Примеры выполнения типового расчета

Задача 2.1. Найти все значения корня:

1. примеры выполнения типового расчета - student2.ru 2. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Решение: 1. примеры выполнения типового расчета - student2.ru , примеры выполнения типового расчета - student2.ru , примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru примеры выполнения типового расчета - student2.ru

2. примеры выполнения типового расчета - student2.ru , примеры выполнения типового расчета - student2.ru , примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

На комплексной плоскости значения корней могут быть представлены следующим образом (см. рис 2.1 и 2.2)

Задача 2.2. Представить в алгебраической форме:

1. примеры выполнения типового расчета - student2.ru ; 2. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Решение:

1. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Т. о. примеры выполнения типового расчета - student2.ru - действительное число.

2. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Задача 2.3. Представить в алгебраической форме:

1. примеры выполнения типового расчета - student2.ru 2. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Решение:

1. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

2. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Задача 2.4.Вычертить область, заданную неравенствами:

1. примеры выполнения типового расчета - student2.ru ; 2. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Решение:

примеры выполнения типового расчета - student2.ru - кольцо, ограниченное окружностями примеры выполнения типового расчета - student2.ru , окружности не принадлежат области:

примеры выполнения типового расчета - student2.ru правая полуплоскость без границы;

примеры выполнения типового расчета - student2.ru - полоса, ограниченная прямыми примеры выполнения типового расчета - student2.ru и примеры выполнения типового расчета - student2.ru прямые принадлежат области. Таким образом, на комплексной плоскости область имеет вид(см. рис 2.3):

примеры выполнения типового расчета - student2.ru - круг единичного радиуса с центром в точке примеры выполнения типового расчета - student2.ru , граница круга области не принадлежит.

примеры выполнения типового расчета - student2.ru - полуплоскость, расположенная выше прямой примеры выполнения типового расчета - student2.ru вместе с границей;

примеры выполнения типового расчета - student2.ru - полуплоскость, расположенная ниже прямой примеры выполнения типового расчета - student2.ru вместе с границей.

Таким образом, область на комплексной плоскости имеет вид (см. рис 2.4):

Задача 2.5. Определить вид кривой:

1. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

2. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Решение:

1. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru - прямая.

2. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Приведем уравнение к каноническому виду. Повернем координатные оси на угол примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Угол примеры выполнения типового расчета - student2.ru выберем так, чтобы примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Тогда примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Пусть примеры выполнения типового расчета - student2.ru . Тогда примеры выполнения типового расчета - student2.ru - гипербола.

Задача 2.6. Восстановить аналитическую в окрестности точки примеры выполнения типового расчета - student2.ru функцию примеры выполнения типового расчета - student2.ru по известной действительной части примеры выполнения типового расчета - student2.ru или мнимой части примеры выполнения типового расчета - student2.ru и значению примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

1. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

2. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Решение. Проверим является ли функция примеры выполнения типового расчета - student2.ru гармонической.

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Т.е. примеры выполнения типового расчета - student2.ru – гармоническая функция.

Потребуем выполнения условий Коши-Римана:

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Из первого условия:

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Из второго условия:

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Следовательно, примеры выполнения типового расчета - student2.ru .Тогда

примеры выполнения типового расчета - student2.ru или примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Из условия примеры выполнения типового расчета - student2.ru имеем примеры выполнения типового расчета - student2.ru . Таким образом, примеры выполнения типового расчета - student2.ru

2. Проверим гармоничность функции примеры выполнения типового расчета - student2.ru :

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru - гармоническая функция.

Потребуем выполнения условий Коши-Римана:

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Из первого условия:

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Из второго условия:

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Следовательно, примеры выполнения типового расчета - student2.ru . Тогда примеры выполнения типового расчета - student2.ru или примеры выполнения типового расчета - student2.ru . Из условия примеры выполнения типового расчета - student2.ru имеем примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

Таким образом, примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

Задача 2.7. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой.

1. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

2. примеры выполнения типового расчета - student2.ru , АВ – отрезок прямой, примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Решение 1. Кривая примеры выполнения типового расчета - student2.ru , вдоль которой ведется интегрирование, представлена на рис 2.5.

