Свойства симметрии пространства и времени

Рассмотрим замкнутую систему.

Замкнутая система материальных точек – это система точек, взаимодействующих между собой и не взаимодействующих с точками, не принадлежащими, данной системе.

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru 1.Для замкнутой системы реализуется принцип однородности времени.

Это означает, что мы по временной оси начало отсчёта можем выбрать произвольно. Допустим, мы вели наблюдения в течение времени Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru ,этот отрезок времени можно на оси t взять в любом месте, процесс не изменится. Вследствие однородности времени для замкнутых систем функция Лагранжа явно не зависит от времени, т.е.

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

Найдём производную функции Лагранжа по времени:

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

Подставим второе уравнение в первое:

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

В силу уравнения движения Лагранжа:

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

Тогда:

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru - интеграл движения, но только для стационарных связей.

В случае многих степеней свободы:

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

В случае стационарных связей кинетическая энергия есть квадратичная форма скоростей.

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru - коэффициенты, имеющие не обязательно смысл массы.

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

В силу теоремы Эйлера об однородных функциях:

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

Однородность пространства.

Пространство называется однородным, если уравнения движения (эволюции) системы не зависят от трансляции (переноса как целого) системы в пространстве.

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru Уравнения движения замкнутой системы инвариантны относительно пространственных трансляций системы как целого. В этом случае реализуется закон сохранения импульса:

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru или Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru , Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru , Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

Для замкнутой системы:

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

Иногда системы, будучи не замкнутыми, допускают трансляции вдоль некоторых осей. Например, система в однородном поле силы тяжести, допускает трансляции, в плоскости ортогональной вектору напряжённости этого поля - Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru - у поверхности Земли.

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

Изотропность пространства.

Уравнения движения замкнутой системы не изменяются при вращении системы как целого относительно любой оси. Другими словами, уравнения движения инвариантны относительно вращения вокруг любой оси. В этом случае реализуется закон сохранения момента импульса:

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru - момент импульса материальной точки a.

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

Для незамкнутой системы существуют поля, допускающие вращение системы как целого относительно некоторых осей.

Пример:

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru Если выбрать z вдоль Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru , то систему можно вращать как целое вокруг z, в данном поле будет сохраняться проекция момента импульса на направление поля.

Рассмотрим теперь центральное поле. Например, гравитационное поле Земли (сферически симметричное).

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

Центр Земли – это центр поля тяготения. Вращение вокруг любой оси, проходящей через центр симметрии, не меняет уравнения движения.

С и l системы.

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru -система, это лабораторная система.

Для Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru -системы:

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru - момент импульса относительного движения, т.е. в Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru -системе.

Энергия:

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

Тогда:

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

Второе слагаемое здесь обращается в нуль, и мы получаем:

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru , где Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

Циклические координаты.

Считаем что пространство однородно и изотропно.

Пусть Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru -центр масс. Инвариантность Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru относительно трансляции системы как целого означает, что Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru не зависит от этих переменных, т.е.

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

Переменные, от которых функция Лагранжа явно не зависит, называются циклическими.

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru Если задать ориентацию системы как целого набором углов Эйлера и осуществить вращение системы как целого, то Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru не должна зависеть от этих углов:

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

В общем случае, если переменная Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru является циклической, то

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

Но тогда в силу уравнения движения Лагранжа:

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

а значит

Свойства симметрии пространства и времени - student2.ru

Таким образом, с помощью циклической координаты можно понизить число степеней свободы решаемой задачи.

Наши рекомендации