К источнику постоянного напряжения

После замыкания ключа емкость начинает заряжаться и по цепи будет протекать ток, который уменьшается по мере того, как емкость заряжается.

Рассмотрим схему цепи, содержащей емкость и резистивный элемент (рис. 11.6) и подключаемой к источнику постоянного напряжения.

Составим для данной схемы уравнение по второму закону Кирхгофа для независимой переменной и_С:

.

Решаем это уравнение классическим методом.

Решение ищем в виде суммы свободной и принужденной составляющих

.

Принужденную составляющую определяем в установившемся режиме. Исходя из закона Ома, напряжение на резистивном элементе можно определить по формуле

.

В свою очередь ток определяем из закона Ома для полной цепи:

.

Поскольку частота постоянного тока равна нулю, то емкостное сопротивление будет бесконечно большим и ток установившегося режима становится равным нулю I = 0.

Следовательно, падения напряжения на резисторе не будет, и согласно второму закону Кирхгофа все напряжение будет приложено к емкости:

.

Для определения свободной составляющей запишем характеристическое уравнение. Рассмотрим два способа, используя которые можно составить характеристическое уравнение.

1. Заменим в дифференциальном уравнении

символ дифференцирования и приравняем нулю источники U = 0, получим

, откуда .

2. Запишем выражение для комплексного сопротивления цепи и приравниваем его нулю

.

Сделаем замену , тогда или .

Решение для свободной составляющей записываем в виде

.

Полное напряжение запишется

.

Постоянную интегрирования А находим, исходя из законов коммутации и независимых начальных условий.

В первый момент переходного режима t = 0 напряжение на емкости остается таким же, каким было в последний момент предшествующего установившегося режима, а до включения цепи оно было равно нулю, следовательно,

.

Подставляем в выражение для напряжения значение при t = 0

, отсюда .

Окончательно выражение для напряжения на емкости запишется

.

Здесь – постоянная времени переходного процесса.

График переходного процесса представлен на рис. 11.7.

Найдем закон изменения емкостного тока.

Известно, что ток, протекающий в емкости выражается следующей формулой: .

Подставим сюда выражение для напряжения и продифференцируем

Таким образом, в первый момент переходного процесса t = 0 емкостный ток скачком увеличивается до максимального значения U/R, а затем экспоненциально уменьшается до нуля.

Отключение емкости, заряженной до напряжения и_С = U, выполняют с одновременным замыканием ее накоротко (рис. 11.8).

В момент коммутации ток меняет направление на противоположное и конденсатор начинает разряжаться, рассеивая накопленную энергию на резистивном элементе. Следовательно, по мере разрядки конденсатора ток будет уменьшаться, а принужденная составляющая напряжения на емкости стремиться к нулю.

Дифференциальное уравнение для этой цепи имеет вид

.

Составим характеристическое уравнение, заменяя в дифференциальном уравнении символ дифференцирования :

, откуда .

Решение для свободной составляющей ищем в виде

.

Поскольку принужденная составляющая равна нулю, то полное напряжение на емкости опишется этим же уравнением:

.

Постоянную интегрирования А находим, исходя из законов коммутации и независимых начальных условий.

В первый момент переходного режима t = 0 напряжение на емкости остается таким же, каким было в последний момент предшествующего установившегося режима, а до выключения цепи оно было равно U, следовательно,

Подставляем в выражение для напряжения значение при t = 0, получим

.

Окончательно выражение для напряжения на емкости запишется

Разрядный ток равен

.

Изменение напряжения и тока при отключении емкости представлено на рис. 11.9.