Формула стокса

Для поверхностных интегралов имеет место формула, позволяющая свести вычисление интеграла по поверхности σ к вычислению криволинейного интеграла по контуру L , ограничивающему эту поверхность.

Теорема Стокса. Если функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка, то имеет место формула

формула стокса - student2.ru , (*)

где L - граница поверхности σ .

Направление криволинейного интеграла (вдоль L) и поверхностного (по σ) интегрирований согласованы между собой следующим правилом:

формула стокса - student2.ru формула стокса - student2.ru если человек, идущий по той

z формула стокса - student2.ru σ стороне поверхности σ, по которой

производится поверхностное

L интегрирование, перемещается

вдоль границы L в направлении

криволинейного интегрирования,

то поверхность должна оставаться

формула стокса - student2.ru формула стокса - student2.ru слева.

0 y

D

x L1

Формула (*) называется формулой Стокса.

Доказательство. Докажем теорему путем сведения поверхностного интеграла к двойному с последующим применением формулы Грина.

Будем считать, что поверхность σ пересекается с любой прямой, параллельной оси oz не более, чем в одной точке. Тогда уравнение этой поверхности будет z = z (x, y). Интегрирование будем вести по верхней стороне поверхности.

Рассмотрим интеграл формула стокса - student2.ru

Из формулы определения поверхностного интеграла имеем

формула стокса - student2.ru формула стокса - student2.ru

где γ и β – углы между нормалью формула стокса - student2.ru и осями oz, oy

формула стокса - student2.ru

т.к. уравнение поверхности σ: z = z (x,y), то проекциями нормального вектора формула стокса - student2.ru будут формула стокса - student2.ru , формула стокса - student2.ru , -1, Направляющие косинусы пропорциональны этим проекциям, то формула стокса - student2.ru поэтому формула стокса - student2.ru .

Значит формула стокса - student2.ru

Приведем этот интеграл к двойному. z заменим на z(x,y) и

формула стокса - student2.ru

Таким образом, полагая формула стокса - student2.ru , имеем формула стокса - student2.ru ,

где D – проекция поверхности σ на плоскость xoy.

Применяя формулу Грина, получим

формула стокса - student2.ru формула стокса - student2.ru ,

где L1 – граница области D. Контур L1 – есть проекция кривой L – границы поверхности σ на плоскость xoy.

формула стокса - student2.ru

Итак, формула стокса - student2.ru (1)

Аналогично формула стокса - student2.ru (2)

формула стокса - student2.ru (3)

Складывая почленно равенства (1), (2), (3) получим формулу Стокса.

Пример. Вычислить

формула стокса - student2.ru ,

где L – линия пересечения поверхностей

формула стокса - student2.ru формула стокса - student2.ru , формула стокса - student2.ru , формула стокса - student2.ru , формула стокса - student2.ru , формула стокса - student2.ru

z формула стокса - student2.ru формула стокса - student2.ru формула стокса - student2.ru

формула стокса - student2.ru формула стокса - student2.ru формула стокса - student2.ru

формула стокса - student2.ru

формула стокса - student2.ru формула стокса - student2.ru формула стокса - student2.ru формула стокса - student2.ru В

C

формула стокса - student2.ru формула стокса - student2.ru формула стокса - student2.ru

формула стокса - student2.ru формула стокса - student2.ru A

0 1 у

формула стокса - student2.ru

формула стокса - student2.ru формула стокса - student2.ru

По формуле Стокса получим

формула стокса - student2.ru

Каждый из них сведем к двойному интегралу

формула стокса - student2.ru

формула стокса - student2.ru

формула стокса - student2.ru

формула стокса - student2.ru

формула стокса - student2.ru

Окончательно J = -14.

Наши рекомендации