Производная сложной функции

НИЖНЕКАМСКИЙ ФИЛИАЛ

Экономический факультет

Кафедра «Высшей математики и информационных технологий»

МАТЕМАТИКА

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

(I семестр)

Для направления обучения

«Менеджмент»

Нижнекамск - 2013

Оглавление

Аннотация. 5

Указания по выполнению контрольной работы.. 5

Контрольные задания. 6

Решение типовых примеров. 10

Аннотация

В данной работе рассматриваются основные способы и методы решения задач, необходимые для выполнения контрольного задания, приводится перечень теоретических вопросов.

Указания по выполнению контрольной работы

1. Номер варианта контрольной работы соответствует последней цифре номера зачетной книжки или студенческого билета.

2. В заголовке контрольной работы написать фамилию, имя, отчество, курс, группу, номер студенческого билета, вариант контрольной работы и дату сдачи ее в институт.

3. Решение задач располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя их номер. Перед решением каждой задачи выписать полностью условие. Решение каждой задачи сопровождать объяснениями и заканчивать ответом.

4. Оформление решений производить аккуратно, с минимальным количеством исправлений. Оставить поля для замечаний проверяющего.

Контрольные задания

1. Даны матрицы А, В, С. Вычислить матрицу D=AB+C

Вариант А В С
1. производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru
2. производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru
3. производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru
4. производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru
5. производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru
6. производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru
7. производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru
8. производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru
9. производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru
10. производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru

Вычислить определитель третьего порядка

1. производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru 2. производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru 3. производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru 4. производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru
5. производная сложной функции - student2.ru 6. производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru 7. производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru 8. производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru
9. производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru 10. производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru .    

Решить систему линейных уравнений

1. производная сложной функции - student2.ru 2. производная сложной функции - student2.ru 3. производная сложной функции - student2.ru

4. производная сложной функции - student2.ru 5. производная сложной функции - student2.ru 6. производная сложной функции - student2.ru

7. производная сложной функции - student2.ru 8. производная сложной функции - student2.ru 9. производная сложной функции - student2.ru

10. производная сложной функции - student2.ru

Составить уравнение прямой линии на плоскости, проходящей через заданные точки

1. (–1, 2) и (0, 10); 2. (–2, –1) и (3, 9); 3. (–3, 1) и (4, 8); 4. (–4, 3) и (–2, 7).

5. (–5, 2) и (0, 6); 6. (–6, –1) и (3, 5); 7. (–7, 1) и (4, 4); 8. (–8, 3) и (–2, 3).

9. (–9, 2) и (0, 2); 10. (–10, –1) и (3, 1).

5. Построить график функции (с помощью преобразования графиков основных элементарных функций) или в пакете MS Excel

1. производная сложной функции - student2.ru 2. производная сложной функции - student2.ru 3. производная сложной функции - student2.ru , 4. производная сложной функции - student2.ru

5. производная сложной функции - student2.ru 6. производная сложной функции - student2.ru , 7. производная сложной функции - student2.ru 8. производная сложной функции - student2.ru,

9. производная сложной функции - student2.ru 10. производная сложной функции - student2.ru

Значение функции f(x) известно в точках а и b. С помощью линейной интерполяции найти значение функции в точке с

Вариант а f(a) b f(b) c
-1 2,5
1,5
6,5 7,5 2,5
2,5 4,5 1,75
–2 –12,5 –1 –1
0,5
1,5 3,5
0,5 1,5 0,75
1,5 2,5
0,5 1,4

Найти предел функции

1. производная сложной функции - student2.ru 2. производная сложной функции - student2.ru 3. производная сложной функции - student2.ru

4. производная сложной функции - student2.ru 5. производная сложной функции - student2.ru 6. производная сложной функции - student2.ru ,

7. производная сложной функции - student2.ru 8. производная сложной функции - student2.ru 9. производная сложной функции - student2.ru ,

10. производная сложной функции - student2.ru .

