Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу

1. Функцияның анықталу облысын табу.

2. Функцияның графигінің координаттар өстерімен қиылысу нүктелерін табу және функцияның жұптығын анықтау.

3. Асимптоталарын табу. Функцияның ақырсыздықтағы жағдайын зерттеу.

4. Функцияның төңіректік экстремумын және монотондық интервалын табу.

5. Функцияның графигінің дөңестік интервалдарын және иілу нүктелерін табу.

6. Функцияның графигін сызу.

Бұл тақырыпқа есептер 2.3 пунктінде тәжірибе сабақта қарастырылады.

Әдебиеттер: 1 нег.[262-280], 11 қос. [404-421].

Бақылау сұрақтар:

1. Функцияның экстремум нүктелерінің анықтамасын келтіріңіз.

2. Функцияның экстремумын бірінші туынды арқылы табу.

3. Функцияның экстремумын екінші туынды арқылы табу

4. Иілу нүктесін табу.

5. Функцияның графигінің асимптотасын табу.

Дәріс.

Дәріс тақырыбы:Анықталмаған интеграл.

Дәріс жоспары:

§ Алғашқы функция.

§ Анықталмаған интеграл.

§ Анықталмаған интегралдың негізгі қасиеттері.

§ Анықталмаған интегралдың негізгі кестесі.

§ Интегралдаудың негізгі әдістері.

§ Әдебиеттер.

§ Бақылау сұрақтары.

Анықтама. Егер Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru аралығында берілген Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru функциясы үшін

Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru теңдігі орындалса, онда Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru функциясы Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru функциясының Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru аралығындағы алғашқы функциясы деп аталады. Басқаша айтқанда, берілген функцияның алғашқы функциясын табу – оның туындысын табуға кері есеп болып саналады.

Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru кез келген тұрақты шама (константа), яғни кез келген сан болсын. Егер Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru функциясының алғашқы функциясы Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru болса, онда Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru функциясы да оның алғашқы функциясы болады, себебі Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru функциясы Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru функциясының барлық алғашқы функцияларын анықтайды.

Анықтама. Егер Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru болса, онда Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru функциясын Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru функциясының анықталмаған интегралы дейді және ол Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru символымен белгіленеді.

Сонымен, Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru мұндағы Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru интеграл белгісі, Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru - Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru айнымалысының дифференциалы, Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru -интеграл астындағы өрнек. Берілген функцияның анықталмаған интегралын табу жолын осы функцияны интегралдау дейді.

Анықталмаған интегралдардың қасиеттері

  1. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru
  2. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru
  3. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru , мүндағы Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru кез келген сан.

4. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru

5. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru , мұндағы Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru - кез келген сан.

Практикада интегралдау үшін келесі интегралдар кестесін жатқа білген жөн.

Анықталмаған интегралдардың негізгі кестесі

  1. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . 2. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . 3. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . Дербес жағдайда, Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . 4. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . 5. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . 6. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . 7. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . 8. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . 9. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . 10. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru .   11. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . 12. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . 13. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . 14. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . 15. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . 16. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . 17. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . 18. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . 19. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru .  

Кестедегі кез келген интегралды тексеру үшін теңдіктің оң жағынан туынды алу керек. Интегралдаудың негізгі әдістері

1. Анықталмаған интегралда айнымалыларды алмастыру.Айнымалыны алмастыру әдісі мына формулаға негізделген

Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru

Мұндағы Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru - берілген аралықта дифференциалданатын функция. Тиімді табылған айнымалыны алмастыру формуласы берілген интегралды жеңіл интегралдайтын интегралға, ал кейбір жағдайларда таблицалық интегралға келтіреді.

1- мысал. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru интегралын табу керек.

Ол үшін Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru алмастыруын жасаймыз. Сонда Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru болады.

Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru

= Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru .

Мұнда интегралдаудың соңында бастапқы Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru - айнымалысына көшу керек.

Дифференциал астына енгізу әдісі. Бұл әдіс айнымалыны ауыстыру сияқты жиі қолданылады. Интеграл астындағы функцияның көбейткіштерінің біреуін белгісінің астына жазамыз да, оны жаңа айнымалы ретінде қарастырамыз. Еске сала кетейік, функциясын таңбасының астына жазғанда таңбасынан кейін функцияның алғашқы функциясы жазылады, яғни .

