Подбор сечения составного стержня (вала)

РАБОТАЮЩЕГО НА КРУЧЕНИЕ (ЗАДАЧА № 10)

Условие задачи

Имеется стержень, расчетная схема которого представлена на рис. 3.5, а. Стержень нагружен внешними парами подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru , подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru , подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru . Левый участок стержня выполнен из чугуна и имеет прямоугольное сечение с заданным соотношением сторон подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru ; правый участок выполнен из стали и имеет круглое сечение. Известны характеристики прочности материалов: подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru ( подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru ) для чугуна и подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru для стали; упругие постоянные материалов - подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru , n; допускаемый погонный угол закручивания подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru .

Требуется:

1) подобрать размеры поперечных сечений стержня так, чтобы выполнялись условия прочности и жесткости на каждом участке стержня;

2) построить эпюру изменения угла закручивания по длине стержня.

Решение

подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru Рис. 3.5. К решению задачи № 10: а – расчетная схема стержня; б, в – эпюры крутящих моментов и углов закручивания

Строим эпюру крутящих моментов, используя метод сечений. Крутящий момент на каждом участке находим как алгебраическую сумму моментов внешних пар, расположенных справа от сечения. (В этом случае можно построить эпюру Мк без определения реактивного момента, возникающего в защемлении.) Крутящий момент на крайнем правом участке равен подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru , на среднем - подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru и на левом - подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru . Эпюра крутящих моментов показана на рис. 3.5, б.

Подбираем размеры сечения стержня из условия прочности. На чугунном участке стержня подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru и из условия прочности (3.13), определяя подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru по формуле (3.5), находим минимально необходимую величину момента сопротивления кручению: подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru и, зная подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru , определяем ширину сечения подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru из формулы (3.11): подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru . (Значение [t] высчитываем либо по второй теории прочности (3.14), либо по (3.15) – теории Мора.)

Для стального участка опасным является сечение, где действует максимальный крутящий момент, т. е. в данном примере подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru , и из условия прочности (3.13) находим требуемый полярный момент сопротивления

подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru ,

где [t] определяем по теориям прочности, справедливым для пластичного материала (3.16) или (3.17). Зная подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru , ищем радиус поперечного сечения, используя формулу (3.8) для полярного момента сопротивления

подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru .

Полученные размеры рекомендуем округлить в большую сторону до 0,1 мм.

Проверим, выполняется ли для найденных из условия прочности размеров поперечных сечений условие жесткости. Сосчитаем геометрические характеристики подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru и подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru по формулам (3.8) и (3.10) и модули сдвига чугуна и стали по (3.12).На чугунном участке стержня должно выполняться условие

подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru .

На стальном участке должно быть

подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru .

Если условие жесткости на каком-то участке не выполняется, то следует увеличить размеры сечения. Из условия жесткости находим минимально необходимую геометрическую характеристику жесткости для прямоугольного сечения:

подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru

и требуемый полярный момент инерции для круглого сечения

подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru .

Зная подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru и подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru , определяем по формулам (3.10) и (3.8) размеры поперечного сечения, удовлетворяющие условию жесткости

подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru и подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru .

Окончательно размеры, удовлетворяющие двум условиям (и условию прочности, и условию жесткости), и соответствующие им геометрические характеристики сечений используем в дальнейших расчетах.

Построим эпюры касательных напряжений в поперечных сечениях стержня (рис. 3.2 и 3.4), сосчитав значения напряжений по формуле (3.2) для круглого сечения и по формулам (3.5) , (3.6) для прямоугольного сечения. Заметим, что по найденным значениям напряжений можно проверить свои вычисления, а именно, если размеры сечения были определены из условия прочности, то значения максимальных касательных напряжений должны быть близки к допускаемым. Если же размер сечения находился из условия жесткости, то максимальные напряжения будут меньше допускаемых касательных напряжений.

Построим эпюру углов закручивания. Углы закручивания на каждом участке стержня вычисляются по формулам (3.3) или (3.7). При этом следует учитывать знак крутящего момента. Построение эпюры углов закручивания следует начинать, определив угол закручивания q1–0 сечения 1–1 (рис. 3,5, а) по отношению к неподвижному сечению 0–0 (заделке). Например, в рассматриваемом примере

подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru .

Угол закручивания q2–1 сечения 2–2 по отношению к сечению 1–1 найдем по формуле (3.3):

подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru .

Аналогично находится угол закручивания q3–2 сечения 3–3 по отношению к сечению 2–2. На эпюре q откладываем полные углы закручивания сечений по отношению к неподвижному сечению, т. е.

подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru , подбор сечения составного стержня (вала) - student2.ru .

Вид эпюры углов закручивания зависит от того, найдены ли размеры поперечного сечения из условия прочности или из условия жесткости. На рис. 3.5, в показан вид эпюры q, построенной в предположении, что размеры поперечных сечений найдены из условия прочности. В этом случае угол наклона эпюры q на каждом участке прямо пропорционален величине крутящего момента и обратно пропорционален жесткости стержня при кручении (GIp, GIк). Если размеры сечений на всех участках получены из условия жесткости, то угол наклона эпюры q на опасных участках должен быть одинаковым.

Наши рекомендации