Найти массу пластинки D c плотностью

6.1. D: , , ,

, ( ).

6.2. D: , , ,

, ( ).

6.3. D: , , ,

, ( ).

6.4. D: , , ,

, ( ).

6.5. D: , , ,

, ( ).

6.6. D: , , ,

, ( ).

6.7. D: , , ,

, ( ).

6.8. D: , , ,

, ( ).

6.9. D: , , ,

, ( ).

6.10. D: , , ,

, ( ).

Задание 7.

Вычислите тройной интеграл от функции f (x; y; z) по телу Т, ограниченному заданными поверхностями.

7.1. ; T: , , , .

7.2. ; T: , , , .

7.3. ; T: , , , , , .

7.4. ; T: , , , , , .

7.5. ; T: , , , .

7.6. ; T: , , , .

7.7. ; T: , , , , .

7.8. ; T: , , , .

7.9. ; T: , , , .

7.10. ; T: , , .

Задание 8.

Вычислить объём тела, ограниченного указанными поверхностями, с помощью тройного интеграла.

8.1. , , .

8.2. , , ( ).

8.3. , , .

8.4. , , .

8.5. , , ( ).

8.6. , , ( ).

8.7. , , .

8.8. , , .

8.9. , , .

8.10. , , .

Задание 9.

Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей однородного тела Т с плотностью р = 1, ограниченного поверхностями:

9.1. , , , .

9.2. , , , ( ).

9.3. , , .

9.4. , .

9.5. , , , .

9.6. .

9.7. , , .

9.8. , .

9.9. , .

9.10. .

Комплект 3.

Задание 1.

Сведите двойной интеграл по области G к повторному двумя способами, если:

1. G – треугольник с вершинами (1; 1), (4; 1), (4; 4).

2. G – треугольник с вершинами (2; 1), (5; 2), (3; 7).

3. G – область, ограниченная кривыми ; .

4. G – треугольник со сторонами, лежащими на прямых

5. G – трапеция с вершинами (-1; 4), (5; 4), (1; 1), (4; 1).

6. G – трапеция с вершинами (-2; 0), (0; 6), (0; 3), (-1; 0).

7. G – трапеция с вершинами (-2; 3), (0; 6), (3; -3), (0; -3).

8. G – кольцо .

9. G – область, ограниченная кривыми и .

10. G – круг .

Задание 2.

Вычислить двойной интеграл от функции z = f (x; y) по области D.

2.1. , D: , , .

2.2. , D: , , , .

2.3. , D: , .

2.4. , D: , , , .

2.5. , D: , , .

2.6. , D: , , , .

2.7. , D: , .

2.8. , D: , , .

2.9. , D: , , .

2.10. , D: , , , .

Задание 3.

Вычислите двойные интегралы, перейдя к криволинейным координатам:

3.1. ; G: произвести замену переменных: .

3.2. ; G: произвести замену переменных: .

3.3. ; G: произвести замену переменных: .

3.4. ; ввести переменные: .

3.5. ; G: произвести замену переменных: .

3.6. ; G: произвести замену переменных: .

3.7. ; G: произвести замену переменных: .

3.8. ; G: произвести замену переменных: .

3.9. ; G: произвести замену переменных: .

3.10. ; G: выбрать надлежащую замену переменных.

Задание 4.

4.1. Найти площадь той части плоскости , которая заключена в первом октанте.

4.2. Найти площадь части плоскости , заключённой между координатными плоскостями.

4.3. Найти площадь части плоскости , вырезаемой цилиндром и плоскостями .

4.4. Найти полную поверхность тела, ограниченного цилиндрами и плоскостью .

4.5. Найти площадь части поверхности конуса , вырезаемой плоскостями .

4.6. Найти площадь части поверхности цилиндра , вырезаемой цилиндром .

4.7. Найти площадь части сферы , заключённой внутри конуса .

4.8. Найти площадь части параболоида , заключённой между параболоидами и .

4.9. Найти площадь части сферы , расположенной между плоскостями и .

4.10. Найти площадь части сферы , вырезанной цилиндром .

Задание 5.

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривыми:

5.1. .

5.2. .

5.3. .

5.4. .

5.5. .

5.6. .

5.7. .

5.8. .

5.9. .

5.10. .

Задание 6.

Вычислить тройной интеграл по телу Т в цилиндрических координатах:

6.1. , T: .

6.2. , T: .

6.3. , T: .

6.4. , T: .

6.5. , T: .

6.6. , T: .

6.7. , T: .

6.8. , T: .

6.9. , T: .

6.10. , T: .

Задание 7.

Вычислить объём тела, ограниченного указанными поверхностями, с помощью тройного интеграла.

7.1. .

7.2. .

7.3. .

7.4. .

7.5. .

7.6. .

7.7. .

7.8. .

7.9. .

7.10. .

Задание 8.

Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями:

8.1.

8.2.

8.3.

8.4.

8.5.

8.6.

8.7.

8.8.

8.9.

8.10.

Задание 9.

9.1. Пластинка лежит в плоскости XY, занимая область D, ограниченную кривыми , , . На пластинке распределен электрический заряд с поверхностной плотностью . Найти полный заряд пластинки.

9.2. Пластинка лежит в плоскости XY, занимая область D, ограниченную следующими линиями: , , . На пластинке распределен электрический заряд с поверхностной плотностью . Вычислить полный заряд пластинки.

9.3. Пластинка лежит в плоскости XY, занимая область D, ограниченную кривыми , , , . Удельная теплоемкость пластинки меняется по закону . Найти количество тепла, получаемое при её нагревании от температуры до температуры .

9.4. С какой силой плоский диск радиусом R и массой M притягивает материальную точку массой m, которая лежит на прямой, перпендикулярной диску и проходящей через его центр, на расстоянии a от центра.

9.5. Пластинка в форме треугольника погружена вертикально в воду так, что ее основание лежит на поверхности воды. Основание пластинки а, высота h. Вычислить силу давления воды на каждую из сторон пластинки.

9.6. Прямой круговой цилиндр погружен в наполненный жидкостью сосуд так, что его середина – точка М – находится на глубине с под поверхностью жидкости, а ось цилиндра составляет с вертикалью угол . Длина цилиндра равна l, радиус основания а. Вычислить давление на нижнее и верхнее основания цилиндра, если плотность жидкости равна .

9.7. Пластинка, имеющая форму полукруга радиусом а, погружена вертикально в жидкость так, что горизонтальный диаметр AB, служащий ее основанием, находится внутри жидкости, а вершина О полукруга соприкасается с поверхностью жидкости. Вычислить давление на пластинку, если плотность жидкости равна .

9.8. Определить силу давления воды на боковую стенку цилиндрического сосуда , , если уровень воды .

9.9. Найти силу, с которой однородный цилиндр плотностью притягивается к центру своего основания, если радиус основания цилиндра равен R и высота равна Н.

9.10. Найти силу, с которой однородный конус плотностью притягивается его вершиной, если радиус основания конуса равен R, а длина образующей равна l.

Расчетное задание 2

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Комплект 1

Задание 1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции f (x , y) по длине дуги L

уравнениям y = (х) , a x b

1.1 f (x , y)= x ; L : y=ln x ; 1 x 2

1.2 f (x , y) = y ; L : y = 2x от точки А(0;0) до точки В(2; 2)

1. 3 f (x , y) = ; L : отрезок прямой соединяющий точки A ( 0;-2) и B (4;0)

1.4 f (x , y) = x + y ; L : граница треугольника с вершинами A(1;0) , B(0;1)

1.5 f (x , y) = ; L : -отрезок прямой соединяющий точки О (0;0) и A(1;2)

1.6 f (x , y) = x+2y ; L : отрезок прямой от точки A(1;1) до точки B(5;3)

1.7 f (x , y) = ; L : y = - от точки A(0;0) до точки B(1;0,6)

1.8 f (x , y) = ; L : отрезок прямой соединяющий точки A(-1;0) и B (2;0)

1.9 f (x, y) = 2x-y ; L : отрезок прямой соединяющий точки A(2;2) и B(1;-3)

1.10 f (x, y) = x ; L : y = x , 0 x 4

Задание 2. Вычислить криволинейные интегралы первого рода от функции f( x,y,z) по длине дуги L , заданной параметрическими уравнениями .

2.1 ; L : первый виток винтовой линии

x = 2cos t , y = 2sin t , z = t

2.2 ; L : первая арка циклоиды

x = a(t – t sin t) , y = a(1 – cos t)

2.3 ; L – первый виток винтовой линии

x = a cos t , y = a sin t , z = bt

2.4 ; L : x = a(cos t + t sin t) , y = a(sin t – t cos t) 0 t 25

2.5 ; L : часть винтовой линии

x = a cos t , y = a sin t , z = bt , 0 t 2

2.6 ; L : коническая винтовая линия

x = t cos t , y = t sin t, z = t , 0 t 2

2.7 ; L : арка циклоиды

x = a(1-sin t) , y = a(1-cos t) , 0 t 2

2.8 ; L : x = a ch t , y = a sh t , 0 t

2.9 ; L : x = a cos t , y = b sin t

2.10 L : дуга кривой x = t cos t , y = t sin t , z = t , 0 t 2

Задание 3 . Вычислить криволинейные интегралы второго рода , P ,Q и L заданы ниже :

3.1 P= xy , Q = y –x ; L : дуга y= x от точки

A(-1;1) до точки B(-2;4)

3.2 P = x + y , Q = 2xy ; L : дуга y = x от точки

A(1;1) до точки B(2;8)

3.3 P = x - 2xy , Q = 2xy + y ; L : дуги y = x от точки

A(1;1) до точки B(2;4)

3.4 P = 2y ; Q = 3x – y ; L : дуга y = от точки

A(1;1) до точки B(4;2)

3.5 P = x - y ; Q = y - x ; L : отрезок прямой от

точки A(0;0) до точки B(3;4)

3.6 P = 3x y + 1 ; Q = x + 2 ; L : дуга y = 2 от точки

A(0;0) до точки B(1;2)

3.7 P = y + x ; Q = ; L : дуга y = e от точки

A(0;1) до точки B(1; e)

3.8 P = ; Q = x ; L : дуга y = ln x от точки

A(1;0) до точки B( e ; 1)

3.9 P = y - x ; Q = x y ; L : отрезок прямой от

точки A(1;2) до точки B(3;4)

3.10 P = y cos x , Q = x sin y ; L : отрезок прямой от точки A(0;0) до точки B( ; )

Задание 4. Используя формулу Грина вычислить