Множення матриць

Множення матриць розглянемо, починаючи з відомого вже прикладу 3, при підрахунку грошових затрат на виконання робіт по проходці в шахті (метро, тунелі). Нехай в рядках матриці

Множення матриць - student2.ru

записані результати роботи за добу кожної із трьох змін: по виїмці породи (перший стовпець) і по кріпленню пройденої виробки (другий стовпець). Як вже згадувалось, при заданій площі поперечного перетину проходки результати робіт можуть вимірюватись в пройденних погонних метрах. Замовнику необхідно знати, яку суму грошей прийдеться виділяти на оплату праці робітників, а яку – на капітальні витрати. Існують норми розцінок на зарплату і капітальні витрати, які представимо у вигляді матриці розцінок

Множення матриць - student2.ru

де перший стовпець Множення матриць - student2.ru – норми оплати праці робітників: за 1 погонний метр по виїмці породи і за 1 погонний метр по кріпленню відповідно. Другий стовпець: Множення матриць - student2.ru – відповідні капітальні затрати за 1 погонний метр виїмки і за 1 погонний метр кріплення.

Загальні затрати на зарплату для кожної із змін дорівнюють сумі добутків пройдених кількостей метрів по обох видах робіт на відповідні норми розцінок. Позначимо через Множення матриць - student2.ru сумму грошей зароблену Множення матриць - student2.ru -ю зміною Множення матриць - student2.ru . Аналогічно підраховуються капітальні затрати Множення матриць - student2.ru для Множення матриць - student2.ru -ої зміни по виїмці і кріпленню.

Отримаємо таблицю затрат


Зміни Затрати на зарплату по виїмці і кріпленню Капітальні затрати по виїмці і кріпленню
І-а зміна Множення матриць - student2.ru Множення матриць - student2.ru
ІІ-а зміна Множення матриць - student2.ru Множення матриць - student2.ru
ІІІ-я зміна Множення матриць - student2.ru Множення матриць - student2.ru

Ці дані запишемо у вигляді нової матриці затрат Множення матриць - student2.ru , що отримана з матриць Множення матриць - student2.ru і Множення матриць - student2.ru за допомогою операції, яку називають множенням матриць, і позначають

Множення матриць - student2.ru

Для множення матриці Множення матриць - student2.ru розміру Множення матриць - student2.ru на матрицю Множення матриць - student2.ru розміру Множення матриць - student2.ru необхідна їх узгодженність, тобто, щоб число стовпців матриці Множення матриць - student2.ru (першого співмножника) збігалося з числом рядків матриці Множення матриць - student2.ru (другого співмножника). Так в наведеному прикладі матриця Множення матриць - student2.ru узгоджується з матрицею Множення матриць - student2.ru (для кожного виду робіт є норми розцінок). Однак матриця Множення матриць - student2.ru не є узгодженою з матрицею Множення матриць - student2.ru .

Означення 1. Добутком матриці Множення матриць - student2.ru розміру Множення матриць - student2.ru на матрицю Множення матриць - student2.ru розміру Множення матриць - student2.ru називається матриця Множення матриць - student2.ru розміру Множення матриць - student2.ru , елементи якої Множення матриць - student2.ru дорівнюють сумі добутків елементів Множення матриць - student2.ru -того рядка матриці Множення матриць - student2.ru на відповідні елементи Множення матриць - student2.ru -того стовпця матриці Множення матриць - student2.ru , тобто

Множення матриць - student2.ru .

Із структури елементів Множення матриць - student2.ru зрозуміло необхідність узгодженості матриць Множення матриць - student2.ru і Множення матриць - student2.ru : кожному елементу в Множення матриць - student2.ru -тому рядку матриці Множення матриць - student2.ru (першого співмножника) повинен відповідати елемент в Множення матриць - student2.ru -тому стовпці матриці Множення матриць - student2.ru (другого співмножника). Число рядків матриці Множення матриць - student2.ru дорівнює числу рядків першого співмножника, а число стовпців- числу стовпців другого співмножника.

Приклад 1. Знайти добуток матриць Множення матриць - student2.ru і Множення матриць - student2.ru , якщо Множення матриць - student2.ru , Множення матриць - student2.ru .

Розв’язання. Матриця Множення матриць - student2.ru має розмір 2х2, розмір матриці Множення матриць - student2.ru - 2х3. Число стовпців матриці Множення матриць - student2.ru дорівнює 2 і збігається з числом рядків матриці Множення матриць - student2.ru . Отже, матриці узгоджені, тому можна множити матрицю Множення матриць - student2.ru на матрицю Множення матриць - student2.ru . В результаті отримаємо матрицю Множення матриць - student2.ru розміром 2х3, тобто

Множення матриць - student2.ru

Множення матриць - student2.ru

Множення матриць - student2.ru .

Приклад 2. Переконатись, що для даних матриць

Множення матриць - student2.ru

Звернути увагу, що в даному випадку Множення матриць - student2.ru .

Приклад 3. Переконатись, що для даних матриць

Множення матриць - student2.ru

Множення матриць - student2.ru

Звернути увагу, що добуток двох ненульових матриць може давати нульову матрицю, і, крім того, Множення матриць - student2.ru .

Наши рекомендации