Жай итерацияның графикалық мағынасы

Енді процесстің геометриялық мағынасын қарастырамыз. (8.1) теңдікті шешкенде қисығы мен түзуінің қиылысу нүктесі ізделінеді. қисығы 8.1а – суретте көрсетілгендей түрде болсын . Бастапқыда қандай-да бір алғашқы жуық -мәнін береміз. Сонда болады. болғандықтан, мәнін былай табуға болады: нүктесі арқылы горизонталь

бағытта түзіуімен нүктесінде қиылысқанша түзу жүргіземіз. Содан кейін нүктесінің деп функциясының ординатасы табамыз. Міне, осылай итерацияны берілген дәлдікке жеткенше жалғастырамыз. Суреттен тізбегінің нүктесіне жинақталатыны байқалады. жағдайы 8.1б – суретте көрсетілген. Бұл жағдайда жуық мәндер тізбегі нүктесіне жинақталатыны байқалады. Бірақ, мұнда келесі жуықтау мен алдыңғы жуықтау нүктесінің қарама-қарсы жағында болады. Ал функцияның туындысы 1-ден үлкен (8.1в) және –1-ден кіші (8.1г) жағдайларда бұл әдіс жинақсыз екені көрініп тұр.

Мысал теңдеуінің түбірінің жуық мәнін жай итерация әдісімен дәлдікпен есептейміз.

Шешуі: F(1)=-18<0, F(3)=10>0 Þ функциясы [1;3] кесіндісінің ұштарында қарама-қарсы таңбалы мәндер қабылдайды. Теңдеуді әртүрлі әдіспен түріне келтіруге болады.

1)

яғни жай итерация әдісі қолдануға жарамайды.

1)

жай итерация әдісі қолдануға жарамайды.

2)

жай итерацияны қолдануға болады.

Теңдеуді жай итерациялық әдісті пайдалануға ыңғайлы түрге келтірудің кейбір тәсілдерін келтірейік.

1-тәсіл. теңдеуін қандай да бір жолмен түріне келтірілген және мұндағы болсын. Онда функциясына кері функиясын қарастырамыз. Мұнда у пен х-тің орындарын алмастырсақ функциясы үшін:

2-тәсіл. теңдеуі түріне түрлендіріледі, мұндағы -нольге тең емес константа. Дифференциялдасақ: .

болуы үшін -ді . теңсіздігі орындалатындай етіп таңдау жеткілікті.

Билет №10

Гаусс әдістері

Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін шешу әдістерін екі топқа бөлуге болады: тура әдістер және итерациялық әдістер.

Тура әдістерберілген жүйенің шешімін ақырлы санды арифметикалық амалдардан кейін алуға мүмкіндік берумен сипатталады. Егер барлық амалдар дәл орындалса (дөңгелектеусіз) онда жүйенің шешімі де дәл болады. Тура әдіске жаттындар: Гаусс әдісі және оның әртүрлі өзгертілген түрлері (модификациялары), Крамер әдісі, ортогоналдау әдісі.

Итерациялық әдістер жуық әдіске жатады. Олар жүйенің шешімін біртекті схема бойынша есептелген тізбектелген жуықтаулардың шегі ретінде береді. Итерациялық әдістерге жататындар: Жай итерация әдісі, Зейдель әдісі, градиенттік әдістер және олардың өзгертілген түрлері.

Холецкий әдісі

(10.1)

Матрицалық түрде жазылған сызықты теңдеулер жүйесін қарастырайық, мұндағы - квадратты матрица және

, - вектор бағаналар.

матрицасын көбейтіндісі түрінде өрнектейтін, мұндағы

= , =

Олай болса және элементтерін төмендегі формула бойынша анықтауға болады:

(10.2)

және (10.3)

Онда ізделінді векторын

(10.4)

теңдеулер тізбегінен есептеуге болады.

Ал және матрицалары үшбұрышты болғандықтан, (10.4) жүйелерді шешу қиынға соқпайды:

(10.5)

және (10.6)

(10.5) формуладан сандарын коэффиценттерімен бірге есептеу тиімді екенін көреміз. Мұндай есептеу схемасы Халецкий схемасы деп атлады. Схемада әдеттегідей қосып отыру арқылы бақылау жүргізуге болады.

Билет №11

Гаусс әдісі

Гаусс әдісі. Бұл әдістің негізінде белгісіздерді біртіндеп (тізбектеп) жою идеясы жатыр. Оны жүзеге асыратын әртүрлі схемасы көрсетуге болады. Солардың бірі – бір рет болу схемасы (схема единственного деления). Түсінікті болу үшін төрт белгісізді төрт теңдеуден тұратын жүйені алайық:

(9.1)

! (басты элемент). (9.1) жүйенің бірінші теңдеуін -ге бөлеміз:

(9.2)

мұндағы .

(9.2) теңдеудің көмегімен (9.1) жүйедегі екінші, үшінші және төртінші теңдеулерден белгісізін жоюға болады. Ол үшін (9.2) теңдеуді -ге, -ге және -ге көбейтіп, нәтижесін сәйкес түрде 2-ші, 3-ші және 4-ші теңдеуден алып тастау керек:

(9.3)

мұндағы коэффиценттері келесі формуламен есептеледі:

(9.4)

Одан кейін (9.3) жүйенің 1-ші теңдеуін -ге бөлеміз:

(9.5)

мұндағы (j= ).

ді жойғанға ұқсас ні жоямыз:

(9.6)

мұндағы (9.7)

Енді (9.6) жүйенің 1-ші теңдеуін -ге бөлеміз:

(9.8)

мұндағы (j=4,5). Бұл теңдеудің көмегімен (9.6) жүйенің 2-ші теңдеуінен ті жоямыз:

мұндағы (j=4,5). (9.9)

нәтижесінде (9.1) жүйені оған эквивалентті үшбұрышты матрицаны жүйеге келтіреміз:

(9.10)

және тізбектеп белгісіздерді табамыз: