Методы теории катастроф

Проанализируем поведение машины Зимана для тех конкретных размеров, которые были указаны выше. Изменение размеров не внесет серьезных качественных отличий в поведение, – факт, в котором в зародыше содержится важная идея, развиваемая нами в полной мере позднее.

Первый шаг состоит в том, чтобы определить положение точки острия Р. В силу соображений симметрии эта точка лежит на оси (рисунок 1.26). Возьмем в качестве единицы длины диаметр диска, так что длины нерастянутых резинок равны 1, а расстояние ОА равно 2.

Снова по симметрии ясно, что когда точка В перемещается вдоль оси, всегда имеется положение равновесия, отвечающее .

Точка Р находится там, где равновесие меняется с устойчивого (локальный минимум энергии) на неустойчивое (локальный максимум).

Пусть и обозначают длины наших двух резинок в положении, когда диск повернут на угол , близкий к нулю, но необязательно равный нулю. По закону Гука энергия системы равна

,

где – модуль упругости резинок.

Рисунок 1.26 - К анализу работы машина Зимана

Далее,

,

и, беря разложение в ряд Тейлора, мы найдем, что

где обозначает функцию порядка 4.

Упрощая, получаем

(мы включили члены с в ). Следовательно,

.

Аналогично

.

Значит,

.

Мы можем пренебречь членом , если коэффициент при отличен от нуля. Но коэффициент при в нашем случае

положителен, если ,

отрицателен, если .

Изменение от минимума энергии к максимуму наблюдается там, где

или

.

Решения этого уравнения таковы:

ясно, что точка Р отвечает положительному значению , т. е.

Аналогичное рассуждение с заменой на позволяет определить положение верхнего клюва Р', для которого получаем

Можно определить и положение двух боковых клювов, но анализ в этом случае сложнее.

Проведем анализ поведения колеса вблизи точки Р. Член в энергии исчезает в точке Р.

В силу симметрии член с также отсутствует, так что мы должны обратиться к члену с . Далее мы работаем с рисунком б.

Пусть свободный конец В находится в точке относительно указанной на рисунке системы координат (оси взяты с направлениями, противоположными обычным, из соображений алгебраического удобства).

Формула для получается та же, что и раньше, только теперь мы работаем с точностью до и сохраняем члены с , а для имеем формулу

.

Беря разложение соответствующей функции энергии с точностью до членов пятого порядка, получаем выражение вида

.

Здесь – некоторые константы, точное значение которых не имеет большого значения; приблизительно они равны

, , , ,

В точке Р, где , мы имеем функцию вида . При получении качественных результатов для точки Р мы можем пренебречь членом .

Мы можем упростить выражение для функции энергии, отбросив член . Дальнейшие упрощения достигаются таким выбором единиц для физических величин, чтобы , устранением кубического члена при помощи замены

;

введением вместо и их подходящих скалярных кратных и соответственно (численно они оказываются равными примерно и ). Это приводит к следующему выражению для энергии: с некоторой постоянной с.

Так как нас интересуют только критические точки , мы можем без потери общности взять (или перенести начало отсчета значений энергии). В результате приходим к выражению вида

Этой формулой определяется то, что позже мы назовем катастрофой сборки.

Наш следующий шаг, на котором фактически и будет получена полезная информация, состоит в анализе критических точек .