Основные вероятностные характеристики простейшего потока

Получим некоторые, наиболее используемые, вероятностные характеристики:

– вероятность того, что в течение времени t не произойдет ни одного события, равна Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru .

– вероятность того, что за промежуток времени tв потоке наступит хотя бы одно событие, равна Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru .

Математическое ожидание числа событий, наступивших за время t

Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru

Дисперсия числа событий, наступивших за время t

Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru .

Рассмотрим случайную величину, характеризующую длину интервала между моментами наступления событий простейшего потока.

Пусть t=tk–tk–1 есть длина интервала между двумя произвольными соседними моментами наступления событий.

По определению функция распределения F(t)=P(t<t). Эта вероятность вычисляется с помощью вероятности противоположного события, то есть

Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru , Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru .

Плотность распределения промежутка времени между двумя последовательными событиями получим, продифференцировав F(t) по времени.

Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru , Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru .

Пользуясь полученной функцией плотности распределения, можно получить числовые характеристики случайной величины t: математическое ожидание M(t), дисперсию D(t) и среднеквадратическое отклонение s(t)

Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru , Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru , Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru .

Для малых Dt можно получить приближенную формулу, получаемую заменой функции elDt, только двумя членами разложения в ряд по степеням Dt, тогда вероятность попадания на малый промежуток времени Dt хотя бы одного события составляет:

Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru .

Отсюда можно сделать следующий вывод: средний интервал времени t между любыми двумя соседними событиями в простейшем потоке в среднем равен 1/l и его среднеквадратическое отклонение также равно 1/l, где l – интенсивность потока, т.е. среднее число событий, происходящих в единицу времени. Закон распределения случайной величины, обладающей такими свойствами, называется показательным (или экспоненциальным), а величина l является параметром этого показательного закона. Таким образом, для простейшего потока математическое ожидание интервала времени между соседними событиями равно его среднеквадратическому отклонению.

Пример. Пусть клиенты, которые хотят получить консультацию, образуют простейший поток с параметром Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru . Клиентов обслуживает один работник социальной сферы, если он занят, образуется очередь. Считается, что длина очереди не ограничена. Время обслуживания одного клиента является экспоненциально распределенной случайной величиной с параметром Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru . Пусть Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru – число клиентов, находящихся в системе в момент Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru . Найти финальные вероятности числа клиентов в системе.

Пусть Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru есть число клиентов, находящихся в системе в момент времени Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru . Граф вероятностей переходов для процесса Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru изображен на рис.6.

Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru

рис.6.

Прямая система дифференциальных уравнений Колмогорова имеет вид:

Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru ,

Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru , Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru .

Очевидно, что система уравнений для финальных вероятностей примет вид

Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru

Из первого уравнения получаем Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru .

Из уравнения для Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru : Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru ,

получаем Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru .

Аналогично, Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru .

Можно показать, что Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru .

Тогда из условия нормировки получаем, что Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru .

Так как ряд сходится при Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru , то и стационарный режим существует лишь при Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru . В этом случае Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru , следовательно, Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru .

Окончательно, финальные вероятности числа клиентов в системе определяются по формуле Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru .

Рассмотрим пример на применение производящих функций при решении систем дифференциальных уравнений Колмогорова.

Пример. Поток клиентов, пришедших открыть счет (депозит) в банке, является простейшим с параметром Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru , будем считать, что случайная величина, характеризующая продолжительность обслуживания счета, является экспоненциально распределенной с параметром Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru . Найти распределение вероятностей числа счетов в банке в момент времени Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru , если в начальный момент времени в банке не было ни одного счета.

Пусть Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru есть число клиентов, счета которых обслуживаются в банке, в момент времени Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru . Граф вероятностей переходов для процесса Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru изображен на рис.7

Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru

рис.7

Составляем прямую систему дифференциальных уравнений Колмогорова для распределения вероятностей Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru :

Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru

Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru .

Очевидно, начальные условия имеют вид:

Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru

Чтобы решить систему дифференциальных уравнений, определим производящую функцию Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru .

Домножим каждое уравнение системы на Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru и просуммируем: Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru .

При этом учитываем, что Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru , Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru .

Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru , Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru

Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru .

Полученное уравнение является дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка, система обыкновенных дифференциальных уравнений для характеристик которого имеет вид:

Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru .

Рассмотрим первое равенство Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru . Решение этого уравнения имеет вид: Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru , или Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru . Отсюда Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru .

Из второго равенства получим: Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru , откуда следует Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru . Тогда Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru , где Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru .

Следовательно, общее решение уравнения имеет вид: Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru , где Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru – произвольная дифференцируемая функция.

Найдем ее вид, используя начальное условие Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru :

Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru .

Отсюда Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru . Выполнив замену Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru , получим Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru . Следовательно, Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru .

Разлагая эту функцию в ряд по степеням Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru , найдем вероятности Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru следующим образом:

Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru

Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru .

Следовательно, распределение является пуассоновским с параметром Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru

Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru .

Отсюда можно определить финальное распределение

Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru .

Распределение Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru является пуассоновским с параметром Основные вероятностные характеристики простейшего потока - student2.ru .

Наши рекомендации