Б) общее и частное решения ДУ: , .

Решение.

Тип ДУ первого порядка устанавливают по форме его записи.

1а) Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, так как его можно записать в виде

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Действительно, осуществив в исходном уравнении замену Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru и умножив его затем на Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , получим: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , т.е. уравнение с разделяющимися переменными.

Нахождение общего решения уравнения Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , путём деления обеих его частей на Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , сводится к интегрированию уравнения с разделёнными переменными Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , где Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , общее решение которого записывается в виде Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Разделим обе части уравнения Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru на множитель Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , получим ДУ с разделёнными переменными: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Общее решение последнего уравнения найдём интегрированием каждого слагаемого по своей переменной и запишем в виде:

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , где Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru - произвольная постоянная.

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка должно обязательно содержать одну произвольную постоянную.

Вычислим интегралы (с точностью до постоянного слагаемого):

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru ,

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Тогда общее решение дифференциального уравнения запишется в виде:

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Ответ: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , где Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru - произвольная постоянная.

2а) Данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка, так как его можно записать в виде Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru . Действительно, выполнив преобразования: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , получим Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

При выполнении преобразований однородного ДУ первого порядка к виду Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru следует учесть, что Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Нахождение общего решения однородного ДУ первого порядка с помощью подстановки Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru или Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , где Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru - новая неизвестная функция, сводится к нахождению общего решения ДУ с разделяющимися переменными относительно функции Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru с последующей заменой Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

С помощью подстановки Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru уравнение Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru или Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru приведём к ДУ с разделяющимися переменными Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru относительно новой неизвестной функции Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru . Получим: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Последнее уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными. Сведём его, разделив обе части уравнения на множитель Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru к уравнению с разделёнными переменными. Получим: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Общее решение последнего уравнения найдём интегрированием каждого слагаемого по своей переменной и запишем в виде:

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , где Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru - произвольная постоянная.

Вычислим интегралы (с точностью до постоянного слагаемого):

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru ;

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Тогда общее решение последнего дифференциального уравнения запишется в виде: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru или, используя свойства логарифмов, в виде: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , где Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru - новая произвольная постоянная.

Теперь в найденном решении вернёмся к старой неизвестной функции Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , выполнив обратную замену Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru . В итоге получим:

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru или Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Ответ: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , где Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru - произвольная постоянная.

б)Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) первого порядка, так как его можно записать в виде Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , где Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Сначала найдем общее решение линейного ДУ первого порядка. Его ищем в виде Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , где Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru и Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru - новые неизвестные функции.

Общее решение ЛДУ 1-го порядка находится с помощью подстановки Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , где Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru - новые неизвестные функции. Одну из них, например Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , находят в виде Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , где Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru - какая-нибудь первообразная для функции Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , тогда другую неизвестную функцию Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru находят в виде общего решения ДУ: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru . В итоге будет найдено и общее решение исходного уравнения в виде Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru

Частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru получают из общего решения данного уравнения при конкретном значении произвольной постоянной Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru . Находят Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru как решение уравнения, получаемого подстановкой в общее решение начального условия.

Функцию Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru найдём в виде Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , где Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru - какая-нибудь первообразная для функции Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru . Вычислив интеграл, получим Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru . Тогда Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Простейшим ДУ первого порядка называется уравнение вида Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru . Общее решение такого уравнения находится интегрированием и записывается в виде Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Функцию Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru найдём как общее решение ДУ: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , где Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru . Данное уравнение Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru является простейшим ДУ первого порядка. Его общее решение найдём интегрированием и запишем в виде Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru . Вычислив интеграл (с точностью до постоянной), получим: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Таким образом Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Тогда общее решение исходного уравнения запишется в виде:

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Теперь найдём частное решение, удовлетворяющее начальному условию Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .Его получим из общего решения Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru при конкретном значении произвольной постоянной Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , которое найдём из уравнения, полученного подстановкой начального условия Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ruв общее решение. В результате получим: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru . Тогда частное решение исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , запишется в виде: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Ответ: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru - общее решение; Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru частное решение.

141-150.Требуется найти:

а)общеерешениепростейшего ДУ 2-ого порядка Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru;

б)общее и частное решения однородного линейного ДУ 2-ого порядка с постоянными коэффициентами: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru ;

в) общее решение линейного ДУ 2-ого порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Решение а).

Общее решение простейшего ДУ второго порядка Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru находят, выполняя последовательно два интегрирования, и записывают в виде:

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Общее решение дифференциального уравнения второго порядка должно обязательно содержать две разные произвольные постоянные.

Данное уравнение дважды проинтегрируем. После первого интегрирования получим: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru . Интеграл вычислим (с точностью до постоянного слагаемого) методом интегрирования по частям. Получим:

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru . Тогда Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

После второго интегрирования получим: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Вычислим интегралы (с точностью до постоянного слагаемого). Получим:

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru ;

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru ; Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Тогда Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Ответ: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Решение б).Сначала найдём общее решение ДУ в виде: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , где Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru - фундаментальная система его частных решений.

Общее решение однородного линейного ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru имеет вид Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , где Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru - фундаментальная система его частных решений; Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru -произвольные постоянные.

Фундаментальная система решений Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru строится на основе характера корней характеристического уравнения Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru . А именно:

1) если Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru - пара различных действительных корней характеристического уравнения, то ФСР имеет вид Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru ;

2) если Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru - пара одинаковых Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru действительных корней, то ФСР имеет вид Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru ;

3) если Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru - пара комплексно-сопряжённых корней, то ФСР имеет вид Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Корни характеристического уравнения Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , являющегося квадратным, находят на множестве комплексных чисел по формулам:

1) если дискриминант уравнения Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , то Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru ;

2) если дискриминант уравнения Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , то Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Для нахождения ФСР, составим характеристическое уравнение Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru для данного дифференциального уравнения и найдём его корни на множестве комплексных чисел. Так как дискриминант Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , то Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , т.е. характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, ФСР имеет вид Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Тогда общее решение данного ДУ запишется в виде: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Теперь найдём частное решение данного ДУ, удовлетворяющее начальным условиям: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru . Для этого сначала найдём производную Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru общего решения: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru . Затем подставим начальные данные в выражения для общего решения и его производной, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения значений произвольных постоянных Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru и Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru :

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Решив систему, найдём: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru . Тогда частное решение данного ДУ запишется в виде: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Ответ: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru ; Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Решение в).

Общее решение неоднородного ЛДУ 2-го порядка Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru имеет вид Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , где Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru - общее решение соответствующего однородного уравнения, Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru - какое-нибудь частное решение данного неоднородного уравнения.

Частное решение Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru уравнения с правой частью специального вида Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru ищется методом неопределённых коэффициентов в виде Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , где Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , если число Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru не является корнем характеристического уравнения, и Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru равно кратности корня Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru в противном случае; Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru и Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru - полные многочлены степени Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru с неопределёнными коэффициентами. Примерами полных многочленов с неопределёнными коэффициентами степени Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru соответственно являются: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru ,…. Для нахождения коэффициентов многочленов Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru и Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , надо подставить решение Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru в неоднородное дифференциальное уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях полученного равенства. В результате получим систему уравнений, решив которую, найдём значения коэффициентов.

Общее решение данного ДУ найдём в виде: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , где Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru - фундаментальная система частных решений соответствующего ему однородного ДУ: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru ; Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru - какое-нибудь частное решение данного неоднородного дифференциального уравнения.

Сначала найдём ФСР Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru соответствующего однородного ДУ Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru . Для этого составим характеристическое уравнение Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru для данного однородного дифференциального уравнения и найдём его корни на множестве комплексных чисел. Так как дискриминант Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , то Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , т.е. характеристическое уравнение имеет два одинаковых действительных корня. Следовательно, ФСР имеет вид Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Затем найдём частное решение Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru неоднородного уравнения Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru ,имеющегоправую часть специального вида Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , где Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru . Частное решение найдём в виде Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , где Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , если число Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru не является корнем характеристического уравнения, и Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru равно кратности корня Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru в противном случае; Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru и Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru - полные многочлены степени Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru с неопределёнными коэффициентами. В данном случае: число Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru не является корнем характеристического уравнения, поэтому Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru ; Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , поэтому Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , где Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru - неизвестные постоянные, подлежащие определению. Таким образом, частное решение с неизвестными постоянными запишется в виде:

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Для определения значений постоянных Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru и Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , найдём производные Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru

и подставим выражения для Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru вместо Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru в неоднородное уравнение Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .Учитывая, что:

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru ,

получим: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Приравняв, в правой и левой части полученного равенства, постоянные коэффициенты, стоящие при одинаковых функциях, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru и Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru : Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru . Решив систему, найдём: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru . Частное решение Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru запишется тогда в виде: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Теперь запишем общее решение исходного уравнения в виде:

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Ответ: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Раздел V. Теория вероятностей и математическая статистика.

151-160. Требуется найти вероятности указанных событий, используя

классическое определение вероятности:

а)Бросаются два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях – четная, причем на грани хотя бы одного из кубиков появится шестерка.

б) В урне находятся 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом из урны вынимают 4 шара. Найти вероятности того, что среди вынутых шаров окажутся: «2 белых шара»; «не более одного белого шара»; «хотя бы один белый шар».

При классическом определении вероятность случайного события Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru определяется равенством: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , где Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru - число элементарных (далее неделимых и взаимно исключающих друг друга) исходов эксперимента, благоприятных появлению события Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru ; Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru - общее число равновозможных элементарных исходов эксперимента. Равновозможность элементарных исходов обеспечивается такими условиями проведения эксперимента (опыта, испытания), при выполнении которых можно считать, что ни один из исходов не является объективно более возможным, чем другие.

Если событие Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru определяется словами «хотя бы один…», то непосредственное нахождение Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru по формуле классического определения вероятности приводит обычно к громоздким вычислениям. Проще сначала найти вероятность события Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , противоположного событию Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru и определяемого словами «ни один…», а затем, используя формулу для вероятностей противоположных событий: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , вычислить вероятность искомого события.

Для нахождения вероятности события по формуле Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru необходимо:

1) Рассмотреть событие Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , вероятность которого следует найти.

2) Правильно определить, что является в данном испытании элементарным исходом.

3) Найти общее число Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru элементарных исходов, предварительно выписав их все непосредственно. Если выписать все элементарные исходы не представляется возможным из-за их чрезмерного количества, то при подсчете их числа используют правила и формулы комбинаторики.

4) Установить какое число Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru элементарных исходов данного испытания благоприятствуют появлению события Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Решение.

а) Рассмотрим событие Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru {сумма очков на выпавших гранях – четная, причем на грани хотя бы одного из кубиков появится шестерка}.

Элементарными исходами данного испытания (подбрасывание двух игральных кубиков) являются всевозможные комбинации очков: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , которые могут появиться на верхних гранях двух кубиков.

Общее число элементарных исходов Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru данного испытания найдём, используя правило умножения комбинаторики.

Пусть Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru – действия из некоторого конечного множества действий.

Правило умножения. Если действие Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru можно выполнить Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru способами и, после каждого такого выполнения, действие Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru можно выполнить Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru способами, то последовательное выполнение пары действий Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru и Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru можно осуществить Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru способами.

На каждом игральном кубике 6 граней, поэтому возможны шесть исходов бросания каждого из них. Если испытание представить в виде последовательно выполняемых подбрасываний кубиков, то первое подбрасывание можно выполнить Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru способами, второе подбрасывание - Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru способами, тогда последовательно выполняемое подбрасывание двух кубиков можно осуществить Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru способами.

Общее число элементарных исходов Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru можно найти и, выписав непосредственно все возможные исходы испытания:

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

Теперь найдём число элементарных исходов Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru данного испытания, благоприятных событию Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , выписав их непосредственно. Такими исходами, очевидно, являются: (2,6); (4,6); (6,2); (6,4); (6,6). Их число Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Тогда искомая вероятность Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Ответ: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

б) Рассмотрим события: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru {среди четырёх вынутых шаров - 2 белых}, Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru {среди четырёх вынутых шаров – не более одного белого шара}, Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru {среди четырёх вынутых шаров - хотя бы один белый шар}.

Элементарными исходами данного испытания (случайное вынимание четырех шаров) являются всевозможные комбинации по 4 шара из находящихся в урне 11 шаров.

Для подсчёта общего числа элементарных исходов Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru данного испытания и чисел Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru элементарных исходов, благоприятных событиям Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , используем правила и формулы комбинаторики.

Пусть Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru – действия из некоторого конечного множества действий.

Правило сложения. Если действие Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru можно выполнить Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru способами, действие Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru - другими Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru способами, отличными от первых Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , то выполнение одного из действий: или Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , или Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru (но не двух одновременно) можно осуществить Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru способами.

Сочетаниями из Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru элементов по Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru называются всевозможные комбинации элементов, отличающиеся друг от друга только составом элементов. Они рассматриваются как элементарные исходы эксперимента, состоящего в одновременном неупорядоченном выборе без возвращения Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru элементов из Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru различных элементов, а их общее число Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru определяется формулой:

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , где Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Общее число элементарных исходов Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru данного испытания, очевидно, равно числу всевозможных неупорядоченных комбинаций по 4 шара из находящихся в урне 11 шаров, т.е. числу сочетаний Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru . Тогда:

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Подсчитаем теперь число элементарных исходов Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru благоприятных событиям Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , соответственно.

Событие Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru {среди четырёх вынутых шаров - 2 белых} означает, что среди вынутых шаров – «2 белых и 2 черных шара». Следовательно, благоприятными событию Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru являются всевозможные комбинации по 4 шара (два белых и два черных шара) из находящихся в урне 11 шаров. Их число Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru найдём, используя правило умножения комбинаторики. Представим для этого выбор четырёх шаров в виде двух последовательно выполняемых действий: сначала выбор двух белых шаров из имеющихся в урне 6 белых шаров и затем выбор двух чёрных шаров из имеющихся в урне 5 чёрных шаров. Получим: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru . Тогда: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru

Событие Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru {среди четырёх вынутых шаров – не более одного белого шара} означает, что среди вынутых шаров - или «один белый и три черных шара», или «четыре чёрных шара». Следовательно, благоприятствующими событию Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru являются всевозможные комбинации по 4 шара (один белый и три черных или четыре черных шара) из находящихся в урне 11 шаров. Их число Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru найдём, используя правила сложения и умножения комбинаторики. Сначала, используя правило умножения комбинаторики, найдём число способов выбрать один белый и три черных шара. Получим Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru . Затем, используя правило умножения комбинаторики, найдём число способов выбрать 4 чёрных шара. Получим Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru . Теперь, используя правило сложения комбинаторики, найдём число Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru способов выбрать или один белый и три чёрных шара, или четыре чёрных шара. Получим Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru . Тогда Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Событие Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru {среди четырёх вынутых шаров-хотя бы один белый шар} определяется словами «хотя бы один…». Прямое решение задачи, учитывая, что событие Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru означает, среди вынутых шаров: или «один белый и три черных шара», или «два белых и два черных шара», или «три белых и один черный шар», или «четыре белых шара», приводит к громоздким вычислениям. Поэтому сначала найдём вероятность противоположного события Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru ={среди вынутых четырёх шаров нет ни одного белого шара, т.е. все шары – черные}. Получим Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , тогда Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru . Затем по формуле Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru найдём вероятность искомого события: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Ответ: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru ; Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru ; Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

161-170.Требуется найти вероятности указанных событий, используя:

а) формулы сложения и умножения вероятностей;

б) формулу Бернулли;

а) Экзаменационная сессия состоит из трёх экзаменов. Студент оценивает свои шансы успешно сдать экзамены следующим образом: вероятность сдать первый экзамен - 0.8, второй – 0.9, третий – 0.7. Найти вероятности того, что студентом будут успешно сданы: «все три экзамена», «по крайней мере два экзамена», «хотя бы один экзамен». Предполагается, что сдача экзаменов – независимые события.

б) В урне 15 белых и 10 черных шаров. Из урны вынимают подряд 5 шаров, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из пяти вынутых шаров окажется не более двух белых.

Решение а).

Сложным называют событие, наблюдаемое в эксперименте и выражаемое через другие наблюдаемые в том же эксперименте события с помощью допустимых алгебраических операций над событиями.

Вероятность осуществления того или иного сложного события вычисляется с помощью формул умножения вероятностей:

1) Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru ;

2) Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru (для независимых событий)

и формул сложения вероятностей:

3) Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru ;

4) Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru (для несовместных событий).

События Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru и Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru называют несовместными, если Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru . Несовместными событиями являются, например, элементарные исходы эксперимента.

События Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru и Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , называются независимыми, если выполняется равенство Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , в противном случае они называются зависимыми. Часто, независимость событий определяется условиями проведения эксперимента.

Для решения задач с использованием формул сложения и умножения вероятностей следует:

1) рассмотреть «сложное» событие, вероятность которого нужно вычислить;

2) выразить «сложное» событие, посредством допустимых алгебраических операций, через наблюдаемые в том же эксперименте «простые» события, вероятности которых известны или легко определяются из условий задачи, например, по формуле классического определения вероятности;

3) вычислить вероятность «сложного» события с помощью формул сложения и умножения вероятностей, учитывая зависимость или независимость, совместность или несовместность составляющих его событий.

Рассмотрим «сложные» события: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru {студент успешно сдаст все три экзамена}, Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru {студент успешно сдаст по крайней мере два экзамена из трёх}, Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru {студент успешно сдаст хотя бы один экзамен из трех}.

Выразим сначала «сложные» события Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru через «простые» события: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru {студент успешно сдаст первый экзамен}, Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru {студент успешно сдаст второй экзамен}, Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru {студент успешно сдаст третий экзамен}, вероятности которых известны и равны: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru . Затем вычислим вероятности Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , используя формулы сложения и умножения вероятностей, учитывая при этом зависимость и независимость, совместность и несовместность составляющих событий.

Событие Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru представим в виде Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru . Тогда, учитывая независимость событий Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , по формуле умножения вероятностей для независимых событий получим: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Событие Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru означает, очевидно, что студент сдаст или все три экзамена, или только любые два экзамена из трёх. Следовательно:

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru + Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru + Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru ,

где Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru - события, противоположные к событиям Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru : Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru {студент не сдаст первый экзамен}, Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru {студент не сдаст второй экзамен}, Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru {студент не сдаст третий экзамен}, вероятности которых:

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Тогда, учитывая несовместность событий Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , являющихся элементарными исходами эксперимента (экзаменационной сессии), а также независимость событий Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , используя формулы сложения (для несовместных событий) и умножения вероятностей (для независимых событий), получим:

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru

Событие Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , определяемое словами «хотя бы один», означает, что студент сдаст или все три экзамена, или только любые два экзамена из трёх, или только любой один экзамен из трёх. Прямое вычисление вероятности данного события приводит к громоздким вычислениям. Поэтому, сначала найдём вероятность противоположного события Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru ={студент не сдаст ни одного экзамена}, представляемого в виде Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru . Учитывая независимость событий Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , по формуле умножения вероятностей для независимых событий получим: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Тогда Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Ответ: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Решение б).

Схемой Бернулли называют последовательность испытаний, удовлетворяющую условиям: 1) результатом каждого испытания является один из двух возможных исходов: «успех» (появление некоторого события Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru ) и «неудача»; 2) испытания являются независимыми, т.е. вероятность «успеха» в каждом следующем испытании не зависит от результатов предыдущих испытаний; 3) вероятность «успеха» во всех испытаниях одинакова и равна Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Вероятность Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru того, что в Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru испытаниях по схеме Бернулли произойдёт ровно Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru «успехов», определяется формулой Бернулли:

Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru .

Следствием формулы Бернулли является формула: Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru - вероятность того, что в Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru испытаниях по схеме Бернулли «успех» наступит хотя бы один раз.

Для решения задач с использованием формулы Бернулли следует:

1) установить, что эксперимент представляет собой схему Бернулли (вероятности событий, связанных с таким экспериментом, всегда можно выразить через вероятности Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , вычисляемые по формуле Бернулли);

2) рассмотреть событие Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , которое может наступить или не наступить в каждом испытании и вычислить его вероятность Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru ;

3) рассмотреть событие Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru , вероятность которого нужно найти и которое состоит в том, что событие Б) общее и частное решения ДУ: , . - student2.ru в данном эксперименте появляется определённое число раз;

Наши рекомендации