Салдар. Айталық Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru үзіліссіз және Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru үзіліссіз дифференциалданатын функциялар болсын, онда

Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru

2-мысал. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . Бұл формулада Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru таңбасының астына Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru функциясын енгізіп Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru деп жаздық. Модуль таңбасын қолданбаса да болады, себебі интеграл астындағы функция тек Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru болғанда анықталады. Дифференциал таңбасы астында кез келген функцияның алғашқы функциясына тұрақтыны қосып пайдалануға болады.

3- мысал. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru .

3. Бөліктеп интегралдау әдісі.Айталық, Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru , Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru -дифференциалданатын функциялар болсын. Онда Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru теңдігі орындалады. Немесе Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . Осы теңдіктің екі жағынан интеграл алайық, сонда Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . Осыдан

Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru

формуласын аламыз. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru формуласын бөліктеп интегралдау формуласы дейді. Кейбір жағдайда бөліктеп интегралдау формуласын қолдану арқылы берілген интегралды алғашқыға қарағанда анағұрлым жеңіл алынатын интегралға келтіруге болады.

4- мысал. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru

5 - мысал. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru .

Әдебиеттер: 1 нег.[357-374], 11 қос. [458-467].

Бақылау сұрақтар:

1. Алғашқы функцияның анықтамасын беріңіз.

2. Анықталмаған интегралдың анықтамасын беріңіз.

3. Анықталмаған интерал кестесі.

4. Анықталмаған интегралда айнымалыны алмастыру.

5. Бөліктеп интегралдау формуласын жазыңыз.

Дәріс.

Дәріс тақырыбы:Кейбір функцияларды интегралдау

Дәріс жоспары:

· Квадрат үшмүшелігі бар функцияларды интегралдау.

· Рационал функцияларды интегралдау.

· Қарапайым бөлшектерді интегралдау.

· Кейбір иррационал функцияларды интегралдау.

· Тригонометриялық функцияларды интегралдау.

· Әдебиеттер.

· Бақылау сұрақтары.

Мына төмендегі интегралдарды табу әдісін қарастырайық Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru және Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru .

Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru ) Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru квадрат үшмүшелігіндегі Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru коэффициентін жақша алдына шығарып, одан толық квадратты бөліп аламыз;

Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru ) интегралға Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru , Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru алмастыруын енгіземіз;

Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru ) Оны екі интегралдың қосындысы етіп жазамыз. Сонда екі интегралымыз да кестелік интегралға келеді.

1- мысал. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru

Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru

Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru .

Рационал функцияларды интегралдау.Рационал бөлшекті интегралдау деп, Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru интегралын табуды айтады. Мұндағы Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru дұрыс рационал бөлшек, яғни Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . Егер Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru болса, Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru дұрыс бөлшек деп, ал Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru болса бұрыс бөлшек деп аталады. Бұрыс бөлшекті интегралдау үшін алдымен алымын бөліміне бөлу арқылы оны көпмүшелік пен дұрыс бөлшектің қосындысына жіктейміз. Мысалы, Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru Одан әрі қарай тек дұрыс рационал бөлшектерді интегралдауды қарастырамыз.

Теорема.Әрбір дұрыс рационал бөлшектімына қарапайым бөлшектердің қосындысы түрінде жазуға болады:

1. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru 2. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru 3. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru 4. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru , мұндағы А, В - нақтыкоэффициенттер; Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru үшмүшелігінің нақты түбірлері жоқ (яғни Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru ).

Қарапайым бөлшектерді интегралдауды қарастырайық.

Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru .

Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru мәнінде Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru .

Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru интегралдау әдісі жоғарыда қарастырылған.

Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru , мұндағы Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru және бөліміндегі квадрат үшмүшеліктің дискриминанты Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . Квадрат үшмүшеліктен толық квадрат бөліп алып Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru , Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru , алмастыруын жасаймыз. Сонда Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru интегралын аламыз және оны екі интегралдардың қосындысы түрінде жазамыз. Бірінші интерал Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru -ны дифференциал астына енгізу арқылы интегралданады:

Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru .

Ал екінші интегралды Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru деп белгілеп, төменгідей есептейміз:

Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru

Бұл формуланы реккуренттік формула деп атайды. Реккуренттік формула арқылы Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru ні Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru арқылы, ал Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru ті Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru арқылы таба отырып, ең соңында Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru ны Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru арқылы табамыз.

2- мысал. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru табу керек. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru осыдан Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru , Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . Сонымен Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru бөлшегінде Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru болсын. Әрбір Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru көпмүшелігін бірінші және екінші дәрежелі көпмүшеліктердің көбейтіндісіне жіктеп жазуға болады: Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru ,

мұндағы Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru бүтін сандар. Сонда дұрыс бөлшек элементар бөлшектерге төменгідей жіктелінеді :

Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru

Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru

мұндағы Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru нақты сандар. Осы сандарды табу үшін Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru теңдігінің оң жағын ортақ бөлімге келтіреміз. Содан соң теңдіктегі екі бөлшектің бөлімін алып тастасақ, екі жағында да көпмүшелік шығады. Осы теңдіктен бірдей дәрежелі Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru тің алдындағы коэффиценттерді теңестіре отырып, алгебралық теңдеулер жүйесін құрамыз. Алынған теңдеулер жүйесінен Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru коэффиценттерінің мәндерін тауып, оларды Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru теңдігіне қоямыз. Осылай рационал бөлшектің жіктеуін табамыз. Осы әдісті анықталмаған коэффициенттер әдісі дейді.

3-мысал. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru интегралын есептеу керек. Интеграл астындағы функция бұрыс рационал бөлшек, сондықтан алымын бөліміне бөліп дұрыс бөлшекке айналдырамыз: Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru Соңғы қосылғышты қарапайым бөлшектерге жіктейміз: Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru

Бұдан, Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru : Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru ; Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru : Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru ; Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru : Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru , Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru , Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . Демек, Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . Сонымен, Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru

Кейбір иррационал функцияларды интегралдау.Иррационал функцияларды интегралдауда айнымалыны алмастыру арқылы рационал функцияның интегралына келуге болатын кейбір жағдайларды қарастырамыз. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru түріндегі интегралдар Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru алмастыруы арқылы рационал функцияның интегралына келеді.

4- мысал. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru интегралын табайық. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru -тің дәрежесіндегі бөлшектердің ортақ бөлімі Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru , олай болса берілген интегралды алу үшін Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru ауыстыруын жасаймыз.

Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru

Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru .

Қарастырылған интеграл Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru түріндегі интегралдың дербес түрі

болады. Мұнда Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . Осы интегралды Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru алмастыруы арқылы рационал функцияның интегралына келтіруге болады.

Тригонометриялық функцияларды интегралдау.Бұл пунктте біз Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru интегралын табуды қарастырамыз. Берілген интеграл Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru әмбебап алмастыруы арқылы рационал функцияның интегралына келтіріледі. Шынында да

Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru , Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru , Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru , Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru

Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru , мұндағы Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru - рационал функция.

5- мысал. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru .

Бұл әдісті көрсетілген кез келген интегралға қолдануға болады, ал Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru немесе Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru айнымалыларының дәрежесі бірден жоғары болса қолайсыз үлкен өрнектер шығады. Ондай жағдайларда келесі әдістерді қолдану керек.

Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru түріндегі интеграл.

а) Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru бүтін оң тақ сан болса, интеграл Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru түріне келтіріліп, Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru алмастырылуы жасалынады.

б) Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru бүтін оң тақ сан болса, интеграл Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru түріне келтіріліп, Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru алмастырылуы жасалынады.

6- мысал. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru

Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru .

в) Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru бүтін теріс емес жұп сан болса, Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru формулалары арқылы Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru пен Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru тің реттері төмендетіледі.

Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru . Мына Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru , мұндағы m, n – тұрақты сандар, түріндегі интегралды алу үшін тригонометрияның формулаларын:

Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу - student2.ru

қолдану және көбейтінділерді қосындыға жіктеу арқылы берілген интегралды алу қиынға түспейді.

Дәріс.

Дәріс тақырыбы:Анықталған интеграл

Дәріс жоспары:

Наши рекомендации