Подынтегральная функция аналитическая, поэтому можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница.

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Отрезок АВ, вдоль которого ведется интегрирование, представлен на рис. 2.6.

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Уравнение прямой АВ примеры выполнения типового расчета - student2.ru , тогда вдоль АВ примеры выполнения типового расчета - student2.ru , примеры выполнения типового расчета - student2.ru

. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Задача 2.8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням примеры выполнения типового расчета - student2.ru :

1. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

2. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Решение.

1. Разложим функцию на простые дроби.

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Приравнивая коэффициенты при примеры выполнения типового расчета - student2.ru : примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Тогда примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Функция примеры выполнения типового расчета - student2.ru имеет следующие области аналитичности:

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

В области примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

тогда примеры выполнения типового расчета - student2.ru

В области примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

тогда примеры выполнения типового расчета - student2.ru

В области примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Тогда примеры выполнения типового расчета - student2.ru

2. Разложим функцию на простые дроби.

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Тогда примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Функция имеет следующие области аналитичности:

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

В области примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Тогда примеры выполнения типового расчета - student2.ru

В области примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Тогда примеры выполнения типового расчета - student2.ru

В области примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Тогда примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Задача 2.9. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

1. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

2. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Решение. Так как функция примеры выполнения типового расчета - student2.ru аналитическая всюду, кроме точек примеры выполнения типового расчета - student2.ru , примеры выполнения типового расчета - student2.ru и примеры выполнения типового расчета - student2.ru , примеры выполнения типового расчета - student2.ru , то она может быть разложена в ряд Лорана по степеням примеры выполнения типового расчета - student2.ru в следующих областях:

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Разложим на простые дроби

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

В области примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Тогда примеры выполнения типового расчета - student2.ru В области примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Тогда примеры выполнения типового расчета - student2.ru

В области примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Тогда

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

2. Так как примеры выполнения типового расчета - student2.ru аналитическая всюду, кроме точек примеры выполнения типового расчета - student2.ru , примеры выполнения типового расчета - student2.ru и примеры выполнения типового расчета - student2.ru , примеры выполнения типового расчета - student2.ru , то она может быть разложена в ряд Лорана по степеням примеры выполнения типового расчета - student2.ru в следующих областях:

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Разложим на простые дроби:

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Если примеры выполнения типового расчета - student2.ru , то

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Если примеры выполнения типового расчета - student2.ru , то

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Если примеры выполнения типового расчета - student2.ru , то

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Если примеры выполнения типового расчета - student2.ru , то

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Тогда в области примеры выполнения типового расчета - student2.ru : примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

В области примеры выполнения типового расчета - student2.ru : примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

В области примеры выполнения типового расчета - student2.ru : примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

Задача 2.10. Данную функцию разложить в ряд Лорана в окрестности точки примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

1. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

2. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Решение.1. Функция примеры выполнения типового расчета - student2.ru имеет одну особую точку примеры выполнения типового расчета - student2.ru , т.е. она является аналитической в области примеры выполнения типового расчета - student2.ru . В этой области запишем ее разложение в ряд Лорана, используя разложение функции примеры выполнения типового расчета - student2.ru :

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Тогда

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

2. Функция имеет одну особую точку примеры выполнения типового расчета - student2.ru , т.е. она является аналитической в области примеры выполнения типового расчета - student2.ru . В этой области запишем ее разложение в ряд Лорана, используя разложение функции примеры выполнения типового расчета - student2.ru :

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Тогда

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Задача 2.11. Определить тип особой точки данной функции

1. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

2. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Решение

примеры выполнения типового расчета - student2.ru ,т.е точка примеры выполнения типового расчета - student2.ru не является нулем числителя

примеры выполнения типового расчета - student2.ru т.е точка примеры выполнения типового расчета - student2.ru является нулем 4-го порядка

2. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

т.е. примеры выполнения типового расчета - student2.ru есть нуль 5-го порядка числителя

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

т.е. примеры выполнения типового расчета - student2.ru есть нуль 2-го порядка знаменателя. Это означает, что примеры выполнения типового расчета - student2.ru имеет в точке примеры выполнения типового расчета - student2.ru нуль 3-го порядка, т.е. примеры выполнения типового расчета - student2.ru есть устранимая особая точка функции.

Задача 2.12. Для заданной функции найти изолированные особые точки и определить их тип:

1. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

2. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Решение 1.

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

т.е. примеры выполнения типового расчета - student2.ru есть нуль 3-го порядка числителя.

Одновременно примеры выполнения типового расчета - student2.ru есть нуль 2-го порядка для знаменателя. Это означает, что примеры выполнения типового расчета - student2.ru есть нуль 1-го порядка примеры выполнения типового расчета - student2.ru , т. е. примеры выполнения типового расчета - student2.ru есть устранимая особая точка функции примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

примеры выполнения типового расчета - student2.ru , т.е. примеры выполнения типового расчета - student2.ru есть полюсы 1-го порядка примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

2. примеры выполнения типового расчета - student2.ru есть существенно особая точка функции примеры выполнения типового расчета - student2.ru , т. к. не существует предела примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

т. е. примеры выполнения типового расчета - student2.ru есть устранимая особая точка функции примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

т. е. примеры выполнения типового расчета - student2.ru есть устранимая особая точка функции примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

примеры выполнения типового расчета - student2.ru есть полюсы 1-го порядка примеры выполнения типового расчета - student2.ru , т. к. они являются нулями 1-го порядка знаменателя и не являются нулями числителя.

Задача 2.13. Вычислить интегралы:

1. примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

2. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Решение.

1. Внутри контура примеры выполнения типового расчета - student2.ru примеры выполнения типового расчета - student2.ru имеет особые точки:

примеры выполнения типового расчета - student2.ru - устранимая особая точка, т.к. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Вычет примеры выполнения типового расчета - student2.ru в точке примеры выполнения типового расчета - student2.ru равен 0.

примеры выполнения типового расчета - student2.ru - полюс 1-го порядка.

Вычет примеры выполнения типового расчета - student2.ru в точке примеры выполнения типового расчета - student2.ru равен

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Тогда по основной теореме о вычетах

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

2. Внутри контура примеры выполнения типового расчета - student2.ru примеры выполнения типового расчета - student2.ru имеет особую точку примеры выполнения типового расчета - student2.ru - полюс 1-го порядка

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Тогда

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Задача 2.14. Вычислить интегралы:

1. примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

2. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Решение. 1. Внутри контура примеры выполнения типового расчета - student2.ru примеры выполнения типового расчета - student2.ru имеет полюс 5-го порядка в точке примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Тогда примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

2. Внутри контура примеры выполнения типового расчета - student2.ru примеры выполнения типового расчета - student2.ru имеет существенно особую точку примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

т.е. ряд Лорана имеет бесконечное число членов в главной части разложения.

Из разложения следует примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Тогда примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Задача 2.15. Вычислить интегралы:

1. примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

2. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Решение. 1. Внутри контура примеры выполнения типового расчета - student2.ru примеры выполнения типового расчета - student2.ru имеет полюс 1-го порядка в точке примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Тогда примеры выполнения типового расчета - student2.ru

2. Внутри контура примеры выполнения типового расчета - student2.ru примеры выполнения типового расчета - student2.ru имеет полюс 1-го порядка в точке примеры выполнения типового расчета - student2.ru , т. к.

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Тогда примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

Задача 2.16. Вычислить интегралы:

1. примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

2. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Решение. 1. Внутри контура примеры выполнения типового расчета - student2.ru функция примеры выполнения типового расчета - student2.ru имеет существенно особую точку примеры выполнения типового расчета - student2.ru ,т. к. примеры выполнения типового расчета - student2.ru не существует, функция примеры выполнения типового расчета - student2.ru имеет полюс 2-го порядка в точке примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

Найдем вычеты функций в этих точках:

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Тогда примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

2. Внутри контура функция примеры выполнения типового расчета - student2.ru имеет полюс 1-го порядка в точке примеры выполнения типового расчета - student2.ru , т.к. примеры выполнения типового расчета - student2.ru при примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

