Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнение Бернулли.

Так называется уравнение

Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru . (15)

где Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru (при m = 0 уравнение линейно, при m = 1 - с разделяющимися переменными). Это уравнение решается одним из следующих способов:
Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru 1. Уравнение Бернулли сводится к линейному подстановкой z = y1-m (при m>1 может быть потеряно решение y = 0). Действительно, Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru , Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru ; после деления уравнения (15) на ym получим Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru , или Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru - линейное уравнение.
Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru Пример: Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru (уравнение Бернулли, m = 2). Подстановка Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru . Решаем полученное линейное уравнение: Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru .
Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru 2. Можно сразу решать уравнение Бернулли методом, которым решаются линейные уравнения, т.е. заменой y(x) = u(x) v(x): Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru из этого выражения находим u(x), и y(x) = u(x) v(x).
Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru Пример: решить задачу Коши Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru Как и в предыдущем примере, это уравнение не попадает ни под один из рассмотренных типов: оно не является ни уравнением с разделяющимися переменными (наличие суммы x2 + y), ни уравнением с однородной правой частью (слагаемые разных порядков - первого и второго в этой сумме), ни линейным, ни Бернулли (другая структура). Попробуем опять представим это уравнение как уравнение относительно x = x(y): Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru Это уже уравнение Бернулли с m = -1. Начальное условие примет вид x(1) = 2. Решаем уравнение: Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru . Тогда Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru . Это общее решение уравнения (утерянное решение y = 0 не удовлетворяет начальному условию). Ищем частное решение, удовлетворяющее начальному условию: Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru ; решение задачи Коши: Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru .
Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru 9. Уравнение в полных дифференциалах. Так называется уравнение вида

Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0. (16)

(P(x, y), Q(x, y) - непрерывно дифференцируемы) в случае, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), т.е. если существует такая функция u(x, y), что Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru . Необходимым и достаточным условием существования такой функции является условие Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru . Если (16) - уравнение в полных дифференциалах, то его правая часть равна Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru , т.е. (16) принимает вид du(x, y) = 0. На решении y(x) получим du(x, y(x)) = 0, следовательно, u(x, y(x)) = C, где C - произвольная постоянная. Соотношение u(x, y) = C и есть общее решение уравнения в полных дифференциалах.
Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru Для нахождения функции u(x, y) решается система уравнений Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru Из первого уравнения этой системы находим Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru с точностью до произвольной дифференцируемой по y функции Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru (эта функция играет роль постоянной интегрирования; так как интегрирование ведётся по переменной x); затем из второго уравнения определяется Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru .
Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru Пример: найти общее решение уравнения Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru . Убедимся, что это - уравнение в полных дифференциалах. Здесь Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru ; Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru , т.е. это действительно уравнение рассматриваемого типа. Ищем функцию u(x, y) такую, что Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru Из первого уравнения Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru . Дифференцируем эту функцию по y и приравниваем выражению, стоящему во втором уравнении системы: Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru . Если мы правильно решаем это уравнение (т.е. правильно определили его тип и правильно выполнили предыдущие действия), то в полученном уравнении для Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru должны остаться только члены, зависящие от y. Действительно, представляя Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru как Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru , получим Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru . Следовательно, Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru , и общее решение уравнения имеет вид Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Однородное уравнение.

Линейное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами p и q без правой части имеют вид y’’+py’+qy=0 (1).

Если Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru - корни характеристического уравнения Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru (2), то общее решение уравнения (1) записывается в одном из следующих трех видов:

1) Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru , если Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru

2) Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru , если Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru

3) Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru , если Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru

Неоднородное уравнение

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y’’+py’+qy=f(x) (3)можно записать в виде суммы Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru , где Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru - общее решение соответствующего уравнения (1) без правой части, определяемое по формулам (1)-(3), и Y – частное решение данного уравнения (3).

Функция Y может быть найдена методом неопределенных коэффициентов в следующих простейших случаях:

1 Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru , где Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru - многочлен степени n. Если a не является корнем характеристического уравнения (2), т.е. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru , то полагают Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru , где Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru - многочлен степени nс неопределенными коэффициентами.

Если а есть корень характеристического уравнения (2), т.е. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru , то Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru , где r – кратность корня а (r=1 или r=2)

2. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru . Если Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru , то полагают Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru , где Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru - многочлены степени N=max{n,m}.

Если же Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru то полагают Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru , где Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru - многочлены степени N=max{n,m}, r – кратность корней Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru (для уравнений 2-го порядка r=1).

В общем случае для решения уравнения (3) применяется метод вариации произвольных постоянных.

Этот метод применяется для отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения n-го порядка как с переменными, так и с постоянными коэффициентами, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.

Метод вариации для уравнения второго порядка y’’+py’+qy=f(x)заключается в следующем. Пусть известна фундаментальная система решений Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru . Тогда общее решение неоднородного уравнения следует искать в виде Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru , где функции Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru определяются из системы уравнений Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru Решение этой системы находим по формулам Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru в силу чего y(x) можно сразу определить по формуле Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru здесь Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru - вронскиан решений Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru

Рассмотрим решения линейных однородных и неоднородных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

1. Найти общее решение уравнения y’’-7y’+6y=0

Решение. Составим характеристическое уравнение Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru ; его корни Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru . Следовательно, Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru - частные линейно независимые решения, а общее решение имеет вид Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru

2. Найти общее решение уравнения y’’-2y’+y=0

Решение. Составим характеристическое уравнение Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru ; его корни Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru . Следовательно, Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru - частные линейно независимые решения, а общее решение имеет вид Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru

3. Найти общее решение уравнения y’’-4y’+13y=0

Решение. Составим характеристическое уравнение Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru ; его корни Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru . Корни характеристического уравнения комплексные сопряженные, а поэтому им соответствуют частные решения Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru , а общее решение имеет вид Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru

4. Найти общее решение уравнения y’’-2y’-3y= Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru

Решение. Составим характеристическое уравнение Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru ; его корни Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru . Следовательно, Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru - частные линейно независимые решения, а общее решение однородного уравнения имеет вид Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru . Частное решение исходного уравнения следует искать в виде Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru (так как в правой части отсутствует синус и косинус, коэффициентом при показательной функции служит многочлен нулевой степени, т. е. m=n=0 и r=0, поскольку Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru не является корнем характеристического уравнения).

Итак Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru

_______________________

Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru Следовательно, общее решение данного уравнения Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru

5. Найти общее решение уравнения y’’+y=3sinx

Решение. Характеристическое уравнение Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru имеет корни Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru , а поэтому общее решение однородного уравнения Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru . Частное решение следует искать в виде Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru (в данном случае Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru так как i является простым корнем характеристического уравнения, то m=n=0 и r=1, имеем

Итак Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru

_______________________

Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru Следовательно, общее решение данного уравнения Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru

6. Найти общее решение уравнения y’’+y=tgx

Решение. Характеристическое уравнение Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru имеет корни Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru , а поэтому общее решение однородного уравнения Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru . Частное решение исходного уравнения методом неопределенных коэффициентов искать нельзя (функция f(x), в отличие от предыдущего имеет другую структуру), а поэтому воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Будем искать решение уравнения в виде Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru , где функции Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru нужно искать из системы уравнений Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru

Таким образом, общее решение исходного уравнения Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. - student2.ru

Наши рекомендации