8. Вычислить производную функции

1. производная сложной функции - student2.ru 2. производная сложной функции - student2.ru 3. производная сложной функции - student2.ru

4. производная сложной функции - student2.ru 5. производная сложной функции - student2.ru 6. производная сложной функции - student2.ru

7. производная сложной функции - student2.ru 8. производная сложной функции - student2.ru 9. производная сложной функции - student2.ru

10. производная сложной функции - student2.ru

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–2, 2].

1. f(x) = x3 – x2 – x + 1,

2. f(x) = x3 + 12x2 + 21x +10,

3. f(x) = x3 + 4x2 – 7,

4. f(x) = x3 – 6x +7,

5. f(x) = 4x3 – 8x2 – 3x +10,

6. f(x) = x3 + 3x2 – 4,

7. f(x) = x3 – x2 ,

8. f(x) = x3 – 2x2 + x - 2,

9. f(x) = x3 – 2x2– x+2,

10. f(x) = x4 – 1.

10. Исследовать функцию и построить ее график. Проверить график в пакете MS Excel

1. производная сложной функции - student2.ru 2. производная сложной функции - student2.ru 3. производная сложной функции - student2.ru ,

4. производная сложной функции - student2.ru 5. производная сложной функции - student2.ru 6. производная сложной функции - student2.ru ,

7. производная сложной функции - student2.ru 8. производная сложной функции - student2.ru 9. производная сложной функции - student2.ru ,

10. производная сложной функции - student2.ru .

11. Вычислить приближенно, используя дифференциал функции

1. производная сложной функции - student2.ru ; 2. производная сложной функции - student2.ru; 3. производная сложной функции - student2.ru , 4. производная сложной функции - student2.ru

5. производная сложной функции - student2.ru ; 6. производная сложной функции - student2.ru ; 7. производная сложной функции - student2.ru ; 8. производная сложной функции - student2.ru

9. производная сложной функции - student2.ru ; 10. производная сложной функции - student2.ru .

Решение типовых примеров

1.1. Сложить две матрицы производная сложной функции - student2.ru и производная сложной функции - student2.ru

Решение. Складывать (вычитать) можно только матрицы одинакового размера, а т.к. размеры матрицы А – (3´2) и В – (3´2) (где 3 – число строк, 2 – число столбцов) совпадают, то для того, чтобы сложить две матрицы, надо к каждому элементу первой матрицы прибавить соответствующие элементы второй матрицы:

производная сложной функции - student2.ru + производная сложной функции - student2.ru = производная сложной функции - student2.ru = производная сложной функции - student2.ru .

Ответ: производная сложной функции - student2.ru .

1.2. Умножить матрицу производная сложной функции - student2.ru на число 3.

Решение. Для того, чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число:

производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru .

Ответ: производная сложной функции - student2.ru .

1.3. Умножить матрицу производная сложной функции - student2.ru на матрицу производная сложной функции - student2.ru .

Решение. Умножение матриц А и В определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru С m´n = A m´k∙B k´n

Совпадают

Размерность результирующей матрицы

В нашем случае размер А – (2´3), а размер В – (3´3), поэтому умножение производить можно; размерность результирующей матрицы С – (2´3). Для того чтобы получить элемент, стоящий на пересечении i–й строки и j–го столбца новой матрицы, нужно элементы i–й строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j–го столбца второй матрицы и результат сложить, т.е. элементы матрицы С вычисляются по формуле:

производная сложной функции - student2.ru .

C= производная сложной функции - student2.ruпроизводная сложной функции - student2.ru = производная сложной функции - student2.ru

= производная сложной функции - student2.ru .

Ответ: C= производная сложной функции - student2.ru .

2. Вычислить определитель 3-го порядка: производная сложной функции - student2.ru .

Решение. 1) Метод разложения по элементам строки или столбца.

С помощью метода разложения по элементам строки (столбца) можно вычислить определители любого порядка. Строку (столбец), по элементам которого производится разложение, следует выбирать так, чтобы в ней содержалось наибольшее количество нулей.

