Домашнее задание 12

В задачах 12.5 - 12.7 исследовать взаимное расположение заданных прямых L₁ и L₂. Найти:

1) расстояние r между прямыми, если они параллельны;

2) cosj (j - угол между прямыми) и точку пересечения прямых в противном случае.

12.5. L₁: x + y – 1 = 0, L₂: 2x – 2y + 1 = 0.

12.6. L₁: x + y – 1 = 0, L₂: .

12.7. L₁: – x + 2y + 1 = 0, L₂: 2x – 4y – 2 = 0.

12.8. Треугольник ABC задан координатами своих вершин:

A(2, – 2),B(6, 1),C(– 2, 0). Требуется:

а) написать уравнение стороны AB;

б) написать уравнение высоты CD и вычислить ее длину h_c;

в) найти угол j между высотой CD и медианой BM.

12.9. Показать, что точка (– 1, 2) принадлежит прямой L: x = 2t, y = – 1 – 6t. Найти соответствующее этой точке значение параметра t.

12.10. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M_o (– 2, 3) на одинаковых расстояниях от точек M₁(5, – 1) и M₂(3, 7).

Дополнительное задание 12

12.11. При каких значениях a следующие пары прямых параллельны и перпендикулярны?

а) 2x – 3y + 4 = 0 и ax – 6y + 7 = 0;

б) ax – 4y + 1 = 0 и – 2x + y + 2 = 0;

в) 4x + y – 6 = 0 и 3x + ay – 2 = 0;

г) x – ay + 5 = 0 и 2x + 3y + 3 = 0.

12.12. Найти уравнение прямой, проходящей через точку A(–1; 2):

а) параллельно прямой y = 2x – 7;

б) перпендикулярно прямой x + 3y – 2 = 0.

12.13. Через точку пересечения прямых 3x – 2y + 5 = 0,

x + 2y – 9 = 0 проведена прямая, параллельная прямой 2x + y + 6 = 0. Составить ее уравнение.

12.14. Найти координаты точки M₂, симметричной точке

M₁(– 3; 4) относительно прямой 4x – y – 1 = 0.

12.15. Найти площадь треугольника, образованного прямыми:

2x + y + 4 = 0, x + 7y – 11 = 0 и 3x – 5y – 7 = 0.

Ответы к занятию 12

12.1. (– 3/4, – 1/2), cos j = 1/ . 12.2. (1, 0), cosj = 2/ .

12.3. а) AB: ; б) CD: , h_c = 19/ ;

в) cosj = 19/ .

12.5. Перпендикулярны.12.6. Параллельны, r = . 12.7. Совпадают.

12.8. а) AB: ; б) CD: , h_c = 4; в) cos j = 1/ .

12.9. t = – 1/2.12.10. x – 4y + 8 = 0.

12.11. а) 4; – 9; б) 8; – 2;в) 3/4; – 12; г)– 3/2; 2/3.

12.12. а)2x – y + 4 = 0; б) 3x – y + 5 = 0. 12.13.2x + y – 6 = 0.

12.14.(5; 2). 12.15. 13.

Занятие 13. Плоскость в пространстве

Изучаемый материал: общее уравнение; неполные уравнения; уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному направлению; уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки; уравнение в отрезках; взаимное положение двух плоскостей; угол между двумя плоскостями; условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

1.Разные задачи	13.1 - 13.5	13.9 - 13.13	13.17 - 13.23
2. Взаимное расположение плоскостей	13.6, 13.7	13.14, 13.15
3. Объем пирамиды	13.8	13.16

13.1. Заданы плоскость P: – 2x + y – z + 1 = 0 и точка M(1, 1, 1). Написать уравнение плоскости P', проходящей через точку M параллельно плоскости P, и вычислить расстояние r между плоскостями.

13.2. Написать уравнение плоскости P', проходящей через заданные точки M₁(1, 2, 0) и M₂(2, 1, 1) перпендикулярно заданной плоскости P: – x + y – 1 = 0.

13.3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M(1, 1, 1) параллельно векторам a = (0, 1, 2) и b = (– 1, 0, 1).

13.4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки A(1, 2, 0) и

B(2, 1, 1) параллельно вектору a = (3, 0, 1).

13.5. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки A(1, 2, 0), B(2, 1, 1) и C(3, 0, 1).

В задачах 13.6 и 13.7 исследовать взаимное расположение плоскостей P₁ и P₂. В случае параллельности плоскостей найти расстояние r между ними, в противном случае - косинус угла между ними.

13.6. P₁: – x + 2y – z + 1 = 0, P₂: y + 3z – 1 = 0.

13.7. P₁: 2x – y + z – 1 = 0, P₂: – 4x + 2y – 2z – 1 = 0.

13.8.Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью

P: 2x – 3y + 6z – 12 = 0 и координатными плоскостями.