Наибольшее и наименьшее значения функции

(§5,п.25)

Решение многих практических задач часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. Для случая, когда функция не только непрерывна на отрезке , но имеет на этом отрезке лишь конечное число критических точек, существует правило отыскания наибольшего и наименьшего значений функции f :

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 1.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке .

Решение:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, согласно правилу, необходимо найти критические точки заданной функции и выделить из них те, которые принадлежат отрезку .

Найдем критические точки, то есть точки, в которых производная не существует или равна нулю.

Так как производная

определена для любого х, то остается решить уравнение :

или ,

решая полученное квадратное уравнение, получим критические точки:

Так как критическая точка не принадлежит заданному отрезку , то для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции нужно найти значения функции на концах отрезка, то есть в точках и и в критической точке .

Найдем эти значения:

.

Из полученных значений выберем набольшее и наименьшее. Таким образом, наибольшее значение для заданной функции достигается в точке и равно 4,5 , а наименьшее – в точке и равно –1.

Ответ: ;

Пример 2 Представьте число 3 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма их четвертых степеней была наименьшей.

Решение:

Обозначим искомые слагаемые через х и у, тогда число 3 можно представить в виде:

, (*)

причем , .

По условию задачи сумма должна быть наименьшей. Представим эту сумму в виде функции:

(**)

Выразив переменную у через х из уравнения (*) и подставив ее значение в выражение (**), получим функцию, зависящую от переменной х :

. (***)

Исследуем данную функцию на экстремумы. Для этого определим производную:

.

Найдем критические точки функции, для чего решим уравнение:

,

учитывая значение производной, получим:

.

Сократив все уравнение на 4 и используя формулу разности кубов ,получим:

или .

Выполняя действия внутри скобок, применяя формулу , имеем:

или .

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

.

Второе из данных уравнений не имеет решений, так как его дискриминант меньше нуля, а решением первого уравнения является

.

Определим знаки производной исследуемой функции слева и справа от данной точки:

- +

х

Следовательно, точка является точкой минимума функции , и в этой точке данная функция принимает наименьшее значение.

Таким образом, является первым слагаемым в разложении числа 3. Определим второе слагаемое, так как

, то

.

Следовательно, число 3 можно представить как сумму чисел и , причем сумма четвертых степеней данных слагаемых будет наименьшей.

Ответ: + .

Пример 3.Найти наименьшее и наибольшее значения функции

на промежутке .

Решение:

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции определим ее критические точки.

Вычислим производную заданной функции:

Для нахождения критических точек необходимо решить уравнение или

Разложим синус двойного аргумента по формуле , получим:

Вынесем общий множитель за скобку:

.

Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:

, или .

Решая каждое из полученных простейших тригонометрических уравнений, получим:

, .

Чтобы выделить критические точки, принадлежащие заданному промежутку , необходимо решить неравенство .

Данное неравенство равносильно совокупности неравенств:

,

решая данные неравенства определим значения целых чисел n и k , при которых критические точки попадают в заданный интервал .

Рассмотрим решение каждого неравенства:

Разделим неравенство на p, получим: Так как n может принимать только целые значения, заключенные в промежутке , то n = 0 или n = 1			Разделим неравенство на p, получим: Из полученного неравенства выразим 2k: или Приводя подобные члены, получим: или . Разделим оба неравенства на 2: или . Так как число k может принимать только целые значения из полученных промежутков, то первое неравенство решений не имеет, а во втором k = 0.

Определим критические точки при полученных значениях для n и k:

при n = 0 х = 0;

при n = 1 х = p ;

при k = 0 .

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции необходимо найти значения исходной функции на концах заданного промежутка и в каждой из вычисленных критических точек. Учитывая, что критические точки и х = p совпадают с границами заданного промежутка, то для решения исходной задачи достаточно найти значения функции в точках х = 0, и х = p .

Найдем эти значения:

;

;

.

Из полученных значений нужно выбрать наибольшее и наименьшее. Наибольшее значение функции достигается в точке p и равно 3, а наименьшее – в точке и равно .

Ответ: