней цепи? Ось вращения, лежащая в плоскости рамки, перпендикулярна линиям индукции.

456. Квадратная рамка из медной проволоки сечением 1 мм² помещена в магнитное поле, индукция которого меняется по закону B=B₀sinwt, где B₀=0,01 Тл, w=2p/T и T=0,02 c. Площадь рамки 25 см². Плоскость рамки перпендикулярна к направлению магнитного поля. Найти максимальную силу тока, возникающую в рамке.

457. В соленоид длиной 50 см вставлен ферромагнитный сердечник. Число витков на единицу длины соленоида равно 400 вит./м. Найти индуктивность соленоида, если при силе тока 2 А по обмотке соленоида магнитный поток, пронизывающий поперечное сечение соленоида, равен 1,6 мВб.

458. Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегаю­щих друг к другу витков медного провода. Диаметр провода 0,2 мм, диаметр соленоида 5 см. По соленоиду течёт ток силой 1 А. Опреде­лить, какое количество электричества протечёт через обмотку, если концы её замкнуть накоротко.

459. Тонкий медный проводник массой m=1 г согнут в виде квад­рата и концы его замкнуты. Квадрат помещён в однородное магнит­ное поле (B=0,1 Тл) так, что плоскость его перпендикулярна линиям индукции поля. Определить количество электричества q, которое протечёт по проводнику, если квадрат, потянув за противополож­ные вершины, вытянуть в линию.

460. Обмотка соленоида состоит из N витков медной проволоки, поперечное сечение которой 1 мм². Длина соленоида 25 см и сопротивление его обмотки 0,2 Ом. Найти индуктивность соленоида. Удельное сопротивление меди 1,7×10^–8 Ом×м.

461. На соленоид, длина которого равна 21 см и площадь попереч­ного сечения 10 см², надета катушка, состоящая из 50 витков. Катушка соединена с баллистическим гальванометром, сопротивле­ние которого 10³ Ом. По обмотке соленоида, состоящей из 200 витков, идёт ток силой 5 А. Какой заряд пройдёт по гальванометру, если ток соленоида станет равным нулю?

462. На соленоид длиной 144 см и диаметром 5 см надет проволоч­ный виток. Обмотка соленоида имеет 2000 витков и по ней течёт ток в 2 А. Соленоид содержит железный сердечник. Какая средняя ЭДС индуцируется в надетом на соленоид витке, когда ток в соленоиде выключается в течение 0,002 с?

463. Обмотка тороида имеет N₁=251 виток. Средний диаметр тороида 8 см, диаметр витков 2 см. На тороид намотана вторичная обмотка N₂, имеющая 100 витков. При замыкании первичной обмотки в ней в течение 0,001 с устанавливается ток силой 3 А. Найти среднее значение ЭДС индукции во вторичной обмотке.

464. На соленоид длиной 20 см и площадью поперечного сечения 30 см² надет проволочный виток. Соленоид имеет 320 витков и по нему течёт ток в 3 А. Какая средняя ЭДС индуцируется в надетом на соленоид витке, когда ток в соленоиде выключается в течение 0,001 с?

465. Две катушки имеют взаимную индуктивность, равную 0,005 Гн. В первой катушке сила тока изменяется по закону I=I₀ sin wt, где I₀=10 А, w=2p/T, T=0,02 с. Найти наибольшее значение ЭДС индук­ции во второй катушке.

466. Вычислить взаимную индуктивность длинного прямого провода и прямоугольной рамки со сторонами a и b. Рамка и провод лежат в одной плоскости, причём ближайшая сторона рамки длиной a параллельна проводу и отстоит от него на расстоянии l.

467. Два концентрических тонких проводника в форме окружно­стей с радиусами a и b лежат в одной плоскости (a<<b). Найти их взаимную индуктивность.

468. На бесконечный соленоид с n витками на единицу длины и площадью поперечного сечения S намотана катушка из N витков. Найти взаимную индуктивность L₁₂ катушки и соленоида. Прони­цаемость среды, заполняющей соленоид, равна m.

469. По соседству расположены два витка провода. По первому течёт ток I=10 А. В цепь второго включён баллистический гальвано­метр. Полное сопротивление второй цепи R=5 Ом. Чему равна взаимная индуктивность L₁₂ витков, если при включении тока I через гальванометр проходит заряд q=10 ^–8 Кл?

470. Определить взаимную индуктивность L₁₂ тороида и проходя­щего по его оси бесконечного прямого провода. Тороид имеет прямоугольное сечение ширины a. Внутренний радиус тороида r₁, внешний r₂. Число витков тороида N. Тороид и провод погружены в среду с проницаемостью m.

471. Длинный цилиндр радиусом R, заряженный равномерно по поверхности, вращается вокруг своей оси с угловой скоростью w. Найти энергию магнитного поля на единицу длины цилиндра, если линейная плотность заряда цилиндра равна l, а m=1.

472. При некоторой силе тока плотность энергии магнитного поля соленоида (без сердечника) w=0,2 Дж/м³. Во сколько раз увеличится плотность энергии этого поля при той же силе тока, если соленоид будет иметь железный сердечник?

473. Соленоид содержит N=1000 витков. Сила тока в обмотке I=1 А, магнитный поток через поперечное сечение соленоида Ф_m=0,01 Вб. Вычислить энергию магнитного поля.

474. Обмотка тороида содержит 10 витков на каждый сантиметр длины. Сердечник немагнитный. При какой силе тока плотность энергии магнитного поля равна 1 Дж/м³.

475. На стержень из немагнитного материала длиной l=50 см и сечением S=2 см² намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится 20 витков. Определить энергию W магнитного поля внутри соленоида, если сила тока в обмотке I=0,5 А.