Разложим определитель по элементам какой-либо строки или столбца. Например, выберем для разложения третий столбец:

производная сложной функции - student2.ru = 3∙А13 + 0∙А23 + 3∙А33 = 3∙А13 + 3∙А33 . (1)

Здесь А13, А23, А33 – алгебраические дополнения элементов матрицы а13, а23, а33 соответственно, которые в общем случае для элемента аij находятся по формуле

Аij = (–1)i+j∙Mij. (2)

Минор Мij – определитель, получаемый из исходного вычеркиванием i‑й строки и j‑го столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Например, для нахождения М13 вычеркивается 1-я строка и 3-йстолбец:

производная сложной функции - student2.ru .

Аналогично определяем М23, вычеркивая 2-ю строку и 3-й столбец.

М33 получается вычеркиванием 3-й строки и 3-го столбца:

производная сложной функции - student2.ru .

Тогда алгебраические дополнения (по формуле (2)) будут равны:

А13 = (–1)1+3∙M13= (–1)4∙6 = 6,

А33 = (–1)3+3∙M33=(–1)6∙3= 3.

Подставляя найденные значения в (1), найдем определитель

производная сложной функции - student2.ru = 3∙6 + 3∙3 = 27.

Ответ: 27.

2) Метод Саррюса.

С помощью метода Саррюса можно вычислять только определители третьего порядка.

Сначала к исходному определителю справа приписываем первый и второй столбцы:

производная сложной функции - student2.ru

Тогда определитель равен сумме произведений элементов, стоящих на главной диагонали и диагоналях, параллельных ей, взятых со своими знаками, и произведению элементов побочной диагонали и параллельных ей диагоналях, взятых с противоположными знаками.

производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru = 2∙4∙3 + 1∙0∙1 + 3∙5∙2 – 3∙4∙1 – 2∙0∙2 – 1∙5∙3 = 27.

Ответ: 27.

3. Решить систему линейных уравнений:

производная сложной функции - student2.ru

1) Метод Крамера.

Выпишем определитель матрицы системы А:

Δ = производная сложной функции - student2.ru = 4.

(Так как определитель не равен 0, то метод Крамера использовать можно, и система имеет единственное решение.)

Определитель Δ1 получаем из определителя Δ заменой первого столбца на столбец свободных членов В, а остальные столбцы остаются прежними:

Δ1 = производная сложной функции - student2.ru = 4.

Аналогично, заменяя в исходном определителе второй, а затем третий столбцы на столбец свободных членов, получим соответственно Δ2 и Δ3.

Δ2 = производная сложной функции - student2.ru = 8, Δ3 = производная сложной функции - student2.ru =12.

Теперь воспользуемся формулой Крамера и найдем все переменные:

производная сложной функции - student2.ru , производная сложной функции - student2.ru , производная сложной функции - student2.ru .

2) Метод Гаусса.

Метод Гаусса – это универсальный метод решения систем линейных уравнений. Он заключается в последовательном исключении переменных.

Составим расширенную матрицу системы, которая включает в себя матрицу системы и столбец свободных членов.

производная сложной функции - student2.ru .

Произведем элементарные преобразования со строками матрицы, приведя ее к треугольному виду, т.е. к матрице, в которой все элементы, ниже главной диагонали равны нулю (при этом диагональные элементы не равны нулю).

Шаг 1. Если в матрице элемент а11 = 0, то перестановкой строк нужно добиться того, чтобы элемент а11≠ 0. В нашем примере а11≠ 0.

Сначала обнулим элементы первого столбца ниже главной диагонали. Для этого поочередно умножим элементы первой строки на числа производная сложной функции - student2.ru и производная сложной функции - student2.ru , и прибавим соответственно к элементам второй и третьей строк:

2∙ -3

производная сложной функции - student2.ru + производная сложной функции - student2.ru + → производная сложной функции - student2.ru

Шаг 2. Если в полученной матрице а22 ≠ 0, то обнулим элемент второго столбца ниже главной диагонали. Для этого умножим вторую строку на число производная сложной функции - student2.ru и прибавим к третьей строке:

производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ruпроизводная сложной функции - student2.ru .

Полученная матрица имеет треугольный вид.

Т.о. получили систему уравнений:

производная сложной функции - student2.ru

Откуда найдем из последнего уравнения х3 = 3; из второго х2 = производная сложной функции - student2.ru =2; из первого х1 = 8 – 2х2 – х3 = 1.

Ответ: х1 = 1, х2 = 2, х3 = 3.

4. Составить уравнение прямой, проходящей через точки:

А(5; 4) и В(2; –3).

Решение. Уравнение прямой, проходящей через две точки М11;y1) и М22;y2) имеет вид: производная сложной функции - student2.ru .

Уравнение прямой, проходящей через заданные точки:

производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru .

Ответ: уравнение прямой производная сложной функции - student2.ru

5. Построить график функции у = –4∙sin2x + 1 (с помощью преобразования графиков основных элементарных функций).

производная сложной функции - student2.ru Решение.

1) Сначала построим график функции у = sinx.

у

производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru 1

производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru О х

производная сложной функции - student2.ru -π - производная сложной функции - student2.ru -1 производная сложной функции - student2.ru π

2) Сжатием графика в 2 раза вдоль оси Ох получаем график функции у=sin2x.

производная сложной функции - student2.ru у

производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru

производная сложной функции - student2.ru 1

производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru О х

производная сложной функции - student2.ru -π - производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru π

3) Растянем график у = sin2x вдоль оси Оу в 4 раза и получим график функции у = 4sin2x.

у производная сложной функции - student2.ru

производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru 4

производная сложной функции - student2.ru

 
  производная сложной функции - student2.ru

производная сложной функции - student2.ru

производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru 1

производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru О х

производная сложной функции - student2.ru -π - производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru π

 
  производная сложной функции - student2.ru

производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru

-4

4) Зеркально отобразив график относительно оси Ох, получим у = –4sin2x.

у производная сложной функции - student2.ru

производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru 4

производная сложной функции - student2.ru

 
  производная сложной функции - student2.ru

производная сложной функции - student2.ru

производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru 1

производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru О х

производная сложной функции - student2.ru -π - производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru π

 
  производная сложной функции - student2.ru

производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru

-4

5) Сдвинем полученный график на 1 единицу вверх параллельно оси Оу. Таким образом, график функции у = – 4∙sin2x + 1 имеет вид:

у производная сложной функции - student2.ru

производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru 5

производная сложной функции - student2.ru

 
  производная сложной функции - student2.ru

производная сложной функции - student2.ru

производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru

производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru 1

производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru π производная сложной функции - student2.ru О производная сложной функции - student2.ru π х

 
  производная сложной функции - student2.ru

производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru

-3

6. Значение функции известно в точках a и b. С помощью линейной интерполяции найти значение функции в точке с.

а f(a) b f(b) c
2,42 2,04 2,88 2,008

Решение. Формула линейного интерполирования:

f(c) » f(a) + производная сложной функции - student2.ru , где h = b – a, Df = f(b) – f(a).

Подставляя в формулу известные значения из таблицы, получим:

f(2,008) » 2,42 + производная сложной функции - student2.ru = 2,512.

Ответ. f(2,008) » 2,512.

7.1. Найти производная сложной функции - student2.ru .

Решение. Так как под знаком предела стоит непрерывная в точке х=1 функция, то, используя определение непрерывной функции, имеем:

производная сложной функции - student2.ru .

Ответ. производная сложной функции - student2.ru .

7.2. Найти производная сложной функции - student2.ru .

Решение. Функция производная сложной функции - student2.ru при х=1 не определена («неопределенность типа производная сложной функции - student2.ru »), и, следовательно, не является непрерывной в этой точке. Но при всех других значениях х

производная сложной функции - student2.ru .

Полученная функция определена и непрерывна в точке х=1, поэтому

производная сложной функции - student2.ru = производная сложной функции - student2.ru = производная сложной функции - student2.ru .

Ответ: производная сложной функции - student2.ru .