примеры выполнения типового расчета - student2.ru имеет полюс 2-го порядка в точке примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

Найдем вычеты функций в этих точках:

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Тогда

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Задача 2.17. Вычислить интегралы:

1. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

2. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Решение. 1. Рассмотрим интеграл вида

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Пусть примеры выполнения типового расчета - student2.ru , тогда примеры выполнения типового расчета - student2.ru

При изменении примеры выполнения типового расчета - student2.ru от примеры выполнения типового расчета - student2.ru до примеры выполнения типового расчета - student2.ru переменная примеры выполнения типового расчета - student2.ru пробегает окружность примеры выполнения типового расчета - student2.ru в положительном направлении, и исходный интеграл сведется к интегралу по замкнутому контуру примеры выполнения типового расчета - student2.ru , т.е.

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Корни уравнения примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Внутри контура примеры выполнения типового расчета - student2.ru лежит лишь одна точка примеры выполнения типового расчета - student2.ru являющаяся полюсом 1-го порядка

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Тогда примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Применяя полученный результат к конкретным интегралам, будем иметь:

1. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

2. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Задача 2.18. Вычислить интегралы:

1. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

2. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Решение. Рассмотрим интеграл вида

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Пусть примеры выполнения типового расчета - student2.ru , тогда примеры выполнения типового расчета - student2.ru

При изменении примеры выполнения типового расчета - student2.ru от примеры выполнения типового расчета - student2.ru до примеры выполнения типового расчета - student2.ru переменная примеры выполнения типового расчета - student2.ru пробегает окружность примеры выполнения типового расчета - student2.ru в положительном направлении, и исходный интеграл сведется к интегралу по замкнутому контуру примеры выполнения типового расчета - student2.ru , т.е.

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Корни уравнения примеры выполнения типового расчета - student2.ru , примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Внутри контура лежит лишь одна точка примеры выполнения типового расчета - student2.ru , являющаяся полюсом 2-го порядка

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Тогда примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Применяя полученный результат к нашей задаче, будем иметь

1. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

2. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Задача 2.19. Вычислить интегралы:

1. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

2. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Решение. 1. Функция примеры выполнения типового расчета - student2.ru совпадает с функцией примеры выполнения типового расчета - student2.ru на оси ОХ и имеет в верхней полуплоскости полюс 2-го порядка в точке примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Тогда примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

2. Функция примеры выполнения типового расчета - student2.ru совпадает с функцией примеры выполнения типового расчета - student2.ru на оси ОХ и имеет в верхней полуплоскости две особые точки: полюс 2-го порядка в точке примеры выполнения типового расчета - student2.ru и полюс 1-го порядка в точке примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Тогда примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

Задача 2.20. Вычислить интегралы:

1. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

2. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Решение. 1. Рассмотрим функцию примеры выполнения типового расчета - student2.ru , которая имеет в верхней полуплоскости в точках примеры выполнения типового расчета - student2.ru и примеры выполнения типового расчета - student2.ru полюсы 1-го порядка.

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Тогда примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

2. Рассмотрим функцию примеры выполнения типового расчета - student2.ru , которая имеет в верхней полуплоскости полюс 2-го порядка в точке примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Тогда примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

Задача 2.21. Выяснить, во что преобразуется геометрическая фигура при отображении с помощью функции примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

1. примеры выполнения типового расчета - student2.ru , полуплоскость примеры выполнения типового расчета - student2.ru

2. примеры выполнения типового расчета - student2.ru , полоса примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Решение. 1. Дробно-линейное отображение строим по 3-м парам точек и направлению обхода.

Например, примеры выполнения типового расчета - student2.ru - точка на единичной окружности;

примеры выполнения типового расчета - student2.ru - точка на единичной окружности

примеры выполнения типового расчета - student2.ru - точка на единичной окружности.

