Обобщенное однородное уравнение.

Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.

Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru (3.1) или уравнение вида Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru (3.2)

Для того, чтобы в уравнении (3.1) разделить переменные, т.е. привести это уравнение к так называемому уравнению с разделенными переменными, произвести следующие действия: Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru ;

Теперь надо решить уравнение g(y)= 0. Если оно имеет вещественное решение y=a, то y=a тоже будет решением уравнения (3.1).

Уравнение (3.2) приводится к уравнению с разделенными переменными делением на произведение Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru :

Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru , что позволяет получить общий интеграл уравнения (3.2): Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru . (3.3)

Интегральные кривые (3.3) будут дополнены решениями Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru , если такие решения существуют.

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Определение 1. Уравнение 1-го порядка Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru называется однородным, если для его правой части при любых Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru справедливо соотношение Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru , называемое условием однородности функции двух переменных нулевого измерения.

Пример 1. Показать, что функция Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru - однородная нулевого измерения.

Решение. Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru ,

что и требовалось доказать.

Теорема. Любая функция Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru - однородна и, наоборот, любая однородная функция Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru нулевого измерения приводится к виду Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru .

Доказательство.Первое утверждение теоремы очевидно, т.к. Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru . Докажем второе утверждение. Положим Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru , тогда для однородной функции Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru , что и требовалось доказать.

Определение 2. Уравнение Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru (4.1) в котором M и N – однородные функции одной и той же степени, т.е. обладают свойством Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru при всех Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru , называется однородным. Очевидно, что это уравнение всегда может быть приведено к виду Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru (4.2) , хотя для его решения можно этого и не делать. Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены искомой функции y по формуле y=zx, где z(x) – новая искомая функция. Выполнив эту подстановку в уравнении (4.2), получим: Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru или Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru или Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru .

Интегрируя, получаем общий интеграл уравнения относительно функции z(x) Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru , который после повторной замены Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru дает общий интеграл исходного уравнения. Кроме того, если Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru - корни уравнения Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru , то функции Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru - решения однородного заданного уравнения. Если же Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru , то уравнение (4.2) принимает вид

Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru и становится уравнением с разделяющимися переменными. Его решениями являются полупрямые: Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru .

Замечание. Иногда целесообразно вместо указанной выше подстановки использовать подстановку x=zy.

Обобщенное однородное уравнение.

Уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 называется обобщенным однородным, если удается подобрать такое число k, что левая часть этого уравнения становится однородной функцией некоторой степени m относительно x, y, dx и dy при условии, что x считается величиной первого измерения, y – k‑го измерения, dx и dy – соответственно нулевого и (k-1)-го измерений. Например, таким будет уравнение Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru . (6.1) Действительно при сделанном предположении относительно измерений x, y, dx и dy члены левой части Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru и dy будут иметь соответственно измерения -2, 2k и k-1. Приравнивая их, получаем условие, которому должно удовлетворять искомое число k: -2 = 2k = k-1. Это условие выполняется при k = -1 (при таком k все члены левой части рассматриваемого уравнения будут иметь измерение -2). Следовательно, уравнение (6.1) является обобщенным однородным.

Обобщенное однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru , где z – новая неизвестная функция. Проинтегрируем указанным методом уравнение (6.1). Так как k = -1, то Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru , после чего получаем уравнение Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru .

Интегрируя его, находим Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru , откуда Обобщенное однородное уравнение. - student2.ru . Это общее решение уравнения (6.1).

Наши рекомендации