Квадратные уравнения

Пример 1. Решить относительно х:

Квадратные уравнения - student2.ru (1)

а). Пусть а = 0, тогда –2х+4 = 0 Û х = 2;

б). Пусть а ¹ 0, тогда D = 1– 4а; при 1– 4а < 0 Þ а > Квадратные уравнения - student2.ru х Î Æ;

при 1– 4а ³ 0 Þ а £ Квадратные уравнения - student2.ru Квадратные уравнения - student2.ru .

Ответ: при а = 0 х = 2; при а ¹

0 и а £ Квадратные уравнения - student2.ru

уравнение (1) имеет два решения Квадратные уравнения - student2.ru

; при а ¹ 0 и а > Квадратные уравнения - student2.ru

уравнение (1) не имеет решений.

При исследование квадратичной функции мы используем теоремы, которые также

помогают при решение задач с параметрами.

Т1. Если приведённое квадратное уравнение имеет два корня и b > 0,

c > 0, то оба корня этого уравнения отрицательные; b

< 0, c > 0, то оба корня этого уравнения

неотрицательны.

Т2. Необходимые и достаточные условия, чтобы корни квадратного

уравнения были больше заданного числа d:

Квадратные уравнения - student2.ru

Пример 2. При каких значениях параметра а, корни уравнения неотрицательны:

Квадратные уравнения - student2.ru (1)

Разделим уравнение (1) на а, но поставим условие а ¹ 0, тогда получим

Квадратные уравнения - student2.ru Квадратные уравнения - student2.ru (2)

По Т1: Квадратные уравнения - student2.ru ;

1). D = Квадратные уравнения - student2.ru ; приводим к общему знаменателю а2, получаем

Квадратные уравнения - student2.ru ; Квадратные уравнения - student2.ru .

 
 
 

2). Квадратные уравнения - student2.ru > 0;

корень уравнения Квадратные уравнения - student2.ru :

а = –2 и а ¹ 0. Нанесем полученные точки на

координатную прямую (Рис. 1).

Получаем а < –2, а > 0

Рис. 1

3). Квадратные уравнения - student2.ru ; корень уравнения Квадратные уравнения - student2.ru : а = –3

 
 

и а ¹ 0. Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 2).

 

Получаем –3 < а < 0.

Рис. 2

4). Объединим полученные результаты:

Квадратные уравнения - student2.ru (Рис. 3)

Получаем Квадратные уравнения - student2.ru

 
 
Рис. 3

Ответ: при Квадратные уравнения - student2.ru уравнение (1) имеет неотрицательные корни.

Пример 3. При каких значениях параметра а, корни уравнения больше 1:

Квадратные уравнения - student2.ru (1)

По Т2: Квадратные уравнения - student2.ru .

1). Квадратные уравнения - student2.ru

Квадратные уравнения - student2.ru > 0, разделим получившееся неравенство на –8, получаем

 
 

Квадратные уравнения - student2.ru корни данного

уравнения: Квадратные уравнения - student2.ru .

Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 4).

Рис. 4
 

Получаем Квадратные уравнения - student2.ru < а < Квадратные уравнения - student2.ru

2). Квадратные уравнения - student2.ru , помножим обе части данного неравенства на 2а, при этом а ¹ 0;

2а + 1 > 2а Þ 2а – 2а > –1 Þ 0 > –1 Þ а Î R.

3). Y(1) = 2а –2;

Квадратные уравнения - student2.ru корни уравнения 2а(а-1) > 0: а1 = 0; а2 = 1.

Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 5).

       
 
 
 
 
     
 
 
Рис. 5

Получаем а < 0, а > 1

4). Объединим полученные результаты:

Квадратные уравнения - student2.ru (Рис.6)
 
 
Рис. 6

Получаем Квадратные уравнения - student2.ru

Ответ: при Квадратные уравнения - student2.ru корни уравнения (1) больше 1.

Пример 4. При каком наибольшем целом а оба корня уравнения заключены

строго между –2 и 4:

Квадратные уравнения - student2.ru Способ 1: (1)

Квадратные уравнения - student2.ru ; тогда корни уравнения (1): Квадратные уравнения - student2.ru . Они должны быть заключены строго между –2 и 4:

Квадратные уравнения - student2.ru Квадратные уравнения - student2.ru

Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 7).

 

Получаем Квадратные уравнения - student2.ru

 
 
Рис. 7

Способ 2:

По Т2:

Квадратные уравнения - student2.ru

1). D = 1> 0;

2). Квадратные уравнения - student2.ru ;

3). Y(–2) = а2+4а+3

 
 

а2+4а+3 > 0; корни уравнения а2+4а+3 =

0: а1 = –3, а2 = –1; нанесем

полученные точки на координатную прямую (Рис. 8).

 
  Квадратные уравнения - student2.ru
Рис. 8

Получаем а < –3, а > –1.

Y(4) = а2–8а+15

 
 

а2–8а+15 > 0; корни уравнения а2–8а+15 =

0: а1 = 3, а2 = 5; нанесем полученные

точки на координатную прямую (Рис. 9).

Рис. 9
 

Получаем а < 3, а > 5.

4). Объединим полученные результаты:

Квадратные уравнения - student2.ru (Рис.10)
 
Рис. 10

Получаем –1 < а < 3.

Ответ: при а =2 оба корня уравнения (1) заключены строго между –2 и 4.

Пример 5. Найти коэффициент а, если корни уравнения связаны соотношением

12 = 3:

Квадратные уравнения - student2.ru

по теореме Виета: Квадратные уравнения - student2.ru ;

составим и решим систему: Квадратные уравнения - student2.ru

получаем х1 = 1, х2 = 1, тогда

а = 1.

Ответ: а = 1.

http://www.coolreferat.com/Уравнения_с_параметрами

или здесь посмотрите

ссылка на презентацию, здесь можно взять с 1 по 8 слайд

http://nsportal.ru/ap/ap/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/reshenie-kvadratnyh-uravneniy-s

Наши рекомендации