Пересечение линии и поверхности

В общем случае задача формулируют так: построить точки пересечения Аi кривой t с поверхностью Ф, как задача по определению точки пересечения прямой и плоскости.

Задача решается в три этапа.

а) Кривая t относится к вспомогательной проецирующей цилиндрической поверхности Г.

в) Строится линия m пересечения данной и вспомогательной проецирующей поверхности.

с) Фиксируются точки Аi пересечения линий t и m, которые и являются искомыми точками пересечения.

Проиллюстрируем все это на примере построения точек пересечения прямой t с конической поверхностью Ф (рисунок 8.29).

Прямую t целесообразно отнести к плоскости общего положения Г (t∩SN), проходящей через вершину S конической поверхности Ф. Тогда Г пересечёт Ф по образующей m, что значительно упрощает решение.

Рисунок 8.29 – Пересечение

Рисунок 8.30 – Пересечение пространственной кривой с цилиндроидом

На первом этапе строится линия 12 пересечения плоскости Г с плоскостью основания конической поверхности. Затем определяется положение линии m. Пересечение образующей m и линии t и определит решение – точку К.

Для общего случая решение задачи на пересечение цилиндроида с пространственной кривой выглядит следующим образом (рисунок 8.30). Кривая t заключается во фронтально проецирующую цилиндрическую

поверхность Г, которая пересекает цилиндроид Ф по кривой m. Так как m ⊂ Г,

то ее фронтальная проекция m2 совпадает с вырожденной проекцией Г2 вспо-

могательной поверхности Г.

Горизонтальная проекция m1 линии пересечения m строится по точкам из

условия принадлежности цилиндроиду Ф. Линии t и m, принадлежащие по-

верхности Г, пересекаются в искомых точках L и L'.

Приведенное решение является типовым. В ряде случаев для более точ-

ного построения линии пересечения данной и вспомогательной поверхностей

или для упрощения построений целесообразно использовать другие виды

вспомогательных поверхностей.

Контрольные вопросы к разделам 8.4 и 8.5

1.Назовите основные методы построения линии пересечения поверхно-

сти и плоскости, двух поверхностей

2.В чем заключается метод секущих плоскостей? Секущих сфер?

3.Когда можно применять метод секущих сфер?

4.Сформулируйте теорему Монжа.

5.Назовите основные этапы построения точки пересечения линии и по-

верхности.

прямой с конической поверхностью

Литература

1. “ Начертательная геометрия “ С.А. Фролов

2. “ Курс начертательной геометрии “ В.С. Гордон

3. “ Начертательная геометрия “ А.В. Бубенников

4. Учебник для втузов – 3е издание, переработанное и дополненное.М.Высшая школа 1985г.,288стр.