Формулировка принципа максимума

Постановка задачи. Рассмотрим задачу оптимального управления со свободным правым концом и фиксированным временем. Пусть требуется минимизировать функцию

(8.2.1)

при условиях

, (8.2.2)

, , (8.2.3)

, заданы. (8.2.4)

где моменты предполагаются заданными, управление является кусочно-непрерывной функцией, множества допустимых управлленний V не зависят от времени, фазовые ограничения заданы только на начальном конце отрезка.

Для обозначим частные производные

,

, ,

Сопряженная система. Введем сопряженную систему

, (8.2.5)

где , , , , или в координатной форме

. (8.2.5)

Подчиним выбор сопряженной вектор-функции условию

. (8.2.6)

Введем функцию, называемую функцией Гамильтона

(8.2.7)

Вывод принципа максимума опирается на исследование условий при которых вариации функционала (8.2.1) в точке оптимума были бы неотрицательны

для любых допустимых вариаций .