Таким образом, полуплоскость преобразуется во внешнюю область единичного круга (см. рис 2.7)

2. примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Рассматриваемое отображение можно рассматривать как последовательные отображения:

примеры выполнения типового расчета - student2.ru – поворот на угол примеры выполнения типового расчета - student2.ru и расширение полосы вдвое;

примеры выполнения типового расчета - student2.ru – полученная полоса отображается на полуплоскость примеры выполнения типового расчета - student2.ru ;

примеры выполнения типового расчета - student2.ru – дробно-линейная функция отображает полуплоскость на внутренность единичного круга. (см. рис 2.8)

Задача 2.22. Найти круг сходимости степенного ряда и определить сходимость ряда на границе круга.

1. примеры выполнения типового расчета - student2.ru ; 2. примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

Решение 1. Запишем примеры выполнения типового расчета - student2.ru –й и примеры выполнения типового расчета - student2.ru –й члены ряда:

примеры выполнения типового расчета - student2.ru , примеры выполнения типового расчета - student2.ru

По признаку Даламбера примеры выполнения типового расчета - student2.ru . В нашем случае:

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Отсюда, ряд сходится в круге примеры выполнения типового расчета - student2.ru . При этом, ряд сходится абсолютно, если примеры выполнения типового расчета - student2.ru и равномерно, если примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

На границе круга примеры выполнения типового расчета - student2.ru имеем числовой ряд с действительными членами примеры выполнения типового расчета - student2.ru , который по признаку Лейбница сходится условно.

2. Запишем примеры выполнения типового расчета - student2.ru –й и примеры выполнения типового расчета - student2.ru –й члены ряда:

примеры выполнения типового расчета - student2.ru , примеры выполнения типового расчета - student2.ru

По признаку Даламбера

примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

Отсюда, ряд сходится в круге примеры выполнения типового расчета - student2.ru . При этом, ряд сходится абсолютно, если примеры выполнения типового расчета - student2.ru и равномерно, если примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

На границе круга примеры выполнения типового расчета - student2.ru имеем числовой ряд с действительными членами примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

Ряд примеры выполнения типового расчета - student2.ru сравним с гармоническим рядом примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

примеры выполнения типового расчета - student2.ru

Ряд примеры выполнения типового расчета - student2.ru расходится, следовательно по признаку сравнения ряд примеры выполнения типового расчета - student2.ru тоже расходится. Следовательно, исходных ряд на границе круга примеры выполнения типового расчета - student2.ru расходится.

Домашнее задание по ТФКП.

1. Найти все значения корня комплексного числа и изобразить их на комплексной плоскости.

2. Представить комплексное число в алгебраической форме.

3. Представить комплексное число в алгебраической форме.

4. Определить область, заданную неравенствами. Сделать чертеж.

5. Определить вид кривой.

6. Восстановить функцию примеры выполнения типового расчета - student2.ru , аналитическую в окрестности точки примеры выполнения типового расчета - student2.ru , по известной действительной части примеры выполнения типового расчета - student2.ru или мнимой части примеры выполнения типового расчета - student2.ru и значению примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

7. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по заданной кривой, используя формулу Ньютона-Лейбница.

8. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по заданной кривой, сведя интеграл к криволинейным интегралам от функции действительного переменного.

9. Найти все разложения функции примеры выполнения типового расчета - student2.ru в ряд Лорана по степеням примеры выполнения типового расчета - student2.ru .(дробно-рациональная функция)

10. Найти все разложения функции примеры выполнения типового расчета - student2.ru в ряд Лорана по степеням примеры выполнения типового расчета - student2.ru .(дробно-рациональная функция)

11. Найти все разложения функции в ряд Лорана в окрестности точки примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

12. Определить тип особой точки примеры выполнения типового расчета - student2.ru для данной функции.

13. Для данной функции найти изолированные особые точки и определить их тип.

14. Вычислить интеграл, используя теорему о вычетах.

15. Вычислить интеграл.

16. Вычислить интеграл.

17. Вычислить интеграл.

18. Вычислить интеграл.

19. Вычислить интеграл.

20. Определить, во что превращается фигура при отображении функции примеры выполнения типового расчета - student2.ru .

21. Определить круг сходимости степенного ряда и оценить сходимость ряда на границе круга сходимости.

Наши рекомендации