Аксіоми додавання і множення

Для будь-якої пари Аксіоми додавання і множення - student2.ru та Аксіоми додавання і множення - student2.ru дійсних чисел однозначно виражене число Аксіоми додавання і множення - student2.ru , яке називається їх сумою.

Для будь-якої пари Аксіоми додавання і множення - student2.ru і Аксіоми додавання і множення - student2.ru дійсних чисел однозначно виражене число Аксіоми додавання і множення - student2.ru , яке називається їх добутком.

Для будь-яких дійсних чисел a, b, c виконуються наступні аксіоми:

Аксіоми додавання і множення - student2.ru

Аксіоми додавання і множення - student2.ru Існує єдине число 0, таке, що Аксіоми додавання і множення - student2.ru для будь-якого числа Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

Аксіоми додавання і множення - student2.ru Для будь-якого числа Аксіоми додавання і множення - student2.ru існує таке число Аксіоми додавання і множення - student2.ru , що Аксіоми додавання і множення - student2.ru (число Аксіоми додавання і множення - student2.ru називається протилежним числу Аксіоми додавання і множення - student2.ru ).

Аксіоми додавання і множення - student2.ru Існує єдине число 1, таке, що Аксіоми додавання і множення - student2.ru для будь-якого числа Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

Аксіоми додавання і множення - student2.ru Для будь-якого числа Аксіоми додавання і множення - student2.ru існує таке число Аксіоми додавання і множення - student2.ru , що Аксіоми додавання і множення - student2.ru ; число Аксіоми додавання і множення - student2.ru позначається також символом Аксіоми додавання і множення - student2.ru і називається оберненим до Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

Аксіоми порівняння дійсних чисел

Для будь-яких дійсних чисел a, b установлене одне із співвідношень: Аксіоми додавання і множення - student2.ru

Відношення "=" має властивість: якщо Аксіоми додавання і множення - student2.ru і Аксіоми додавання і множення - student2.ru , то Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

Для будь-яких дійсних чисел a, b, c виконуються наступні аксіоми:

Аксіоми додавання і множення - student2.ru Якщо Аксіоми додавання і множення - student2.ru і Аксіоми додавання і множення - student2.ru , то Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

Аксіоми додавання і множення - student2.ru Якщо Аксіоми додавання і множення - student2.ru , то Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

Аксіоми додавання і множення - student2.ru Якщо Аксіоми додавання і множення - student2.ru і Аксіоми додавання і множення - student2.ru , то Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

Зауваження. Замість Аксіоми додавання і множення - student2.ru пишуть Аксіоми додавання і множення - student2.ru

Аксіома неперервності дійсних чисел

Аксіоми додавання і множення - student2.ru Нехай Аксіоми додавання і множення - student2.ru і Аксіоми додавання і множення - student2.ru - дві множини, які складаються із дійсних чисел. Тоді, якщо Аксіоми додавання і множення - student2.ru , виконується нерівність Аксіоми додавання і множення - student2.ru , то існує принаймні одне дійсне число Аксіоми додавання і множення - student2.ru , для якого виконується нерівність Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

Зауваження. У множині лише раціональних чисел аксіома неперервності не виконується. Дійсно, нехай Аксіоми додавання і множення - student2.ru складається із множини раціональних чисел, таких, що Аксіоми додавання і множення - student2.ru , а Аксіоми додавання і множення - student2.ru − із множини раціональних чисел Аксіоми додавання і множення - student2.ru . Тоді Аксіоми додавання і множення - student2.ru виконується нерівність Аксіоми додавання і множення - student2.ru . Проте не існує раціонального числа Аксіоми додавання і множення - student2.ru , такого, щоб Аксіоми додавання і множення - student2.ru виконувалася б нерівність Аксіоми додавання і множення - student2.ru . Таким числом могло бути лише число Аксіоми додавання і множення - student2.ru , а воно, як відомо, ірраціональне.

Деякі властивості дійсних чисел

Наведемо деякі властивості дійсних чисел.

1. Число Аксіоми додавання і множення - student2.ru є розв'язком рівняння Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

Доведення. Підставимо в дане рівняння замість Аксіоми додавання і множення - student2.ru його значення:

Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

Згідно з Аксіоми додавання і множення - student2.ru

Згідно з Аксіоми додавання і множення - student2.ru

Згідно з Аксіоми додавання і множення - student2.ru

Згідно з Аксіоми додавання і множення - student2.ru

Зауваження. Число Аксіоми додавання і множення - student2.ru називається різницею чисел Аксіоми додавання і множення - student2.ru та Аксіоми додавання і множення - student2.ru і позначається Аксіоми додавання і множення - student2.ru . Зазначимо, що за умови Аксіоми додавання і множення - student2.ru різниця Аксіоми додавання і множення - student2.ru . Дійсно, якщо Аксіоми додавання і множення - student2.ru , то за Аксіоми додавання і множення - student2.ru Одержуємо Аксіоми додавання і множення - student2.ru , далі за Аксіоми додавання і множення - student2.ru Маємо Аксіоми додавання і множення - student2.ru , тобто Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

2. Число Аксіоми додавання і множення - student2.ru є розв'язком рівняння Аксіоми додавання і множення - student2.ru , якщо Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

Доведення. Підставимо в дане рівняння значення Аксіоми додавання і множення - student2.ru :

Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

Згідно з Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

Згідно з Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

Згідно з Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

Згідно з Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

Зауваження. Число Аксіоми додавання і множення - student2.ru називається часткою чисел Аксіоми додавання і множення - student2.ru й Аксіоми додавання і множення - student2.ru і позначається Аксіоми додавання і множення - student2.ru або Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

3. Якщо Аксіоми додавання і множення - student2.ru , то Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

Дійсно, оскільки Аксіоми додавання і множення - student2.ru , то Аксіоми додавання і множення - student2.ru . Отже, за Аксіоми додавання і множення - student2.ru Аксіоми додавання і множення - student2.ru , звідки одержуємо Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

Зокрема, якщо Аксіоми додавання і множення - student2.ru , то Аксіоми додавання і множення - student2.ru , а якщо Аксіоми додавання і множення - student2.ru , то Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

Дійсно, згідно з Аксіоми додавання і множення - student2.ru Аксіоми додавання і множення - student2.ru , далі за Аксіоми додавання і множення - student2.ru Аксіоми додавання і множення - student2.ru . Отже,

0= − 0.

4. Якщо Аксіоми додавання і множення - student2.ru і Аксіоми додавання і множення - student2.ru , то Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

Дійсно, якщо Аксіоми додавання і множення - student2.ru і Аксіоми додавання і множення - student2.ru , то за Аксіоми додавання і множення - student2.ru Аксіоми додавання і множення - student2.ru , Аксіоми додавання і множення - student2.ru . Далі згідно з Аксіоми додавання і множення - student2.ru Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

5. Якщо Аксіоми додавання і множення - student2.ru та Аксіоми додавання і множення - student2.ru , то Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

Дійсно, якщо Аксіоми додавання і множення - student2.ru , то згідно з Аксіоми додавання і множення - student2.ru Аксіоми додавання і множення - student2.ru і за 4 одержуємо: Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

6. Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

Це випливає з того, що Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

7. Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

Справді, Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

8. Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

Дана рівність доводиться так: Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

9. Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

Доведення: Аксіоми додавання і множення - student2.ru

Зокрема, Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

10. Якщо Аксіоми додавання і множення - student2.ru і Аксіоми додавання і множення - student2.ru , то Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

Дійсно, оскільки Аксіоми додавання і множення - student2.ru , то Аксіоми додавання і множення - student2.ru , а тому Аксіоми додавання і множення - student2.ru (згідно з Аксіоми додавання і множення - student2.ru ). Отже, Аксіоми додавання і множення - student2.ru , а звідси Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

11. Якщо Аксіоми додавання і множення - student2.ru та Аксіоми додавання і множення - student2.ru , то Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

Справді, оскільки Аксіоми додавання і множення - student2.ru , то Аксіоми додавання і множення - student2.ru , а тому Аксіоми додавання і множення - student2.ru (згідно з Аксіоми додавання і множення - student2.ru ). Отже, Аксіоми додавання і множення - student2.ru , а звідси маємо Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

12. Якщо Аксіоми додавання і множення - student2.ru , то Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

Це випливає з Аксіоми додавання і множення - student2.ru і 11.

За властивістю Аксіоми додавання і множення - student2.ru маємо: Аксіоми додавання і множення - student2.ru , тобто Аксіоми додавання і множення - student2.ru .

Надалі будемо використовувати й інші властивості дійсних чисел, не спиняючись на їх формальному доведенні.

Наши рекомендации