Пример выполнения задания. Даны схема механизма в заданном положении (рисунок 3а) и следующие исходные данные: ОА = АВ = 30 см; АС = 15 см; wOA = 4 рад/с; eOA = 8 рад/с2
Даны схема механизма в заданном положении (рисунок 3а) и следующие исходные данные: ОА = АВ = 30 см; АС = 15 см; wOA = 4 рад/с; eOA = 8 рад/с2.
Решение.
1. Определение скоростей точек и угловой скорости звена (рисунок 3б). Вычислим модуль скорости точки А кривошипа ОА в заданном положении. Так как кривошип испытывает вращательное движение вокруг неподвижной точки О, то
см/с.
Рисунок 3 – Схема механизма (а) и схема для определения скоростей (б)
Вследствие вращения кривошипа вектор скорости точки А перпендикулярен кривошипу и направлен в соответствии с wOA. Вектор скорости точки В ползуна направлен вдоль прямой ОВ. Зная скорость точки А и направление скорости точки В (принадлежащих звену АВ), можно определить мгновенный центр скоростей РАВ шатуна АВ. Он находится в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных из точек А и В по отношению к направлениям их скоростей.
Модули скоростей точек В и С определятся соответственно:
; 
. (1)
Угловую скорость звена АВ можно определить как
. (2)
Подставив выражение для wAВ в уравнения (1), получим:
; 
. (3)
Расстояния APAB, BPAB и CPAB определяются из рассмотрения треугольников АBPAB и АCPAB:
см; 
см; 
см.
С учетом этого
рад/с; 
см/с; 
см/с.
Вектор скорости точки С направлен перпендикулярно отрезку CPAB в направлении вращения звена АВ.
Скорости точек В и С можно установить и с использованием теоремы об алгебраическом равенстве проекций скоростей точек на ось, проведенную через эти точки.
В качестве прямой возьмем направление шатуна АВ. Тогда
.
Из рисунка 3б видно: 
, откуда через известную 
А определяем неизвестные В и С: 
см/си 
см/с.
2. Определение ускорений точек и углового ускорения звена (рисунок 4). Ускорение 
точки А складывается из вращательного 
и центростремительного 
ускорений:
; 
; 
.
Согласно теореме об ускорениях точек плоской фигуры для ускорения точки В
имеем
, (4)
где 
и 
– вращательная и центростремительная составляющие ускорения точки В во вращательном движении шатуна АВ вокруг полюса А; 
.
Рисунок 4 – Схемы для определения ускорений
С учетом имеющихся данных определяем модули составляющих ускорений:
см/с2; 
см/с2; 
см/с2.
Вектор направлен к центру вращения: от А к О. Вектор перпендикулярен и направлен с учетом направления 
. Составляющая направлена от В к полюсу А.
Для ускорения 
точки В и его вращательной составляющей известны только линии действия этих векторов: направлен вдоль линии движения ползуна ОВ; – перпендикулярно АВ.
Зададимся произвольно их направлениями (пунктирные стрелки на рисунке 4). Определим эти ускорения из уравнений проекций векторного равенства (4) на координатные оси. Знак в ответе должен показать соответствие истинного направления вектора направлению, принятому в расчете.
Выберем направление осей х и у, как показано на рисунке 4, и составим уравнения проекций:
, (5)
. (6)
Из уравнения (6) найдем 
см/с2. Истинное направление ускорения совпадает с ускорением, построенным на рисунке 4.
Из уравнения (5) получим 
см/с2, то есть действительное направление противоположно показанному на рисунке 4.
Теперь определяем угловое ускорение звена АВ: 
рад/с2.
Направление углового ускорения eАВ определяется направлением вращательного ускорения .
Далее определяем ускорение точки С. Согласно теореме об ускорениях точек плоской фигуры:
; 
; 
.
Модули вращательного и центростремительного ускорения точки С во вращательном движении АВ вокруг полюса А соответственно:
см/с2; 
см/с2.
Направления 
и 
показаны на рисунке 2.
