Применение метода Гаусса для решения различных задач линейной алгебры

1. Обращение матриц.Пусть имеем m систем линейных уравнений с одинаковыми матрицами и разными правыми частями:

Ах = b⁽¹⁾; Ах = b⁽²⁾; …; Ах = b^(m). (2.1)

Применяя метод Гаусса к каждой системе независимо можно найти соответствующие решения: х⁽¹⁾, х⁽²⁾, …, х^(m). Число арифметических операций можно, однако, существенно сократить, если решать все системы одновременно. Основные вычислительные затраты метода Гаусса связаны с преобразованием матрицы системы к треугольному виду. Параллельно с этим происходит и преобразование правых частей. Значит, все векторы b⁽¹⁾, b⁽²⁾, …, b^(m) можно преобразовывать одновременно в процессе прямого хода. Аналогично, при обратном ходе можно одновременно вычислять компоненты решений х⁽¹⁾, х⁽²⁾, …, х^(m).

Пусть необходимо вычислить обратную матрицу к квадратной матрице А. Обозначим Х = А^–1. Как известно АХ = I, где I – единичная матрица, в которой по диагонали расположены 1, а остальные элементы – 0. Иными словами, i-й столбец матрицы I равен

(1 на i-м месте). Пусть х⁽ⁱ⁾ – i-й столбец матрицы Х. Тогда, в силу правила умно-жения матриц имеем А х⁽ⁱ⁾ = e⁽ⁱ⁾. Значит, если в формуле (2.1) положить b⁽ⁱ⁾ = e⁽ⁱ⁾, то, решив такую систему, получим, что найденные решения х⁽¹⁾, х⁽²⁾, …, х⁽ⁿ⁾ являются столбцами матрицы А^–1.

2. Вычисление определителей.В процессе преобразования матрицы А к треугольному виду методом Гаусса мы выполняли с ней следующие действия:

1) переставляли строки или столбцы в зависимости от модификации метода;

2) делили ведущую строку на ненулевой ведущий элемент;

3) к строкам матрицы прибавляли ведущую строку, умноженную на некоторое число.

Как известно, при таких преобразованиях определитель матрицы претерпевает соответствующие изменения:

1) изменяет знак;

2) делится на тот же элемент;

3) не меняется.

После прямого хода матрица А будет приведена к верхнему треугольному виду с единицами на главной диагонали. Определитель такой матрицы равен, очевидно, 1. С учетом тех изменений, которые претерпевал определитель матрицы А в процессе преобразований, имеем следующую формулу:

det A = (–1)^s × a₁₁ × a₂₂ ×…× a_{n n},

где a_{j j} – ведущие элементы, s – число перестановок строк и/или столбцов при поиске ведущих элементов.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Вручную реализовать метод Гаусса с поиском по строкам (по столбцам, по всей матрице) для данной системы уравнений

и выполнить следующие задания

1) Решить систему уравнений

2) Вычислить определитель матрицы данной системы.

3) Обратить матрицу системы.

В дальнейшем используйте результат решения данной задачи в качестве тестового примера.

2. Составить программу решения линейной системы методом Гаусса (с поиском по строкам, по столбцам, по всей матрице) и выполнить обращение матриц с использованием этой программы.

1. 6. 11.

2. 7. 12.

3. 8. 13.

4. 9. 14.

5. 10. 15.

16.