Динамические характеристики апериодического преобразователя первого порядка

Дифференциальное уравнение преобразователя

Схема преобразователя приведена на рис.1

Формально дифференциальное уравнение преобразователя первого порядка можно представить в виде:

,

Рис.1. Схема преобразователя.

Для преобразователя рис.1.

откуда

Исключаем промежуточную переменную , подставляя (3) в приведенное ниже соотношение

,

Возьмем производную левой и правой части уравнения (4)

Откуда получаем дифференциальное уравнение в виде

,

Сравнивая (1) и (5) получаем
, где - постоянная времени преобразователя; S₀=1.
Представляем дифференциальное уравнение преобразователя в
окончательном виде

.
1.2 Передаточная функция преобразователя

Операторное изображение дифференциального уравнения имеет вид
.
Откуда передаточная функция преобразователя равна

.
1.3 Амплитудно-фазовая характристика

Амплитудно-фазовая характеристикаимеет вид

.
1.15.4 Совокупность амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик.

Амплитудно-частотную характеристикуполучаем с помощью следующих преобразований

.

Тогда

.

После преобразований

.

График АЧХ приведен на рис.2.

Рис.2.Амплитудно-частотная характеристика апериодического преобразователя.

Фазо-частотную характеристикуполучаем в следующем виде:

.

График ФЧХ приведен на рис.3.

Рис.3.Фазо-частотная характеристика апериодического преобразователя.

Импульсная характеристика преобразователя

Импульсную характеристику получаем из выражения для К(р)

Используя таблицу обратного преобразования Лапласа
,
получим:

.

График g(t) приведен на рис.4.

t

Рис.4.Импульсная характеристика апериодического преобразователя.

Переходная характеристика

Переходную характеристику получаем из соотношения

Окончательно .

График h(t) приведен на рис.5.

Рис.5.Переходная характеристика апериодического преобразователя.

Время установления

Найдем частную динамическую характеристику – время установления переходной характеристики СИТ.
Время установления - это время, по прошествии которого отклонение переходной характеристики от установившегося значения не превышают заданного значения.
Для определения нужно решить уравнение

;

; .

Если (что эквивалентно относительной статической погрешности ), , то время установления равно . Если (это эквивалентно ) , то .

1.16. Динамические характеристики преобразователя второго порядка.
1.16.1 Дифференциальное уравнение

Пусть общий вид дифференциального уравнения преобразователя второго порядка определяется выражением:
,
Если в качестве конкретного примера использовать магнитоэлектрический преобразователь, то входной и выходной сигнал и коэффициенты дифференциального уравнения приобретают конкретный физический смысл:
, где – угол поворота подвижной части подвижной катушки преобразователя; , где i(t) – ток, протекающий по катушке, , где I – момент инерции подвижной части, , где Р – коэффициент успокоения, , где W – удельный противодействующий момент, , где В – индукция в воздушном зазоре, s – площадь катушки, w – число витков катушки.
Тогда уравнение (6) принимает следующий вид
,
Если правую и левую часть уравнения (7) разделить на I и ввести частные динамические характеристики: частоту собственных колебаний подвижной части и степень успокоения , то дифференциальное уравнение преобразователя можно представить в окончательном виде

.

Передаточная функция

Операторное изображение дифференциального уравнения имеет вид:

.

Отсюда передаточная функция имеет вид

.
1.16.3 Амплитудно-фазовая характеристика

Амплитудно-фазовая характеристика, как зависимость от , имеет вид:

Для преобразователей второго порядка удобно представлять амплитудно-фазовую характеристику как функцию относительной частоты . В этом случае амплитудно-фазовая характеристика принимает вид:

.

Тогда АЧХ и ФЧХ определяются следующим образом:

;
;
.

График зависимости показан на рис.6. Из формулы и рисунка видно, что степень успокоения существенно влияет на динамические свойства механизма. На рисунке показаны три
зависимости : первая кривая для <0.5; вторая-для >0.5; третья-для =0.5.
При (т.е. ) = . Тогда для частот вблизи к , т.е. амплитуда колебаний на выходе больше амплитуды колебаний на входе. Таким образом в этой области проявляются резонансные свойства механизма.
При >0.5( или =0.5) функция для убывает равномерно с большей или меньшей скоростью.

Рис.6. АЧХ преобразователя второго порядка.

От значений коэфициента успокоения зависит и переходная характеристика, когда на вход подается скачек, тогда .