Композиция отображений

Определение. Пусть заданы два отображения

Композиция отображений - student2.ru : Композиция отображений - student2.ru , Композиция отображений - student2.ru : Композиция отображений - student2.ru

причем Композиция отображений - student2.ru . Тогда определена композиция: Композиция отображений - student2.ru : Композиция отображений - student2.ru отображений Композиция отображений - student2.ru и Композиция отображений - student2.ru равенством Композиция отображений - student2.ru Композиция отображений - student2.ru .

Композиция является отображением, так как Композиция отображений - student2.ru однозначно определен элемент Композиция отображений - student2.ru , Композиция отображений - student2.ru , и, следовательно, однозначно определен элемент Композиция отображений - student2.ru .

Примеры.

1. Композиция отображений - student2.ru : Композиция отображений - student2.ru , Композиция отображений - student2.ru .

Композиция отображений - student2.ru Композиция отображений - student2.ru , Композиция отображений - student2.ru .

Проверим, определены ли композиции Композиция отображений - student2.ru и Композиция отображений - student2.ru .

В виду того, что Композиция отображений - student2.ru , то композиция Композиция отображений - student2.ru определена

Композиция отображений - student2.ru , Композиция отображений - student2.ru .

В силу того, что Композиция отображений - student2.ru не является подмножеством множества Композиция отображений - student2.ru , являющегося областью определения функции Композиция отображений - student2.ru , то композиция Композиция отображений - student2.ru не определена.

2. Пусть заданы два отображения Композиция отображений - student2.ru Композиция отображений - student2.ru и Композиция отображений - student2.ru Композиция отображений - student2.ru

Композиция отображений - student2.ru Композиция отображений - student2.ru Композиция отображений - student2.ru Композиция отображений - student2.ru Композиция отображений - student2.ru Композиция отображений - student2.ru

Композиция отображений - student2.ru Композиция отображений - student2.ru Композиция отображений - student2.ru Композиция отображений - student2.ru Композиция отображений - student2.ru Композиция отображений - student2.ru

Композиция отображений - student2.ru Композиция отображений - student2.ru Композиция отображений - student2.ru Композиция отображений - student2.ru

Композиция отображений - student2.ru Композиция отображений - student2.ru Композиция отображений - student2.ru

Здесь Композиция отображений - student2.ru , поэтому композиция Композиция отображений - student2.ru Композиция отображений - student2.ru определена. Отображение Композиция отображений - student2.ru переводит элемент Композиция отображений - student2.ru в элемент Композиция отображений - student2.ru Композиция отображений - student2.ru , отображение Композиция отображений - student2.ru переводит элемент Композиция отображений - student2.ru в элемент Композиция отображений - student2.ru , поэтому, аналогично Композиция отображений - student2.ru , Композиция отображений - student2.ru , Композиция отображений - student2.ru .

Композиция отображений - student2.ru Композиция отображений - student2.ru Композиция отображений - student2.ru

Композиция отображений - student2.ru Композиция отображений - student2.ru Композиция отображений - student2.ru Композиция отображений - student2.ru

Композиция отображений - student2.ru Композиция отображений - student2.ru

Композиция отображений - student2.ru

Композиция отображений - student2.ru

Теорема. Операция композиции отображений ассоциативна, т.е. если Композиция отображений - student2.ru Композиция отображений - student2.ru , Композиция отображений - student2.ru Композиция отображений - student2.ru , Композиция отображений - student2.ru Композиция отображений - student2.ru , то

Композиция отображений - student2.ru . (1)

Доказательство. Отметим, что отображения Композиция отображений - student2.ru и Композиция отображений - student2.ru определены (проверить самостоятельно). Далее, равенство (1) означает, что Композиция отображений - student2.ru

Композиция отображений - student2.ru Композиция отображений - student2.ru .

Мы получили тождество, поэтому (1) доказано. Равенство (1) означает, что в выражении Композиция отображений - student2.ru скобки можно расставлять произвольно.

Наши рекомендации