7.3. Найти производная сложной функции - student2.ru

Решение. Здесь требуется найти предел отношения двух бесконечно больших величин. О таком пределе заранее ничего определенного сказать нельзя («неопределенность типа производная сложной функции - student2.ru »). Преобразуем функцию под знаком предела, вынося за скобки х в старшей степени, и используем свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин. Тогда имеем:

производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru = производная сложной функции - student2.ru = производная сложной функции - student2.ru = производная сложной функции - student2.ru = 0.

Ответ: 0.

8. Найти производную функции:

а) у = х + 2 б) y = (2x – 3)(3x + 2) в) у = производная сложной функции - student2.ru

г) у = производная сложной функции - student2.ru д) у =(x3 – 2x2 + 5)6 е) производная сложной функции - student2.ru

ж) производная сложной функции - student2.ru з) y = tg(3x2 – 1) и) производная сложной функции - student2.ru .

Справочный материал

Правила дифференцирования:

1) с’ = 0;

2) x’ = 1;

3) (u + v)’ = u’ + v’;

4) (c∙u)’ = c∙u’;

5) (u∙v)’ = u’∙v + u∙v’;

6) (u∙v∙w)’ = u’∙v∙w + u∙v’∙w + u∙v∙w’;

7) производная сложной функции - student2.ru .

Производная сложной функции

Если у есть функция от и: у = f(u), где и в свою очередь есть функция от аргумента х: u = φ(x), т.е. если у зависит от х через промежуточный аргумент и, то у называется сложной функцией от х (функцией от функции): y = f(φ(x)).

Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной:

y’x = y’u u’x

Таблица производных:

Функция у Производная у’
С
x
un n∙un-1 u’
производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru
производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru
eu eu∙u’
au au∙ln a∙u’
ln u производная сложной функции - student2.ru
loga u производная сложной функции - student2.ru
sin u cos u∙u’
cos u – sin u∙u’
tg u производная сложной функции - student2.ru
ctg u производная сложной функции - student2.ru
arcsin u производная сложной функции - student2.ru
arcos u производная сложной функции - student2.ru
arctg u производная сложной функции - student2.ru
arcctg u производная сложной функции - student2.ru

Решение. а) у = х + 2

Используя правило дифференцирования (3) и формулы (1), (2), имеем:

у' = (x + 2)’ = (x)’ + (2)’ = 1 + 0 = 1.

б). y = (2x – 3)(3x + 2)

y’ = ((2x – 3)(3x + 2))’ = (2x – 3)’∙(3x + 2) + (2x – 3)∙(3x + 2)’ = 2∙(3x + 2) + (2x – 3)∙3 = 12x – 5. Здесь мы использовали правило дифференцирования (5).

в) у = производная сложной функции - student2.ru

Используя правило дифференцирования (7), имеем

производная сложной функции - student2.ru

г) у = производная сложной функции - student2.ru

Найдем производную, используя правило дифференцирования (4) и формулу (3).

у' = производная сложной функции - student2.ru .

д) у =(x3 – 2x2 + 5)6

Пусть x3 – 2x2 + 5 = и, тогда у = и6. По формуле (3), получим у’ = (и6)’ = 6u5∙u’= 6(x3 – 2x2 + 5)5∙(x3 – 2x2 + 5)’ = 6(x3 – 2x2 + 5)5∙(3x2 – 4x).

е) производная сложной функции - student2.ru

По правилу дифференцирования (7) и формуле (10) получим:

производная сложной функции - student2.ru

= производная сложной функции - student2.ru .

ж) производная сложной функции - student2.ru

Используя формулы (4) и (10), имеем:

производная сложной функции - student2.ru .

з) y = tg(3x2 – 1).

По формуле (12) имеем:

y' = (tg(3x2 – 1))’ = производная сложной функции - student2.ru .

и) производная сложной функции - student2.ru .

По формуле (8), а также (3), (4), (5) имеем:

производная сложной функции - student2.ru =

= производная сложной функции - student2.ru .

9.Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = х3 – 12х на отрезке [0, 5].

Решение. Сначала найдем производную функции: у’ = 3х2 – 12.

