Методы расчета сложных цепей

Применение законов Кирхгофа для расчета разветвленных цепей

Продемонстрируем этот метод на примере схемы на рис.3.1. В этой схеме 6 ветвей, то есть 6 токов, поэтому необходимо составить для их определения 6 уравнений.

Методы расчета сложных цепей - student2.ru

Рис.3.1 Разветвленная цепь с несколькими источниками ЭДС

Для составления уравнений зададимся произвольно положительными направлениями токов.

Уравнения по первому закону Кирхгофа:

1ый узел: Методы расчета сложных цепей - student2.ru ; 75(3.1)

2ой узел: Методы расчета сложных цепей - student2.ru ; 76(3.2)

3ий узел: Методы расчета сложных цепей - student2.ru . 77(3.3)

Если просуммировать уравнения (3.1) ¸ (3.3), то получим:

Методы расчета сложных цепей - student2.ru ,

то есть уравнение для четвертого узла является избыточным, следовательно, по первому закону Кирхгофа составляем Y – 1 уравнений, где Y – число узлов схемы,

Остальные K = В - (Y - 1) уравнения составляем по второму закону Кирхгофа, где K – число независимых контуров, В – число ветвей. Направления обхода контуров – произвольны:

Методы расчета сложных цепей - student2.ru ; 78(3.4)

Методы расчета сложных цепей - student2.ru ; 79(3.5)

Методы расчета сложных цепей - student2.ru . 80(3.6)

Для уменьшения объема работ по расчету схемы применяют искусственные методы расчета.

Метод контурных токов

Этот метод применим для расчета любых цепей. Он базируется на уравнениях, составленных по второму закону Кирхгофа. В схеме выделяются независимые контуры, и в каждом контуре протекает свой так называемый контурный ток.

Произвольно выбираются направления контурных токов в независимых контурах (рис.3.1).

Методы расчета сложных цепей - student2.ru 81(3.7)

Используя матричный метод расчета, можем записать:

Методы расчета сложных цепей - student2.ru 82(3.8)

Собственное сопротивление контура – сумма соп­ротивлений, входящих в состав контура (для первого контура: R1 + R2 + R3).

Смежные сопротивления – сопротивления на границах контуров (R2 и R4 – для первого контура).

Методы расчета сложных цепей - student2.ru – сумма всех ЭДС контура:

Методы расчета сложных цепей - student2.ru – для первого уравнения (сокращенная запись формулы).

В ветвях, которые не граничат с другими контурами, реальные токи будут такими:

Методы расчета сложных цепей - student2.ru ; Методы расчета сложных цепей - student2.ru ; Методы расчета сложных цепей - student2.ru .

Токи ветвей, находящихся на границах контуров:

Методы расчета сложных цепей - student2.ru ; Методы расчета сложных цепей - student2.ru ; Методы расчета сложных цепей - student2.ru .

Метод узловых потенциалов

Метод базируется на первом законе Кирхгофа. Неизвестными для метода являются узловые потенциалы. Потенциал одного из узлов принимают равным нулю. Такое предположение допустимо, так как ток каждой ветви зависит не от абсолютных значений потенциалов узлов, а от разности потенциалов, приложенной к ветви.

Пусть потенциал узла «4» равен нулю (рис.3.1). Произвольно выберем направления токов в ветвях и составим уравнения для остальных узлов на основании первого закона Кирхгофа:

«1 узел»: Методы расчета сложных цепей - student2.ru ;

«2 узел»: Методы расчета сложных цепей - student2.ru ;

«3 узел»: Методы расчета сложных цепей - student2.ru .

Токи в ветвях на основании закона Ома выражаются:

Методы расчета сложных цепей - student2.ru ,

где Методы расчета сложных цепей - student2.ru - напряжение на зажимах ветви; знаки перед Методы расчета сложных цепей - student2.ru и Методы расчета сложных цепей - student2.ru выбираются в зависимости от того, совпадает или не совпадает направление тока Методы расчета сложных цепей - student2.ru с положительными направлениями Методы расчета сложных цепей - student2.ru и Методы расчета сложных цепей - student2.ru . Тогда токи ветвей:

Методы расчета сложных цепей - student2.ru ;

Методы расчета сложных цепей - student2.ru ;

Методы расчета сложных цепей - student2.ru ;

Методы расчета сложных цепей - student2.ru ;

Методы расчета сложных цепей - student2.ru ;

Методы расчета сложных цепей - student2.ru .

Найденные уравнения подставляются в исходную систему уравнений, составленную по первому закону Кирхгофа. Делаются несложные алгебраические преобразования, после чего получаем новую систему уравнений относительно неизвестных потенциалов Методы расчета сложных цепей - student2.ru :

Методы расчета сложных цепей - student2.ru 83(3.9)

Разберем структуру любого уравнения, например, первого. Потенциал первого узла Методы расчета сложных цепей - student2.ru умножается на сумму проводимостей всех ветвей, образующих данный узел: Y1+ Y2+ Y3. Со знаком “-” записываются слагаемые вида: Методы расчета сложных цепей - student2.ru , где Y1k – проводимость k-ой ветви, входящей в узел 1, Методы расчета сложных цепей - student2.ru – потенциал соседнего (смежного) узла.

В правой части уравнения слагаемые вида Методы расчета сложных цепей - student2.ru записываются со знаком “+” в том случае, если источник ЭДС направлен к рассматриваемому узлу, в противном случае – со знаком “–”.

Найденные потенциалы могут иметь различные знаки. С этими знаками значения потенциалов подставляются в уравнения для нахождения токов.

Метод двух узлов

Этот метод является частным случаем метода узловых потенциалов.

Методы расчета сложных цепей - student2.ru

Рис.3.2. Разветвленная цепь с двумя узлами

Для вывода метода выполним следующие рассуждения. Пусть, к примеру, j1 > j2, тогда U12 убывает от узла 1 к узлу 2.

Методы расчета сложных цепей - student2.ru ;

Методы расчета сложных цепей - student2.ru . 84(3.10)

Для произвольно выбранных направлений токов имеем:

Методы расчета сложных цепей - student2.ru ;

Методы расчета сложных цепей - student2.ru ;

Методы расчета сложных цепей - student2.ru ;

Методы расчета сложных цепей - student2.ru .

Проверка правильности полученных результатов осуществляется по первому закону Кирхгофа.

Наши рекомендации