476. На железное кольцо намотано в один слой N=200 витков. Чему равна энергия магнитного поля, если при токе I=2,5 А магнитный поток в железе 0,5 мВб?

477. По обмотке тороида течёт ток I=0,6 А. Витки провода диамет­ром d=0,4 мм плотно прилегают друг к другу. Найти энергию магнитного поля в стальном сердечнике тороида, если площадь поперечного сечения его S=4 см², диаметр средней линии D=30 см.

478. Индукция магнитного поля тороида со стальным сердечником возросла от B₁=0,5 Тл до B₂=1 Тл. Найти, во сколько раз изменилась объёмная плотность энергии магнитного поля.

479. Катушка индуктивностью L=2 мкГн и сопротивлением R₀=1 Ом подключена к источнику постоянного тока с ЭДС e=3 В. Парал­лельно катушке включено сопротивление R=2 Ом. После того как ток в катушке достигнет установившегося значения, источник тока отключается. Найти количество тепла, выделивше­еся на сопротивлении R после отключения источника. Сопротивле­нием источника и соединительных проводов пренебречь.

480. Железный сердечник, имеющий форму тора с квадратным се­чением, несёт на себе обмотку из N=1000 витков. Внутренний радиус тора a=0,2 м, внешний b=0,25 м. Определить энергию, запасённую в сердечнике в том случае, если по обмотке течёт ток I=1,26 А. Определение произвести приближённо, полагая напряжён­ность поля по всему сечению тороида одинаковой и равной значе­нию H в центре сечения.

Варианты контрольного задания № 4

№ варианта	Номера задач контрольного задания

Библиографический список

1. Савельев, И. В. Курс общей физики: в 3 т. Т.2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика: учеб. пособие для втузов /И.В. Савельев. 3-е изд., испр. М., 1987. 496 с.

2. Трофимова, Т. И. Курс физики: учеб. пособие для инж.–техн. специальностей вузов /Т.И. Трофимова. 4 -е изд., испр. М.: Высш. школа, 1997. 542 с.

3. Курс физики: учебник для вузов: в 2 т. /Под ред. В. Н. Лозовского. 2-е изд., испр. СПб.: Лань, 2001. Т. 1. 576 с.

3. Детлаф, А. А., Яворский Б. М. Курс физики: учеб. пособие для втузов / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. 1989. 608 с.

4. Яворский, Б. М., Справочник по физике / Б.М. Яворский, А.А. Детлаф. 2-е изд., перераб. М.: Наука, 1985. 512 с.

5. Чертов, А. Г. Задачник по физике /А.Г. Чертов, А.А. Воробьёв. 5-е изд., перераб. и доп. М., 1988. 526 с.

6. Волькенштейн, В. С. Сборник задач по общему курсу физики: [для втузов] /В.С. Волькенштейн. 11-е изд. перераб. М.: Наука, 1985. 381 с.

7. Беликов, Б. С. Решение задач по физике. Общие методы: учеб. пособие для вузов / Б.С. Беликов. М.: Высш. школа, 1986. 255 с.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Приложение 2

Удельное сопротивление проводников (при 0 ⁰С), мкОмּм

Алюминий	0,025	Нихром
Графит	0,039	Ртуть	0,94
Железо	0,087	Свинец	0,22
Медь	0,017	Сталь	0,10

Содержание

Предисловие . . . . . . . . . 3

Содержание теоретического курса . . . . . . 3

1. Электростатика и постоянный ток . . . . . 5

1.1. Электрический заряд. Закон сохранения заряда.

Закон Кулона. Напряженность поля . . . . . 5

1.2. Принцип суперпозиции полей . . . . . . 7

1.3. Поток напряженности. Теорема Гаусса

для электростатического поля в вакууме . . . . 8

1.4. Потенциал электростатического поля.

Работа совершаемая силами электростатического поля

при перемещении в нем электрического заряда . . . 9

1.5. Примеры применения теоремы Гаусса к расчету

электростатических полей . . . . . . 10

1.6. Электрическое поле в диэлектрической среде.

Дипольные моменты молекул диэлектрика.

Поляризация диэлектрика . . . . . . 12

1.7. Теорема Гаусса для электростатического поля в среде . . 13

1.8. Условия для электростатического поля на границе раздела

изотропных диэлектрических сред . . . . . 14

1.9. Проводники в электростатическом поле.

Электроемкость проводника . . . . . . 14

1.10. Взаимная емкость. Конденсаторы . . . . . 15

1.11. Потенциальная энергия системы точечных зарядов.

Энергия заряженного проводника и электрического поля . 16

1.12. Постоянный электрический ток. Сила и плотность тока . 16

1.13. Законы постоянного тока. Сторонние силы . . . 18

1.14. Правила Кирхгофа . . . . . . . 19

Примеры решения задач . . . . . . 20

Задачи для самоконтроля . . . . . . 28

Контрольное задание №3 . . . . . . 30

2. Магнетизм . . . . . . . . . 38

2.1. Сила Лорентца и сила Ампера. Вектор магнитной индукции . 38

2.2. Закон Био и Савара. Принцип суперпозиции.

Магнитные поля прямого и кругового токов . . . 40

2.3. Магнитное взаимодействие проводников с токами.

Контур с током в магнитном поле . . . . . 41

2.4. Циркуляция магнитного поля (закон полного тока) в вакууме.

Теорема Гаусса для магнитного поля . . . . . 42

2.5. Работа перемещения проводника с током в магнитном поле . 43

2.6. Движение заряженных частиц в магнитном

и электрическом полях . . . . . . . 44

2.7. Магнитные моменты электронов и атомов.

Намагниченность вещества . . . . . . 45