Затем найдем критические точки, т.е. точки, в которых у’ = 0 или не существует: 3х2 – 12 = 0, откуда критические точки х1 = –2, х2 = 2. Точка х1 = –2 не принадлежит отрезку [0, 5], поэтому мы исключаем ее из рассмотрения.

Вычислим значения функции в критической точке х2 = 2 и на концах интервала и выберем из них наибольшее и наименьшее: у(2) = – 16, у(0) = 0, у(5) = 65.

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке [0, 5] равно 65, наименьшее значение равно –16.

10. Исследовать функцию у = производная сложной функции - student2.ru и построить ее график.

Решение. а) Найдем область определения функции.

Областью определения этой функции является вся действительная ось, за исключением двух точек х1 = –2 и х2 = 2, в которых имеет место разрыв (знаменатель х2 – 4 = 0). Т.о. область определения: (-∞; -2)U(-2; 2)U(2; +∞)

б) Исследуем функцию на четность-нечетность.

Функция четная, т.к. у(-х) = производная сложной функции - student2.ru = у(х). Четность функции определяет симметрию ее графика относительно оси Оу.

в) Найдем вертикальные асимптоты графика функции.

Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на границе ее области определения. Точками разрыва являются х1 = –2 и х2 = 2.

Вычислим пределы функции в окрестностях этих точек.

Предел слева производная сложной функции - student2.ru , предел справа производная сложной функции - student2.ru .

Аналогично производная сложной функции - student2.ru , производная сложной функции - student2.ru .

Следовательно, прямые х = –2 и х = 2 являются вертикальными асимптотами функции.

г) Найдем горизонтальные или наклонные асимптоты графика функции.

Для этого вычислим пределы: производная сложной функции - student2.ru и производная сложной функции - student2.ru . Откуда (по формуле y = kx +b) заключаем, что уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид: y = 0x +1, т.е. у = 1.

д) Найдем экстремумы и интервалы монотонности.

Производная заданной функции у’ = производная сложной функции - student2.ru равна нулю (у’ = 0) при х=0 и не существует при х = ±2. Но критической является только точка х=0 (т.к. значения х = ±2 не входят в область определения функции). Поскольку при x < 0 f’(x) > 0, а при x > 0 f’(x) < 0, то х=0 – точка максимума функции и fmах(x)= производная сложной функции - student2.ru = – 1.

производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru На интервалах (–∞; –2) и (–2; 0) y' + –

производная сложной функции - student2.ru производная сложной функции - student2.ru функция возрастает производная сложной функции - student2.ru , на интервалах -2 0 2 x

(0; 2) и (2; +∞) –. убывает y

е) Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба.

Для этого надо найти вторую производную функции производная сложной функции - student2.ru . Видно, что уравнение производная сложной функции - student2.ru не имеет действительных корней, и это исключает существование у графика точек перегиба. Вместе с тем по корням знаменателя (–2 и 2) можно установить, что при переходе через эти значения х знаки производная сложной функции - student2.ru меняются.

производная сложной функции - student2.ru На интервалах (–∞; –2) и (2; +∞) функция выпукла вниз, на интервале (–2; 2) – выпукла вверх.

ж) Найдем точки пересечения с осями координат.

f(0) = производная сложной функции - student2.ru = – 1, т.е. точка пересечения с осью ординат (0; -1). Уравнение f(х) = 0, (т.е. производная сложной функции - student2.ru = 0), решений не имеет, следовательно, график функции не пересекает ось абсцисс.

производная сложной функции - student2.ru На основании полученных данных построим график заданной функции.

у

-2 2 х

-1

11. Вычислить приближенно, используя дифференциал функции производная сложной функции - student2.ru .

Решение. Для приближенных вычислений воспользуемся формулой:

производная сложной функции - student2.ru .

Положим производная сложной функции - student2.ru . Найдем производную производная сложной функции - student2.ru . Тогда производная сложной функции - student2.ru . Учитывая, что производная сложной функции - student2.ru , возьмем производная сложной функции - student2.ru и производная сложной функции - student2.ru .

Тогда:

производная сложной функции - student2.ru

Ответ: производная сложной функции - student2.ru

Наши рекомендации