Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы.

1. По матрице М можно однозначно восстановить конфигурацию соответствующей ей схемы, т.е. матрица содержит исчерпывающую информацию о направленном графе схемы замещения (в том числе и необходимую для составления матрицы N).

Матрица N в общем случае не содержит полной информации о конфигурации рассматриваемой схемы, так как разомкнутые части схемы в ней не отражаются.

2. Для разомкнутых сетей вместо первой матрицы соединений, или матрицы Т, может вводиться одномерный массив номеров узлов, которые являются началами ветвей, если номер ветви соответствует номеру узла, являющегося её концом.

Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru

Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru

Ветви

В общем случае, когда вводится информацию по ветвям, то для каждой ветви вводятся:

· номер узла начала ветви Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru ;

· номер узла конца ветви Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru .

Кроме того, вводится информация о параметрах элементов схемы замещения каждой ветви.

Номер узла начала Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru Номер узла конца Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru
       
       
           
           

Каждая строка соответствует отдельной ветви.

1.5.5 Обобщенное уравнение законов Кирхгофа. «Прямой» метод определения токораспределения.

Первый закон Кирхгофа в матричном виде записывается как:

Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru ,

причем после линеаризации (внешней итерации) это матричное уравнение линейно. С другой стороны, система линейных алгебраических уравнений в матричном виде записывается как:

Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru .

Решение в матричном виде можно записать как:

Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru (1.14)

Если считать, что вектор x – есть вектор (матрица-столбец) токов ветвей Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru , то возникает вопрос: нельзя ли воспользоваться уравнением только 1-го закона Кирхгофа, чтобы по информации о конфигурации сети и о токах в узлах найти токи ветвей? В общем случае этого сделать нельзя, т.к. первая матрица соединений М – прямоугольная матрица, а обращать можно только квадратные матрицы. Но есть частный случай — разомкнутые сети, для которых это сделать можно. Они представляют для нас интерес, поскольку распределительные сети промышленных предприятий городов и сельских районов, как правило, работают в разомкнутом режиме с целью ограничения токов короткого замыкания.

Особенности определения токораспределения в разомкнутых сетях: его можно выполнить просто, воспользовавшись матрицами М или Н.

Для разомкнутых сетей матрица М – квадратная, а, следовательно, её можно обратить, если определитель этой матрицы отличен от нуля.

Разомкнутые сети бывают радиальные (Рис 1.7) и магистральные (Рис 1.8).

Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru

Рис 1.7 Схема разомкнутой радиальной электрической сети

Для схемы рис. 1.7 в качестве базисного и балансирующего принимается узел с номером 0, т.е. узел, к которому подключен источник питания. Для данной схемы первая матрица соединений имеет вид:

Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru независимые узлы

ветви .

Поскольку она квадратная, её можно обратить и, представив нагрузки в узлах задающими токами, найти токи в ветвях согласно (1.14):

Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru .

В развернутом виде:

Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru .

Из схемы рис. 1.7 видно, что в результате получено действительное токораспределение, токи ветвей равны:

Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru

Знак минус перед задающими токами обусловлен тем, что все узлы —нагрузочные, и для них задающие токи равны токам нагрузки, взятым со знаком минус.

Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru

Рис. 1.8 Разомкнутая магистральная электрическая сеть

Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru

Рис. 1.9 Направленный граф для схемы рис 1.8

Для графа рис. 1.9 первая матрица соединений при условии, что в качестве базисного и балансирующего взят узел 0, к которому подключен источник питания, имеет вид:

Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru

Матрица, обратная матрице М, называется матрицей токораспределения С.

Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru .

Из 1-го закона Кирхгофа находим токораспределение:

Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru .

Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru (1.15)

Аналогично, пренебрегая потерями мощностей в ветвях, можно найти мощности ветвей по известным мощностям в узлах (приближенное потокораспределение):

Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru .

Токораспределение в разомкнутой сети можно найти также, воспользовавшись матрицей ребра – пути Н.

Для магистральной схемы рис. 1.8:

Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru -матрица токов ветвей;

Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru -матрица нагрузки в узлах.

Токораспределение в схеме находим как

Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru .

В развернутом виде

Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru

Сопоставим это выражение с выражением (1.15), они совпадают.

Нетрудно заметить, что если нагрузка задана во всех узлах, между матрицами Н и М соблюдается соотношение:

Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru .

Матрица-столбец контурных ЭДС
Второй закон Кирхгофа в матричном виде записывается в компактной форме так:

Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru

Матрица-столбец токов ветвей
Матрица соединений ветвей в независимые контуры

Найти из этого выражения токи ветвей также в общем случае нельзя, т.к. матрица Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru прямоугольная, поскольку её размерность определяется как Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru .

Для определения токораспределения в сети произвольной конфигурации вспомним о существовании клеточных матриц и образуем клеточную матрицу – столбец, состоящую из 2-х клеток. Первая клетка — это матрица соединений М, а вторая — произведение второй матрицы соединений на матрицу сопротивлений ветвей. Умножим справа эту матрицу на матрицу токов ветвей I. Произведение строк матрицы М на столбец матрицы токов ветвей дает согласно первому закону Кирхгофа задающие токи Ji в соответствующих узлах, а произведение строк матрицы Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru на столбец матрицы токов ветвей дает согласно второму закону Кирхгофа контурные ЭДС Еki. В результате произведение представляет собой клеточную матрицу – столбец, первый элемент которой — это матрица – столбец задающих токов, а второй — матрица столбец контурных ЭДС.

Независимые контуры
Независимые узлы
Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru (1.16)

Ветви

Матрица Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru - всегда квадратная, т.к. число строк в ней равно Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru - числу ветвей. Число столбцов тоже равно m, т.е. это квадратная матрица Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru порядка m, и, следовательно, её можно обратить и найти токораспределение в схеме согласно (1.14). В результате получаем обобщенное уравнение законов Кирхгофа, которое в компактной форме записи выглядит так:

Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru (1.17)

- это нелинейное уравнение, его вид не зависит от конфигурации сети и числа её элементов.

Недостатки обобщенного уравнения законов Кирхгофа и метода нахождения токораспределения, который основывается на этом уравнении:

1. Высокий порядок решаемого матричного уравнения, который определяется числом ветвей, что обуславливает громоздкость расчетов. Для замкнутых сетей произвольной конфигурации число ветвей больше числа узлов в среднем в полтора раза ( Рассмотрение двух матриц соединений позволяет сделать следующие выводы. - student2.ru ).

2. Трудности при автоматизированном формировании этого уравнения, вытекающие из сложности и неоднозначности выделения независимых контуров.

Поэтому на практике применяются методы, в которых порядок решаемых матричных уравнений ниже: метод узловых уравнений, метод контурных токов.

Наши рекомендации