Принцип возможных перемещений Лагранжа при равновесии материальной системы. Общее уравнение статики

Пусть материальная система находится в равновесии. Силы, действующие на каждую ее точку, уравновешиваются. Если – равнодействующая всех активных сил, приложенных к i-той точке, а – реакция связей этой точки, то (рис.65)

Рис.65

Дадим системе какое-нибудь возможное перемещение. Все точки ее получат перемещения , , ,…, .

Затем вычислим работу всех сил на этих перемещениях.

Так как силы, приложенные к каждой точке уравновешиваются и , то сумма работ этих сил на перемещении будет равна нулю: . Значит и сумма работ всех сил, приложенных ко всем точкам, будет равна нулю

.

Если связи идеальные, то вторая сумма всегда равна нулю. Значит,

(1)

Этот результат, уравнение работ, называют общим уравнением статики.

При равновесии материальной системы с идеальными и стационарными связями сумма работ всех активных, задаваемых, сил на любом возможном перемещении системы из положения равновесия равна нулю.

Конечно, если у системы есть неидеальные связи, например, с трением, или упругие, вроде пружины, то в уравнение работ надо добавить возможную работу реакций этих связей.

Принцип возможных перемещений можно записать в другой форме.

Если возможные перемещения точек определить с помощью возможных скоростей: где время - произвольная бесконечно малая величина, то уравнение работ (1) запишется так , а, поделив его на получим

, (2)

где – углы между направлениями сил и направлениями векторов возможных скоростей точек приложения сил.

Равенство (2) можно назвать принципом возможных скоростей, уравнением мощностей. Оно иногда бывает более удобным, так как используются конечные величины скоростей, а не бесконечно малые перемещения.

Этот принцип, общее уравнение статики, позволяет решать задачи на исследование равновесного состояния системы, в частности – находить неизвестные реакции связей. Естественно, при этом возникает вопрос: как же так, ведь реакции идеальных связей не входят в уравнение работ? Выход прост – надо сделать тело свободным, реакции отнести к разряду активных сил и затем назначать такие возможные перемещения, чтобы эти неизвестные силы совершали работу.

Общее уравнение статики – довольно эффективный метод и применять его, конечно, надо для исследования равновесия сложных систем; хотя и при решении обычных задач статики он оказывается тоже выгодным.

Пример 20. Какую силу F надо приложить к желобу с грузом весом Р, чтобы удержать его в равновесии (рис.66)?

Рис.66

Эту задачу можно решить известными методами статики, составляя уравнения равновесия. Но при этом придется прежде отыскать усилия в стержнях. Принцип возможных перемещений позволяет найти силу F проще, с помощью общего уравнения статики.

Показываем активные силы и . Даем системе возможное перемещение, повернув стержень АО на угол (рис.66). Так как желоб совершит поступательное движение, то перемещения всех его точек будут одинаковы:

где .

Составляем уравнение работ: . Угол .

Поэтому получим Отсюда .

Пример 21.На рис.67 изображена конструкция, состоящая из четырех одинаковых Т-образных рам, соединенных шарнирами К, М, Q. Опоры А и Е – шарнирно-неподвижные, В и D – шарнирно-подвижные. Определим горизонтальную составляющую реакции опоры Е, вызванную силой , приложенной к левой раме.

Рис.67

Методы статики дадут довольно сложное и длинное решение, так как придется рассматривать равновесие четырех рам и решать систему из 12 уравнений с 12-ю неизвестными.

Принцип возможных перемещений дает более простое и короткое решение.

Надо изменить конструкцию опоры Е. Сделаем ее подвижной, а чтобы система осталась в равновесии, приложим к опоре силу , ту силу, которую нужно определить (рис.67,а).

Даем затем системе возможное перемещение, повернув левую раму вокруг опоры А на угол . С помощью мгновенных центров скоростей С1, С2 и С3 каждой рамы, обнаруживаем, что а или Составляем уравнение работ, общее уравнение статики, или . Отсюда .

Чтобы определить вертикальную составляющую реакции опоры Е, ее надо вновь переделать (рис. 67,б), дать системе соответствующее возможное перемещение и составить уравнение работ.