Ускорение точки С находим способом проекций (см. рисунок 4):
см/с2; 
см/с2;
см/с2.
Векторы ускорений и 
точек В и С соответственно показаны на рисунке 4.
Задание К.7. Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки
Материальная точка М движется относительно движущегося тела D. Определить для момента времени t = t1 абсолютные скорость и ускорение точки М по заданным уравнениям относительного движения точки М и уравнениям движения тела D. Исходные данные, необходимые для расчета, приведены в таблице 7, а схемы механизмов приведены в таблице 8.
Примечания
1. Для каждого варианта положение точки М на схеме соответствует положительному значению sr.
2. В вариантах 5, 10, 12, 13, 20–24, 28–30 ОМ = sr – дуга окружности.
3. На схемах 5, 10, 12, 21, 24 ОМ – дуга, соответствующая меньшему центральному углу.
4. Относительное движение точки М в вариантах 6 и 27 и движение тела D в вариантах 23 и 29 определяются уравнениями, приведенными в последнем столбце.
Таблица 7 – Исходные данные к заданию К.7
| Вариант | Уравнение относительного движения точки М OM = sr = sr(t), см | Уравнение движения тела | t1, с | R, см | а, см | a, град | Дополнитель-ные данные | |
| φe = φe(t), рад | xe = xe(t), см | |||||||
| 18sin(pt/4) | 2t3 – t2 | – | 2/3 | – | – | |||
| 20sin(pt) | 0,4t2 + t | – | 5/3 | – | – | |||
| 6t3 | 2t + 0,5t2 | – | – | – | ||||
| 10sin(pt/6) | 0,6t2 | – | – | – | ||||
| 40pcos(pt/6) | 3t – 0,5t3 | – | – | – | ||||
| – | – | 3t + 0,27t3 | 10/3 | – | – | φr = 0,15pt3 | ||
| 20cos(2pt) | 0,5t2 | – | 3/8 | – | ||||
| 6(t + 0,5t2) | t3 – 5t | – | – | – | ||||
| 10(1 + sin(2pt)) | 4t + 1,6t2 | – | 1/8 | – | – | – | ||
| 20pcos(pt/4) | 1,2t – t2 | – | 4/3 | – | ||||
| 25sin(pt/3) | 2t2 – 0,5t | – | – | – | ||||
| 15pt3/8 | 5t – 4t2 | – | – | |||||
| 120pt2 | 8t2 – 3t | – | 1/3 | – | – | |||
| 3 + 14sin(pt) | 4t – 2t2 | – | 2/3 | – | – | |||
 (t2 + t) | 0,2t3 + t | – | – | |||||
| 20sin(pt) | t – 0,5t2 | – | 1/3 | – | – | |||
| 8t3 – 2t | 0,5t2 | – | – |  | – | |||
| 10t + t3 | 8t – t2 | – | – | – | ||||
| 6t + 4t3 | t + 3t2 | – | – | – | ||||
| 30pcos(pt/6) | 6t + t2 | – | – | – | ||||
| 25p(t + t2) | 2t – 4t2 | – | 1/2 | – | – | |||
| 10psin(pt/4) | 4t – 0,2t2 | – | 2/3 | – | – | |||
| 6pt2 | – | – | – | – | φ = pt3/6; O1O = O2A = 20 см | |||
| 75p(0,1t + 0,3t3) | 2t – 0,3t2 | – | – | – | ||||
| 15sin(pt/3) | 10t – 0,1t2 | – | – | – | – | |||
| 8cos(pt/2) | –2pt2 | – | 3/2 | – | – | |||
| – | – | 50t2 | – | – | φr = 5pt3/48 | |||
| 2,5pt2 | 2t3 – 5t | – | – | – | ||||
| 5pt3/4 | – | – | – | – | φ = pt3/8; O1O = O2A = = 40 см | |||
| 4pt2 | – | t3 + 4t | – | – |
Таблица 8 – Схемы механизмов к заданию К.7
Продолжение таблицы 8
Продолжение таблицы 8
